专题1 第16题几何综合计算题 考向4 与圆有关的最值&考向5 轨迹问题-【一战成名新中考】2026贵州中考数学·二轮复习·专项分层提升练

考向4与圆有关的最值( 要点①确定最值点 典例精讲 例1点圆最值如图，正方形ABCD的边长为4，点P是以 AB为直径的半圆O上一点，则CP的最小值为 0 变式如图①是一款带毛刷的圆形扫地机器人，图②是它 的俯视图，⊙0的直径为40cm,毛刷的一端为固定点P, 另一端为点C,CP=102cm,毛刷绕着点P旋转形成的圆 弧交⊙O于点A,B,且A,P,B三点在同一直线上.毛刷在 旋转过程中与⊙0交于点D,则CD的最大长度为( B 图① 图② A.20./2 cm B.(20-102)cm C.(202-20)cm D.10√2cm 例2线圆最值一成成名原创如图，AB是⊙0的弦，C是⊙0 上一动点，连接AC,BC,若⊙0的半径为5，AB=8,则点C 到AB距离的最大值为 ,△ABC面积的最大值 为 边思路剖析 AB为弦，即直线AB与⊙O相交，过点O作AB的垂线并反 向延长交⊙O于点C,此时点C到AB的距离最大.当点C 到AB的距离最大时，△ABC的面积最大. 44 专项分层提升练·贵州数 含隐形圆) 颶模型解读 (一)点圆最值 已知：⊙0的半径为r,A是平面内一定 点，P是圆上一动点，确定PA的最值. 方法：“一箭穿心”定交点P,“近点”有 最小值，“远点”有最大值 原理：直径是圆内最长的弦 结论： 点A在圆内 0 P 最大值：r+OA(即AP2) 最小值：r-OA(即AP) 点A在圆外 最大值：r+OA(即AP2) 最小值：OA-r(即AP1) (二)线圆最值 已知：⊙0的半径为r,圆心0到定直 线AB的距离为d,P是圆上一动点，确 定点P到直线AB的最值 方法：过点O作AB的垂线，交⊙0于 点P,交直线AB于点C 结论： 相交 相离 0 D A P -B B 最大值：d+r d+r 最小值：0 d-r 学 要点2》确定隐形圆(2024.25,2023.25) 典例精讲 例3定点定长[2023黔东南二模]如图，在矩形ABCD中， AB=3,BC=4,点E是AB的中点，点F是AD上的动点，将 矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在点A'处，连接CA', DA',则△CA'D面积的最小值为 思路剖析 在折叠过程中A'E为定值，故点A的轨迹是以点E为圆心， AE长为半径的一段弧.在△CA'D中，CD为定值，故只需点 A'到CD的距离最小即可.过点A'作CD的垂线GH分别交 AB,CD于点G,H,则当A'G最大时，A'H最小，此时点G与 点E重合，A'G为半径. 例4定弦定角[2024铜仁沿河县一模]如图，四边形ABCD为 矩形，AB=3,BC=4,点P是线段BC上一动点，点M为线段 AP上一点，∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为 文思路剖析… 由∠ADM=∠BAP和矩形的性质可得∠AMD=90°，故点M 在以AD为直径的圆上， D M 例5四点共圆如图，在正方形ABCD中，AB=4√迈，对角线 AC,BD相交于点O.点E是对角线AC上一点，连接BE, 过点E作EF⊥BE,交CD于点F,若点F为CD的中点，则 OE的长为 文思路剖析一 ∠BCD=∠BEF=90°，即∠BCD+∠BEF=180°，对角互补， 则B,C,F,E四点共圆 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 思模型解读 (一)定点定长 等距成圆 旋转成圆 条件：OA=OB=OC条件：旋转△ABC 折叠成圆 斜边中点 条件：，点P在BC 条件：AB为定 边上，沿AP折叠 长，C为AB的中 △ABP 点，点A,B在射 线0M,0N上滑 多 M (二)定弦定角 常考定弦定角模型及辅助圆作法 90°型 45°、135°型 P 35 60°、120°型 30°、150°型 69 120° Q (三)四点共圆 情形1：对角互补 0 情形2：定线段同侧有等角 45 针对训练刀 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别在边AB,AD上，且EF=6,点M是EF的中点， 连接CM,则CM的最小值是 备用图 2.