精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2025-2026学年下学期高一6月阶段检测数学试卷

齐齐哈尔市第八中学六月月考 高一数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. B. 6 C. D. 3 5. 如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为平面外的一条直线，则（ ） A. 存在直线，使得，相交， B. 存在直线，使得， C. 存在直线，使得， D. 存在直线，使得， 10. 已知复数（i为虚数单位），则 （    ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使，，，四点共面 B. 存在点，使∥平面 C. 三棱锥的体积为 D. 此正方体外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 13. 四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为平面向量，且． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，且，求实数的值． 16. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 18. 在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． （1）求的值； （2）若是线段的中点，求的值． 19. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）已知满足. （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐齐哈尔市第八中学六月月考 高一数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数为代数形式，然后根据其几何意义写出对应点坐标，从而判断所在象限． 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“且”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直的判定与性质可直接解决本题. 【详解】由于题干未指定与n为平面内两条相交直线，故且不能必然推出， 故“且”是“”的不充分条件； ，故“且”是“”的必要条件. 所以，“且”是“”的必要不充分条件. 3. 正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 【详解】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 4. 已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆锥体积公式，结合扇形弧长公式列式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意，解得， 所以这个圆锥的底面直径是. 5. 如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作直线，使得，通过平行线分线段成比例定理得出​的比值，再结合，得到​的值. 【详解】因为，直线与分别交于点和点， 过点作直线，使得，交于点，所以， 所以，故. 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 故选：D 7. 已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为. 8. 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则 设，， 则， 当时， 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为平面外的一条直线，则（ ） A. 存在直线，使得，相交， B. 存在直线，使得， C. 存在直线，使得， D. 存在直线，使得， 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线为平面外的一条直线，所以或与相交，结合正方体的性质，线面位置关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为直线为平面外的一条直线，所以或与相交， （1）当时，例如：在正方体中，如图所示， 平面，且，，此时平面， 设直线为直线，直线为直线， 所以存在，使得，相交，，所以A正确； 存在直线，使得，，所以B正确； 又由，且平面，即存在，使得，，所以C正确； 不存在直线，使得，，所以D错误； （2）当与相交，例如：在正方体中，如图所示， 平面，且，，此时平面， 设直线为直线，直线为直线， 所以存在，使得，相交，，所以A正确； 存在直线，使得，，所以B正确； 不存在直线，使得，，所以C不正确； 当且仅当时，存在直线，使得，，所以D不正确. 综上可得，选项A、B正确. 故选：AB. 10. 已知复数（i为虚数单位），则 （    ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】化简复数，根据复数定义判断A；结合虚部定义判断B；根据复数与其共轭复数乘积等于模的平方的性质判断C；结合复数的模判断D. 【详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点，使，，，四点共面 B. 存在点，使∥平面 C. 三棱锥的体积为 D. 此正方体外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平行公理推理判断A；利用线面平行的判定推理判断B；求出三棱锥的体积判断C；求出正方体外接球直径计算判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，由分别是的中点， 得，又，则，因此四点共面， 即当Q与点重合时，四点共面，A正确； 对于B，连接，当Q是的中点时，由，得， 而平面平面，则平面，B正确； 对于C，，而平面，，则，C正确； 对于D，正方体外接球直径等于，该球表面积，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，△A′B′C′是△ABC的直观图（斜二测画法），其中A′与O′重合，C′在y′轴上，且B′C′∥x′轴，A′C′＝2，B′C′＝3，则△ABC的最长边长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原平面图即可. 【详解】由斜二测画法可知△ABC是直角三角形，且AC＝2A′C′＝4，BC＝B′C′＝3，则最长边（斜边）AB＝5， 故答案为：5. 13. 四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出，再将两边平方，然后利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 的最小值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知为平面向量，且． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，且，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据向量的坐标运算列方程解出即可； （2）根据向量的线性运算以及向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 设，由，所以，又， 所以，解得或， 所以或； 【小问2详解】 由，所以， ， 又， 所以，解得或. 16. 已知向量，，，设函数； （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）对，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的数量积公式和三角函数的化简，可得，再利用正弦函数性质列不等式计算求解； （2）参变分离转化为函数的最值问题. 【小问1详解】 ， ， 由，得， ， 故的递增区间为，； 【小问2详解】 ，恒成立 由，得， 故时，，， 实数的取值范围是. 17. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由题可得，再根据线面平行的判定即可证明； （2）通过证明平面PBC，再根据线面的性质即可证得； （3）根据题意知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又平面ABCD，再根据锥体体积公式即可求解. 【小问1详解】 ，F是BC，PB的中点．． 又平面，平面， 平面． 【小问2详解】 平面ABCD，平面ABCD，． ，平面PAB， 平面PAB， 平面PAB，， ，F是PB中点，， ，EB、平面PBC， 平面PBC， 平面PBC， ； 【小问3详解】 三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面ABCD，ABCD是矩形，， ， 三棱锥的体积为． 18. 在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． （1）求的值； （2）若是线段的中点，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】(1)已知两边及其夹角，利用余弦定理计算边即可； (2)求中线的值利用向量的平行四边形法则，将中线表示为相邻两边的向量和，利用向量模长的计算方法计算即可 【小问1详解】 因为，且为锐角，所以， 又因，由余弦定理，． 【小问2详解】 因为是线段的中点，所以， 则， 即，即的值为． 19. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）已知满足. （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）27 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简即可求解； （2）（i）在和在中利用正弦定理化简可得，在中，由余弦定理即可求解； （ii）根据三角形面积关系可得，设，利用余弦定理可得，从而得到，由化简结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 整理得 【小问2详解】 （i）因为满足，所以， 又，设，则. 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 又，所以，即， 解得，又，所以，解得， 所以， 在中，由余弦定理得， 即. （ii）由， 所以， ， 两式相乘得，所以. 设，则，由，解得， 在中，由余弦定理得， 则， ， 由，得，当时，面积的最大值为27. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $