15.4.3等腰三角形的判定定理及推论 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形判定定理及推论，通过“做一做”活动引导学生画∠B=∠C的三角形并量边发现结论，衔接上节“三线合一”知识点，以作辅助线证明“等角对等边”构建学习支架。 其亮点是严格区分性质与判定的因果逻辑，通过辨析题（不同三角形中等角对等边错误）培养推理意识，例题结合平行线、角平分线综合应用，基础提优题分层训练，助力学生发展几何直观与创新意识，教师可用于课后巩固与专项训练，提升教学效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 15.4.3等腰三角形的判定定理及推论 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4.3 等腰三角形的判定定理及推论 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦等腰三角形判定核心考点，主打等角对等边判定定理及各类重要推论，严格区分「等边对等角（性质）」与「等角对等边（判定）」的因果逻辑，涵盖三角形等腰判定、等边三角形判定、角度边长计算、几何综合证明，规避性质与判定混用的高频易错点，完美衔接上一节三线合一知识点，适配课后巩固与期末专项训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的核心判定定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 两角互余 2. 在△ABC中，∠B=∠C，则下列结论正确的是（） A. AB=AC B. AB=BC C. AC=BC D. ∠A=∠B 3. 下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是（） A. ∠A=∠B B. AB=AC C. ∠A:∠B:∠C=1:2:3 D. ∠B=∠C 4. 有一个角是60°的等腰三角形一定是（） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 关于等腰三角形性质与判定，说法正确的是（） A. 性质：由角相等推边相等 B. 判定：由边相等推角相等 C. 性质：由边相等推角相等 D. 性质和判定无区别 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形判定定理：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为________。 2. 等腰三角形性质是：等边对等角（边→角）；判定是：________（角→边）。 3. 推论1：三个角都相等的三角形是________三角形。 4. 推论2：有一个角等于________°的等腰三角形是等边三角形。 5. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=50°，则△ABC是________三角形。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，在△ABC中，已知∠B=∠C，求证：AB=AC。 2.（20分）已知△ABC中，AB∥CD，AC平分∠BAD，求证：△ABC为等腰三角形。 3.（20分）已知等腰△ABC中，有一个内角为60°，求证：△ABC为等边三角形。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：等腰三角形判定定理为等角对等边，性质定理为等边对等角，注意区分。 2.A 解析：等角对等边，∠B、∠C为底角，对应对边分别为AC、AB，故AB=AC。 3.C 解析：角度比1:2:3，三个角分别为30°、60°、90°，无相等角，不是等腰三角形。 4.B 解析：有一个角为60°的等腰三角形，其余两角均为60°，三边相等，为等边三角形。 5.C 解析：性质：边相等⇒角相等；判定：角相等⇒边相等，二者因果关系完全相反。 二、填空题 1. 等角对等边 2. 等角对等边 3. 等边 4. 60 5. 等腰 三、解答题 1. 证明： 过点A作AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直定义）。 在△ABD和△ACD中， $$\begin{cases} ∠B=∠C（已知） \\ ∠ADB=∠ADC（已证） \\ AD=AD（公共边） \end{cases}$$ ∴△ABD≌△ACD（AAS）。 ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。 2. 证明： ∵AC平分∠BAD（已知）， ∴∠BAC=∠DAC（角平分线定义）。 ∵AB∥CD（已知）， ∴∠DCA=∠BAC（两直线平行，内错角相等）。 ∴∠DAC=∠DCA（等量代换）。 ∴AD=CD（等角对等边），即△ADC为等腰三角形。 3. 证明：分两种情况讨论： ①若该60°角为等腰三角形的顶角： ∵三角形为等腰三角形，∴两底角相等， 底角=$$\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ$$， ∴三个内角均为60°，△ABC为等边三角形。 ②若该60°角为等腰三角形的底角： 则另一个底角也为60°， 顶角=180°−60°−60°=60°， ∴三个内角均为60°，△ABC为等边三角形。 综上，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。 学习目标 1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点） 2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论 3.能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点） 学习目标 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 等腰三角形的判定 1 在△ABD 与△ACD 中， ∠1 =∠2， ∴ △ABD≌△ACD(AAS). ∠B =∠C， AD = AD， ∴ AB = AC. 过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D. 证明： C A B 2 1 D （ （ △ABC 是等腰三角形. 则∠1 =∠2. ∴ AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. ∵∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边” 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 这又是一个判定两条线段相等的根据之一. 要点归纳 A B C D 2 1 ∵∠1 =∠2， ∴ BD = DC (等角对等边). ∵∠1 =∠2， ∴ DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为两角都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C. ∴ AB = AC (等角对等边)． A B C E （ （ 1 2 D 例2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形. A B C D E 证明： ∵AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD≌△DCA (SSS). ∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等). ∴AE = DE (等角对等边). ∴ △AED 是等腰三角形. 例3 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC. 求证：AB = AD. B A D C 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB. ∴ AB = AD. 方法总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形. 例4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形． 证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵ CD 是 AB 边上的高， ∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD. ∵ AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠EAC. ∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE. ∴ CE＝CF，即△CEF 是等腰三角形． 方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 由等腰三角形的判定定理可以直接得到： 等边三角形的判定 2 为什么？ ↗ 证明推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC. 由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°. 若顶角∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°. 又 AB = AC， ∴∠B =∠C. ∴∠B =∠C =∠A = 60°. ∴△ABC 是等边三角形. 如果是底角∠B = 60° (或∠C = 60°) 呢？ 辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. 不 是 是 是 是 是 不一定 是 （1） 5 5 4 （2） 5 5 5 （3） 60° 60° （4） 60° （5） 5 5 60° （6） 5 5 60° 例5 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A = ∠B = ∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴∠A =∠ADE =∠AED . ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 例6 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ 为等边三角形．证明如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°. ∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS). ∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ 是等边三角形. B C Q A P 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等； 二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)； 三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角 等于 60°. 知识点1 等腰三角形的判定 1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　) A.3个　　 B.4个　　 C.5个　　 D.6个 (第1题) 返回 D 基础提优题 2.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为　　　。 海里. (第2题) 返回 80 基础提优题 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C. (1)求证：∠BDF＝∠A； 【证明】∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C. 又∵∠EDF＝∠C，∴∠EDF＝∠AED. ∴DF∥AC.∴∠BDF＝∠A. 基础提优题 (2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请直接写出△ABC的形状. 返回 【点拨】∵∠A＝45°，∠BDF＝∠A，∴∠BDF＝∠A＝45°. 又∵DF平分∠BDE，∴∠BDE＝2∠BDF＝90°. ∵DE∥BC，∴∠B＝180°－∠BDE＝90°. ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝45°＝∠A. ∴△ABC是等腰直角三角形. 【解】△ABC是等腰直角三角形. 基础提优题 知识点2 等边三角形的判定 4.下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.AB＝BC＝AC B.∠A＝∠B＝∠C C.AB＝AC，∠A＝60° D.∠A＋∠B＝2∠C D 返回 基础提优题 5.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AC的长为　　　cm. 2 基础提优题 【点拨】∵直尺的两条对边相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°. 又∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠A＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形. ∴AC＝BC＝3－1＝2(cm). 返回 基础提优题 6.如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE； 【证明】在△ABC与△ADE中，∵ ∴△ABC≌△ADE(SAS). 基础提优题 (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. 返回 【解】∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°， ∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°. ∴△ACE是等边三角形.∴∠ACE＝60°. 基础提优题 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 7.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝15°，D是AC上一点，连接BD，若∠ADB＝30°，AB＝4，则CD的长为(　　) A.8　　 B.7　　 C.6　　 D.5 (第7题) A 基础提优题 【点拨】在含特殊角的条件下求线段长的技巧： 在一些特殊角，如15°，30°，60°，120°等的条件下，通常要联想到构造含30°角的直角三角形，然后利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求线段的长. 返回 (第7题) 基础提优题 8. 如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P移动了　　s. (第8题) 1 基础提优题 等腰三角形的判定 等角对等边 注意是指同一个三角形中 推论 1.三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 课堂小结 $