精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

兆麟中学2025—2026学年度下学期第三次月考 高一学年数学学科试题 考试用时：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足，则 的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 3. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若 与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 6. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 7. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面 的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分． 9. 某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图， 已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A. 该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润 B. 该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C. 该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D. 该企业2025年11月份的月利润最大 10. 如图，为圆锥底面圆 的直径，点 是圆 上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若， 为线段 上的动点，则的最小值为 11. 已知 是球 的球面上两点，为该球面上的动点，球 的半径为4，，二面角的大小为，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 直线 与平面 所成角为定值 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共（3）个小题，每小题（5）分，共（15）分． 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 13. 现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 14. 如图，在 中，，， 是 中点，与 交于点 ，若存在实数使得成立，则实数______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在 中，内角， ，所对的边分别为 ， ， ，且. （1）求角 的大小； （2）若，且 的面积为，求 的周长. 16. 如图，在三棱台中，平面，为 中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 17. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩 （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中 的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 18. 如图，长方体中，，，点P为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 19. 在 中，角所对的边分别为，且． （1）求． （2）若为边的中点，，求的最大值． （3）奥古斯丁•路易斯•柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是 内一点，过点 分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兆麟中学2025—2026学年度下学期第三次月考 高一学年数学学科试题 考试用时：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足，则 的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 所以 的共轭复数， 所以的虚部为. 2. 甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（ ） A. 人，人，人 B. 人，人，人 C. 人，人，人 D. 人，人，人 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 3. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模的坐标表示，向量数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 即， 因为，所以. 4. 在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若 与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当 既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则 与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线 分别作两平面与分别相交于直线 和直线 ， 因为，过直线 的平面与平面的交线为直线 ，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 6. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取 的中点，连接，则,所以异面直线与所成角就是直线与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解． 【详解】由题意，取 的中点，连接，则, 所以异面直线与所成角就是直线与所成角， 设正三棱柱的各棱长为,则， 设直线与所成角为， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为，故选D． 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为 的等腰梯形，因为直观图中腰长为 且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为 ． 原图如下： 将原平面图形上底 ，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 8. 在三棱锥中，两两相互垂直，，侧面与底面 的夹角为，当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析出侧面与底面 的夹角对应的平面角，结合面积关系及基本不等式得到的关系，求出三棱锥的体积最小时的值，进而求出三棱锥的外接球的表面积. 【详解】不妨设，作交 于点 ，如图所示， 因为两两相互垂直，所以，， 又平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以，则为侧面与底面 的夹角，即. 在中，， 因为， 所以，即. 又，所以（当且仅当时取等号）. （当且仅当时取等号）. 当三棱锥体积最小时，，设外接球的半径为 ， 则，解得. 所以外接球的表面积． 故选：A． 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分． 9. 某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图， 已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A. 该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润 B. 该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C. 该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D. 该企业2025年11月份的月利润最大 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润． 由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少， 故A正确； 由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确； 由折线统计图可知2025年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确； 由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误． 10. 如图， 为圆锥底面圆 的直径，点是圆 上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 圆锥外接球体积为 D. 若， 为线段 上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是 的高时，此时 的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点 ，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则 是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿 翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知是球 的球面上两点，为该球面上的动点，球 的半径为4，，二面角的大小为，则（ ） A. 是钝角三角形 B. 直线 与平面 所成角为定值 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得固定平面，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得，即A正确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱锥的外接球的球心位置和半径即可求得D正确. 【详解】如下图所示： 易知，由可得； 固定平面，由二面角的大小为可知为一个与平面夹角为的平面与 的交点（在 的右侧）， 如图中过平面 的虚线形成的劣弧所示： 取 的中点为，作平面 ，则有， 又易知， 如下图所示： 在劣弧上运动， 对于A，易知，因此可得 是钝角三角形，即A正确； 对于B，设直线 与平面 所成的角为， 则，为定值，即B正确； 对于C，作， 易知三棱锥的体积的最大值为 ，即C错误； 对于D，设三棱锥的外接球的球心为 ，如下图： 由于 是 的外心，则平面 ，因此三点共线， 设， 在中由勾股定理可得，解得； 因此三棱锥的外接球的表面积为，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面，再根据二面角大小求得线段长度得出点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可. 三、填空题：本题共（3）个小题，每小题（5）分，共（15）分． 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 13. 现有甲、乙两组数据，甲组数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2．若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为________． 【答案】6 【解析】 【分析】计算混合数据的平均数，计算混合数据的方差. 【详解】设甲组数据为，乙组数据为， 甲组平均数，乙组平均数， 混合后的平均数：， 甲组方差， 乙组方差， ， . 14. 如图，在 中，，， 是 中点，与 交于点 ，若存在实数使得成立，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量加法、数乘的几何意义得，令且得，再由向量共线的推论得，从而有，结合，应用向量数量积的运算律化简，得与的数量关系，即可得. 【详解】由，则，故， 令且，故， 由三点共线，则， 由，则， 所以， 由，则， 即，而，则. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在 中，内角，，所对的边分别为 ， ， ，且. （1）求角的大小； （2）若，且 的面积为，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求出角的大小；（2）根据面积公式求出，由余弦定理求出，进而得到三角形的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 因为， 所以， 整理得. 因为，所以，即. 又，所以. 【小问2详解】 由，且，得. 由余弦定理，及， 得. 所以（负值舍去）.故 的周长为. 16. 如图，在三棱台中，平面，为 中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由 分别是的中点，根据中位线性质，// ，且， 由棱台性质，// ，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为 ，过 作，垂足为 ,连接. 由面 ，面 ，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为 ，作，垂足为 ，连接，过 作，垂足为 . 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是 到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为 . ， . 由，即. 17. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩 （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中 的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】（1） （2） （3）中位数为，平均数为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出 ； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. 【小问2详解】 由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这 名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这 名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. 【小问3详解】 由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这 名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为 ， 则. 18. 如图，长方体中，，，点P为的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点 使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【小问1详解】 在矩形 中， ， 底面 为正方形，， 又 在长方体 中， 平面 ， 平面 ， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； 【小问2详解】 在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形 中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 假设存在点 使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面， ， 设，则由， 即， 又点 为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故 19. 在 中，角所对的边分别为，且． （1）求． （2）若为边的中点，，求的最大值． （3）奥古斯丁•路易斯•柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年－1857年）是法国著名数学家．柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用．现保持（1）的条件不变，若是 内一点，过点 分别作的垂线，垂足分别为，借助三维柯西不等式：，其中，当且仅当时，等号成立．当取得最小值时，求 的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用切化弦及正弦定理边化角，和角的正弦求解. （2）由余弦定理及基本不等式求得，再利用向量数量积的运算律求解. （3）由三维分式型柯西不等式，余弦定理，基本不等式，函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 在 中，由，得， 由正弦定理得，而， 则，又， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由（1）及余弦定理，当且仅当时取等号， 由为边中点，得， 所以， 所以当且仅当时，取得最大值. 【小问3详解】 ， 又，， 则，由三维分式型柯西不等式有， 当且仅当，即时取等号， 由余弦定理，得，即， 由，得，当且仅当时取等号， 因此，令，， ，函数在上单调递减， 当且仅当，即时， 因此当时，取得最小值，此时， 则当与时，取得最小值， 此时 的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $