第15章　轴对称图形与等腰三角形课件 2025-2026学年 沪科版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了轴对称图形与等腰三角形的核心知识，通过“体系构建”明确知识框架，涵盖基础定位、核心要素及关键步骤，再以“考点突破”分七个专题整合知识点，如轴对称识别、垂直平分线性质、等腰三角形判定等，帮助学生构建逻辑连贯的知识网络。 其亮点在于融合新课标核心素养，如设计跨学科题目（化学仪器轴对称识别）培养数学眼光，通过含30°角直角三角形性质应用等例题发展推理意识，设置校园空地种花等新情境题提升应用意识。采用“基础考点-素养提升”分层设计，基础题巩固知识，综合题（如等边三角形对称综合题）挑战思维，助力学生全面掌握，也为教师提供精准复习方案。

总结提升 第15章　轴对称图形与等腰三角形 01 考点突破 02 素养提升 目 录 返回目录 考点一　识别轴对称图形 1. （跨学科·化学）（2024·重庆）下列四种化学仪器的示意图中，属于轴对称图形的是（　C　） C A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 考点二　平面直角坐标系中的轴对称 2. （2024·六安霍邱期中）点（2，3）关于y轴对称的点的坐标为（　A　） A. （－2，3） B. （－3，2） C. （2，－3） D. （3，－2） 3. （2024·合肥庐江段考）若点A（a，4），B（3，b）关于x轴对称，则（a＋b）2023＝ 　－1　. A －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 考点三　线段的垂直平分线 4. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　C　） A. 16 B. 13 C. 19 D. 10 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 考点四　利用等腰三角形的性质求角的度数 5. 如图，在△ABC中，CA＝CB，D是AB的中点，∠B＝42°.求∠ACD的度数. 第5题 解：∵ CA＝CB，∴ ∠A＝∠B＝42°. ∴ ∠ACB＝180°－∠A－∠B＝96°.∵ CA＝CB，D是AB的中点，∴ CD平分∠ACB. ∴ ∠ACD＝ ∠ACB＝48° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 考点五　含30°角的直角三角形的性质定理的应用 6. （2024·宿州埇桥段考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6cm，AD是∠CAB的平分线，求DC的长. 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 解：∵ ∠C＝90°，∠B＝30°，∴ ∠CAB＝60°.∵ AD是∠CAB的平分线，∴ ∠CAD＝∠BAD＝ ∠CAB＝30°＝∠B. ∴ AD＝2CD，AD＝BD. ∴ BD＝2CD. ∴ BC＝CD＋BD＝3CD. ∴ CD＝ BC＝ ×6＝2（cm）.∴ DC的长为2cm 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E. （1） 求证：AE＝2CE； 解：（1） 连接BE. ∵ ∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴ ∠ABC＝60°.∵ DE垂直平分AB，∴ BE＝AE. ∴ ∠ABE＝∠A＝30°.∴ ∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°.∴ 在Rt△BCE中，BE＝2CE. ∴ AE＝2CE 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由. 解：（2） △BCD是等边三角形　理由：∵ DE垂直平分AB，∴ ∠ADE＝90°.∵ ∠A＝30°，∴ 在Rt△ADE中，AE＝2DE. 由（1），知AE＝2CE，∴ DE＝CE. ∴ ∠EDC＝∠ECD. ∵ ∠DEC＝∠A＋∠ADE＝120°， ∴ ∠EDC＝∠ECD＝ （180°－∠DEC）＝30°. ∴ ∠DCB＝∠ACB－∠ECD＝60°.∵ ∠ABC＝60°， ∴ ∠BDC＝60°.∴ ∠DCB＝∠DBC＝∠BDC. ∴ △BCD是等边三角形. 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 考点六　等腰三角形的判定定理的应用 8. 如图，∠1＋∠2＝180°，GP平分∠BGH. （1） 求证：△PGH是等腰三角形； 解：（1） ∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠BGH＝180°，∴ ∠2＝∠BGH. ∴ AB∥CD. ∴ ∠GPH＝∠PGB. ∵ GP平分∠BGH，∴ ∠PGH＝∠PGB. ∴ ∠GPH＝∠PGH. ∴ GH＝PH. ∴ △PGH是等腰三角形 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 若∠1＝116°，求∠GPD的度数. 解：（2） ∵ ∠1＝116°，∴ ∠BGH＝180°－∠1＝64°.∵ GP平分∠BGH，∴ ∠PGB＝ ∠BGH＝32°.∵ AB∥CD，∴ ∠GPD＝180°－∠PGB＝148° 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 考点七　角平分线的性质定理的应用 9. （新情境·日常生活）如图，某中学校园内有一块直角三角形空地（Rt△ABC），园艺师傅以角平分线AD为边界，在其两侧分别种上了不同的花，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花.已知∠BAC＝90°，AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花的种植面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 解：如图，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. ∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF. 设DE＝DF＝xm.∵ S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴ AB·AC＝ AB·DE＋ AC·DF. ∴ ×10×6＝ ×10x＋ ×6x，解得x＝ .∴ DE＝DF＝ m.∴ S△ABD＝ ×10× ＝ （m2），S△ACD＝ ×6× ＝ （m2）.∴ 月季花的种植面积是 m2，牡丹花的 种植面积是 m2 第9题答案 第9题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 10. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，BC＝18，边AC的垂直平分线DE交AC于点E，交BC于点D，则AD的长为（　B　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 第10题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 11. 如图，在△ABC中，∠ABC和外角∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF. 有下列结论：① CP平分∠ACF；② ∠ABC＋2∠APC＝180°；③ ∠ACB＝2∠APB；④ S△PAC＝S△PAM＋S△PNC. 其中，正确的有（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第11题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 12. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则∠AOB的度数为 　60°　. 第12题 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 13. （易错题）（2025·合肥肥西期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 　90°或50°　. 14. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是边AC上一点，连接BE并延长到点D，连接CD. 若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE的长为 　 　. 90°或50°　 　 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 15. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，BC＝DC. （1） 求证：△BCE≌△DCF； 解：（1） ∵ AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，∴ CE＝CF，∠CEB＝∠CFD＝90°.在Rt△BCE和Rt△DCF中，∵ ∴ Rt△BCE≌Rt△DCF（HL） 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 写出AB＋AD与AE之间的数量关系，并给出证明. 解：（2） AB＋AD＝2AE　∵ CE⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，∴ ∠CFA＝∠CEA＝90°.在Rt△FAC和Rt△EAC中，∵ ∴ Rt△FAC≌Rt△EAC（HL）.∴ AF＝AE. ∵ △BCE≌△DCF，∴ BE＝DF. ∴ AB＋AD＝（AE＋BE）＋（AF－DF）＝AE＋BE＋AE－BE＝2AE 第15题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 16. （2023·亳州蒙城期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F. （1） 求证：△CEF是等腰三角形； 解：（1） ∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠B＋∠BAC＝90°.∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC＝90°.∴ ∠CAD＋∠ACD＝90°.∴ ∠ACD＝∠B. ∵ AE是∠BAC的平分线，∴ ∠CAE＝∠EAB. ∵ ∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴ ∠CFE＝∠CEF. ∴ CF＝CE，即△CEF是等腰三角形 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明AC与AB之间的数量关系. 解：（2） ∵ 点E恰好在线段AB的垂直平分线上，∴ AE＝BE. ∴ ∠EAB＝∠B. ∵ ∠CAE＝∠EAB，∴ ∠BAC＝2∠B. ∵ ∠ACB＝90°， ∴ ∠BAC＋∠B＝90°.∴ 2∠B＋∠B＝90°. ∴ ∠B＝30°.∴ 在Rt△ABC中，AC＝ AB 第16题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 17. 如图，在等边三角形ABC中，P为边AB上一点，线段CB与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E. （1） 若∠ACE＝20°，求∠E的度数； 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ACB＝60°，CB＝CA. ∵ ∠ACE＝20°，∴ ∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝60°－20°＝40°.∵ 线段CB与DC关于直线CP对称，∴ CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°. ∴ ∠ACD＝∠ECD－∠ACE＝40°－20°＝20°. ∵ CA＝CB＝CD，∴ ∠CAD＝ （180°－∠ACD）＝ ×（180°－20°）＝80°.∵ ∠DAC＝∠E＋∠ACE，∴ ∠E＝∠DAC－∠ACE＝80°－20°＝60° 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 若AE＝1，CE＝4，求AD的长. 解：（2） 过点C作CH⊥DE于点H. 设∠ACE＝α，则由（1），得∠ECB＝∠ECD＝60°－α.∴ ∠ACD＝∠ECD－∠ACE＝60°－2α.∵ CA＝CD，∴ ∠CAD＝ （180°－∠ACD）＝ （180°－60°＋2α）＝60°＋α.∵ ∠CAD＝∠E＋∠ACE，∴ ∠E＝∠CAD－∠ACE＝60°＋α－α＝60°.∵ CH⊥AD，CA＝CD，∴ AH＝DH，∠CHE＝90°.∴ ∠ECH＝90°－∠E＝30°.又∵ CE＝4，∴ EH＝ CE＝2.∴ AH＝EH－AE＝2－1＝1.∴ AD＝2AH＝2 第17题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 18. （2023·六安金寨期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，DB＝DC，∠BDC＝120°，且点E，F分别在AB和AC上. （1） 求证：AD垂直平分BC. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝AC. ∴ 点A在BC的垂直平分线上.∵ DB＝DC，∴ 点D在BC的垂直平分线上.∴ AD垂直平分BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 若ED平分∠BEF，求证： ① FD平分∠EFC； 解：（2） ① 如图，过点D作DM⊥EF于点M. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.∵ DB＝DC，∠BDC＝120°， ∴ ∠DBC＝∠DCB＝30°.∴ ∠ABD＝∠ACD＝90°.∴ DB⊥AB，DC⊥AC. ∵ DM⊥EF，ED平分∠BEF， ∴ DB＝DM. ∵ DB＝DC，∴ DM＝DC. ∵ DM⊥EF， DC⊥AC，∴ FD平分∠EFC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 ② △AEF的周长是AB长的2倍. 解：② ∵ ED平分∠BEF，∴ ∠BED＝∠MED. 在△EBD和△EMD中，∵ ∴ △EBD≌△EMD（AAS）.∴ BE＝ME. 同理，可得CF＝MF. ∴ EF＝ME＋MF＝BE＋CF. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝AC. ∴ △AEF的 周长为AE＋EF＋AF＝AE＋ME＋MF＋AF＝ AE＋BE＋CF＋AF＝AB＋AC＝2AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 $