[2025黔南州一模]如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,D是BC边上任意一点，连接AD,E 是AD上一点，连接BE,使得∠1=∠2，连接CE,则CE的最小值是 2 2 E D 备用图 3.如图，在△ABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的高，∠A=60°，BC=6,连接DE,则DE的长为 备用图 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，CB=2,点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋 转，得Rt△AFD,点C,B旋转后的对应点分别是点D,F,连接CF,EF,CE,在旋转的过程中，△CEF 面积的最大值是 备用图 5.[2025贵阳花溪区一模]如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点P为边CD上一动点，连接AP交 对角线BD于点E,过点E作EF⊥AP交BC于点F,连接AF交BD于点G,在点P运动的过程中， △AEG面积的最小值为 备用图 46 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 考向5轨迹问题（瓜豆原理） 典例精讲刀 例1直线型[2019贵阳15题4分]如图，在矩形ABCD中，AB=4,∠DCA=30°，点F是对角线AC 上的一个动点，连接DF,以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF 两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 思路剖析… 1.确定主动点为F,从动点为E:2确定初始状态为点F与点A重合时；3.画出初始状态的Rt△DE'A,连 接EE',EE'所在直线即为点E的运动轨迹；4.通过手拉手相似证△DEE∽△DAF,可得∠DE'E= ∠DAF=60°，可得EE'⊥DC:5.确定E的最终位置，计算运动路径长度. 例2曲线型[224龙东地区]如图，在R△4BC中，∠ACB=90°，m∠BAC=了，5C=2,AD=1,线段 AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 文思路剖析 1.确定主动点为D,从动点为P;2.确定主动点轨迹，点D的轨迹是以A为圆心，AD为半径的圆；3.确 定从动点轨迹，由P为CD的中点，可联想到作PQ∥AD构造中位线，则点P的轨迹是以Q为圆心， PQ为半径的圆；4.点圆最值确定BP的最大值. 针对训练了 1.[2025遵义红花岗区期末]如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，点G是直线BC上一动点，连接 AG,以AG为边作等边三角形AGM,若AB=4√5，则CM的最小值为 备用图 2.[2025贵州省模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1.AD平分∠BAC交BC于点D, 点E为AC上一点，连接DE,将DE沿DA方向平移到AF,连接BF,则BF的最小值为 备用图 3.[2024黔东南榕江县模拟]如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP,将 线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小 值为 M 备用图 专项分层提升练·贵州数学 47DE,过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F,连接BE ∴.四边形AEDC是平行四边形，∴.AC=DE,AE=CD=OC+ OD=3,∠BAF=∠AOC=45°，∴.AC+BD=DE+BD,△ABE 是等腰直角三角形，设AF=BF=a,.EF=AF-AE=a-3, 当B,D,E三点共线时，AC+BD的值最小，最小值为BE的 长，即BE=√17，在Rt△BEF中，EF2+BF2=BE2,(a 3)2+a2=(√7)2，整理，得a2-3a-4=0,解得a=4,a=-1 (不合题意，舍去)，.AF=BF=4,在Rt△ABF中，AB= W√AF2+BF2=4N2. 考向4与圆有关的最值（含隐形圆） 例125-2【解析】如解图.连接0P,0C,0C交半圆0 于点P,:0B=2AB=2,在Rt△0BC中，0C= √0B+BC=2√5，CP≥0C-0P,.CP≥25-2，.当 点P与点P'重合时，CP取得最小值2√5-2. 0 例1题解图 变式题解图 变式C【解析】如解图，连接AB,OB,OP,根据题意，得 BP=AP=CP=102cm,且A,P,B三点在同一直线上，∴ OP垂直平分AB,∠0PB=90°，当O,P,D,C四点共 1 线时，CD最长，0B=0D=2×40=20(cm),PB=CP= 10W2cm,∴.在Rt△B0P中，OP=√OB-Bp= √202-(102)2=102(cm),.DP=0D-0P=(20 102)cm,CD的最大值为CP-PD=10√2-(20-10V2) =(20√2-20)cm. 例28,32【解析】如解图，连接OA,过点0作AB的垂 线，垂足为D,延长D0交O0于点CAD=2B=4, ∴.在Rt△AOD中，OD=WA0-AD=3,∴.C,D=8,∴.点C 到AB距离的最大值为8，∴.△ABC面积的最大值为 1 云一——<s>S子2 C D A B 例2题解图 例3题解图 例3 15 【解析】如解图，过点A'作CD的垂线GH,交AB 于点G,交CD于点H,S△cn=2CD·A'H,CD=AB=3, ∴.要使S△cn最小，只需A'H最小，即GA'最大.由折叠可 知E=BA=之B=随首点F的运动点A的轨迹 3 是一段以点E为圆心，EA长为半径的弧由题知当A'G= E时4G最大即4H最小，最小值为4号-子 △C4D面积的最小值为3×- 2-4 32 参考答案与重难 例4√13-2【解析】如解图，取AD的中点O,连接OB, OM..·四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=90°，AD=BC=4. ∠BAP+∠DAM=90°，∠ADM=∠BAP,∠ADM+ ∠DAM=90∠AMD=90,A0=0D=20M=34D =2,.点M在以0为圆心，2为半径的⊙0上，0B= √AB+A0=√32+2=√3，∴.BM≥0B-0M=√3-2， .BM的最小值为√13-2. A 例4题解图 例5题解图 例52【解析】EF⊥BE,.∠BEF=90°，即∠BEO+∠2 =90°，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,. ∠B0E=90°，∴.∠BE0+∠1=90°，.∠1=∠2，四边形 ABCD是正方形，∠BCD=90°，.B,C,F,E四点共圆， 如解图，连接BF,.∠2=∠3，.∠1=∠3，.△B0E △BCF..OE=OB CF CB CD=BC=AB=42,F为CD的中 点0B=4,CF=220E=4 25420B=2 1.7【解析】如解图，连接AM,EF=6,M是EF的中点， ∠FAE=90°，∴.AM=3,∴.点M的轨迹是以点A为圆心，3 为半径的一段弧，连接AC交圆弧于点M',.·AM+MC≥ AC,∴.当，点M与点M'重合，即A,M,C三点共线时，CM取 得最小值.AB=6,AD=BC=8,AC=√AB+BC=10, .CM'=AC-3=7,即CM的最小值为7. D 0 B 第1题解图 第2题解图 2.√5-1【解析】：∠1=∠2，∠2+∠ABE=∠1+∠ABE= 90°，∠AEB=90°，.点E在以AB为直径的⊙0上 A0=B0= 2B=1,如解图，当C,E,0三点共线时CB取 得最小值，C0=√B02+BC=√+2=5，CE的最 小值为C0-0E=J5-1. 3.3【解析】·BD,CE分别是AC与 AB边上的高，.∠BEC=∠BDC= 90°，B,C,D,E四点共圆，如解 图，∠BED+∠BCD=180°， ∠BED+∠AED=180°，.∠AED= ∠ACB,∠A=∠A,.△AED DE AD △ACB,BCAB BD⊥AC,且 第3题解图 ∠A=60∠ABD=30AD=7ABDE=2BC=3 2 4.4+√3【解析】在Rt△ACB中，∠BAC=30°，E是AB的中 点，∴AB=2BC=4.CE=AE=2AB=2,AC=A4B·cos30门 题解析·贵州数学 23,.∠ECA=∠BAC=30°，线段CE为定值，∴.点F到 CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值.如解图，过点 1 A作AG1CE交CE的延长线于点G,AG=2AC=5, 点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，.AF=AB=4, 点F到CE距离的最大值为4+√3，此时△CEF的面积最 大，最大值为2CE(4+5)=45, 第4题解图 第5题解图 :【解析】如解图，作△4EG的外接圆⊙0，过点A作 AH⊥BD于点H,过点O作OM⊥BD于点M,连接OA, OE,OG.·四边形ABCD是矩形，.∠ABF=∠BAD=90° AD=BC=4,..BD=AB'+AD=3+4=5.SAABD= 0-AM分4：A0AM-8号 BD5 AE LEF, .∠AEF=∠ABF=90°，.A,B,F,E四点共圆，.∠G0M =∠EOM=∠EAG=∠DBC,tan∠G0M=an∠DBC=年 3 设GM=3m,0M=4m,则GE=6m,0A=0G=5m,:0A+0M m≥4 ≥4l5m+4m≥12. 56E=6m≥8 5 SAuG =M,EG≥发△AG面积的最小值为袋 考向5轨迹问题（瓜豆原理） 例14 3 ,【解析】如解图①，画出当点F与点A重合时的 △DEA,连接EE,LDPE=LDAE'=30,F 2,∠EDF=∠E'DA=60°，.∠FDA=∠EDE',.△DFA △DEE',∠DAF=∠DE'E,∠DCA=30°，∴∠DE'E= ∠DAF=60°=∠ADE',∴.EEAD,∴.EE'⊥CD.如解图②， 画出当点F与点C重合时的△DE"C,连接E'E”,则点E 的运动轨迹为线段E'E"的长，E'E”∥AD,LE"ED= ∠ADE=60°，.∠CDE'=30°，又∠E"CD=30°」 ∴.∠E"DC=60°，∴.∠E"DE=90°，∴.∠DE"E'=30° .E'E"=2DE'=AD,AB=4,∠DCA=30°，AB∥DC, .∠CAB=∠DCA=30°，E'E"=AD=BC=AB·tan30 =4w3 3 E不 E R 图① 图② 例1题解图 例22D+2 【解析】如解图，作PQ∥DA交AC于点Q, 参考答案与重难题 一战成名新中考 作以Q为圆心，PQ为半径的圆.P是CD的中点，.PQ 1 1 是△ACD的中位线PQ=2AD=2线段AD绕点A 旋转时，点P在以Q为圆心，PQ为半径的圆上移动，当 BP经过点Q时BP的值最大BC=2,m∠BAC= 2 AC=4,.A0=C0=2.在Rt△BC0中，B0=√JBC+CQ= 25,.BP的最大值为2D+2 1 D D E C 例2题解图 第1题解图 1.√3【解析】如解图，取AB的中点D,连接MD,由条件可 知∠ABC=30°，又.AB=43,∴.AC=AD= =26,在 等边三角形AGM中，AG=AM,∠GAM=∠CAD=60°，∴. ∠GAM-∠GAD=∠CAD-∠GAD,∴.∠CAG=∠DAM,∴. △CAG≌△DAM(SAS),∴.∠ADM=∠ACG=90°，又.·AD= DB,∴.MD垂直平分AB,即点M在AB的垂直平分线上运 动，∴.由垂线段最短可知，当CM⊥MD时CM取得最小 值，如解图，延长AC,MD交于点F,过点C作CE⊥MF于 点E,则CE的长即为CM的最小值，由条件可知∠F 30°，∴.AF=2AD=AB=4W3,又.AC=2N3,∴.CF=AF-AC =25,在△CFE中，CE=2Cf=5,即CM的最小值 为5. 26 【解析】如解图，过点F作MN/AC,“点E在线段 AC上移动，.点F在过点F且平行于AC的线段MN上 移动，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1,∴.AC =2,∠BAC=60°，∴.BC=√2-下=√3，作BF'⊥MN于 F',AT⊥MN于T,DQ⊥AC于Q,则此时BF'的长为BF的 最小值，AD平分∠BAC交BC于点D,∠ABC=90°， DB=D0,上BAD=万2BAC=30°D0=BD=，4B=月 39 MN∥AC,.∠AFT=∠DEQ,在△DQE和△ATF中， I∠DQE=∠ATF, ∠DEQ=∠AFT,.△DQE≌△ATF(AAS),DQ=AT, DE=AF. P=A7=D0=写B=AB·s60e= √3 2BF'=BP+ p仰5-答BF的录小值为 P QE D M 第2题解图 第3题解图 3.2I0-1【解析】如解图，连接BM,将△BCM绕点B逆 解析·贵州数学 33 时针旋转90°得△BEF,连接MF,QF,.·∠CBE=90° ∠ABC=90°，.∠ABC+∠CBE=180°，∴.A,B,E三点共 线，·∠PBM=∠PBQ-∠MBQ=90°-∠MBQ=∠FBQ,由 旋转性质得PB=QB,MB=FB,.△BPM≌△BQF(SAS), .MP=FQ=1,.Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径 的弧，BC=AB=4,CM=CD=2,BM=VBC+CT- 25.·∠MBF=90°，BM=BF,.MF=√2BM=210,· MQ≥MF-QF,.MQ≥2√10-1，.MQ的最小值为 2/10-1. 专题二第24题二次函数综合题 例1解：(1)画图略： 1 (2)①=和y=2,y2和y=-; 1 ②=x,=2,x:③小，小： ④上，下，相同，小，大： (3)g≤a≤3： 8a-4 (4)0A,F,C,E:②- 491 例26≥6 13 步骤1①向下：②b; 步骤2③如解图③，当对称轴在自变量取值范围内(4≤ b≤6)且在该区间中点左侧时(b<5),即4≤b<5,∴.x=6 时.)有最小值-6+125+b-1≥9，解得6≥6 34s6<5: ④如解图④，当对称轴在自变量取值范围左侧时，即0<b< 4,x=6时，y有最小值，-6+12b+b-1≥9，解得b≥ 4646 1313sbc4 V 0 46 046 图③ 图④ 例2题解图 步骤36≥6 13 1.(1)3:(2)二次函数的表达式为y=-10x2+60x+1: (3)ga名或a> 5 5 2.(1)二次函数的表达式为y=x2+2x-2: (2)函数图象的顶点坐标为(-1，-3)，作图略： (3)n的值为1+√5或4-√5 3.(1)二次函数图象的顶，点坐标为(-2，-4a+b): (2)当a>0时，d>c>e=f:当a<0时，d<c<e=f理由略； ()二次函数的表达式为y弓+号寸或)=弓 8.1 9x+9 4.(1)二次函数的表达式为y=-x2-4x-1; (2)当-1≤x<0时，y的最大值为2： (3)m=-3+√7或-3-√11. 5.(1)y=ax2-2ax-8=a(x-1)2-a-8, 抛物线的对称轴为直线x=1; 34 参考答案与重对 (2)0<k<2: (3)存在实数m,使得y,<y<y,≤-a-8恒成立，m的取值 1 范围为2<m<立 6.(1)抛物线的表达式为y=x-2x-1: 17 (2)点M的坐标为(2,4)： (3)d与m之间的关系式为d="2m+1m≤0)， (4)四边形CDEF是矩形，C(2m-1,4),D(1-m,4), E(1-m,-1), ∴.F(2m-1,-1), 令y=-1,则x2-2x-1=-1, 解得x1=0,x2=2, .抛物线与直线y=-1交于点H(0,-1)和K(2,-1), .E,F,HK四点共线 ①当点C在点D的左侧时，如解图①，即2m-1<1-m, 2 解得m<3: :图象G在矩形CDEF内部的部分所对应的函数值y随 x的增大而减小， ∴.2m-1<0≤1-m≤2， 解得-1≤m<2 NO 八EK 图① 图② 第6题解图 ②当点C在，点D的右侧时，如解图②，即2m-1>1-m, 2 解得m>3, ·图象G在矩形CDEF内部的部分所对应的函数值y随 x的增大而减小， .1-m<0≤2m-1≤2， 解得1<m≤2 3 综上所述，m的取值范围为-1≤m<分或1<m≤ 3 7()抛物线C,的表达式为)=之+分+1： (2)不能，理由略； 1 (3)四边形MNP0是正方形，M(2,1),N(1,1), 0分）1. 3 如解图所示，画出正方形MNPQ, 2 1M N -2-10 1234元 -1上 第7题解图 题解析·贵州数学