七年级数学下学期期末模拟卷03（上海专用，新教材沪教版七年级数学下册全部）

**基本信息** 沪教版七年级下册期末模拟卷，90分钟100分，通过几何综合、模型应用、动手操作题，考查抽象能力、推理意识与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|不等式性质、等腰三角形、同旁内角|结合图形辨析位置关系| |填空题|12/24|逆命题、不等式解集、几何计算|融入“二八大杠”自行车等生活情境| |解答题|8/58|解不等式组、“K字”模型、剪拼四边形|任务三采购方案（模型意识）、剪拼四边形（空间观念）、“K字”模型证明（推理能力）|

2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 4．下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 5．如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 8．如果的解集为，则的取值范围是______． 9．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 10．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 11．如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是______． 12．如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于______． 13．如图，已知，且，则________度． 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 15．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 16．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 17．在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 18．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 21．（4分）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 20．（6分）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 22．（7分）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 23．（8分）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 24．（9分）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 25.（9分）如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ (1)操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； (2)思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； (3)应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． (4)小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 26．（9分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 4．下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 5．如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 8．如果的解集为，则的取值范围是______． 9．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 10．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 11．如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是______． 12．如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于______． 13．如图，已知，且，则________度． 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 15．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 16．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 17．在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 18．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 21．（4分）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 20．（6分）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 22．（7分）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 23．（8分）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 24．（9分）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 25.（9分）如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ (1)操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； (2)思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； (3)应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． (4)小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 26．（9分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 D B D B C B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.三个内角都相等的三角形是等边三角形 8. 9. 66 10 . 11． 12．8 13. 14． 15． 16. 4 17．或或 18．8或2 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集表示在数轴上，如图所示： ；……（3分） （2）， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为．……（6分） 21．（4分） 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行）……（1分） ∴（两直线平行，同位角相等），……（2分） （两直线平行，内错角相等）……（3分） ∵， ∴（等边对等角）……（4分） ∴，即平分． 20．（6分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；……（3分） （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ．……（6分） 22．（7分） 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ；……（3分） （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ．……（7分） 23． （8分） 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；……（2分） 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；……（4分） 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子．……（8分） 24．（9分） 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；……（3分） （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴；……（6分） （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：．……（9分） 25.（9分） 【详解】（1）解：绕旋转后，与旋转后的线段共线， 且总长度，拼接后的三角形边长为，即为该边长， ∴；……（2分） （2）解：在边上，共线， 故， 拼接后三角形的三个内角分别等于图1中的、，第三个内角为．……（4分） （3）解：仿照四边形的操作，该分割方法旋转平移后，无法让所有顶点、边恰好拼接为三角形， 因此不能拼成三角形；……（6分） （4）解：如图：，即：拼成三角形后的三角形．……（9分） 26．（9分） 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，．……（2分） （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点．……（5分） （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴．……（9分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版七年级数学下册全部。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．两边同时加1，不等式方向不变，原式变为，故A错误，不符合题意． B．两边同时减1，不等式方向不变，原式变为，故B错误，不符合题意． C．两边同时乘正数2，不等式方向不变，原式变为，故C错误，不符合题意． D．两边同时乘负数，不等式方向反转，原式变为，故D正确，符合题意． 故选：D． 2．已知等腰三角形的周长为16，其底边长为a，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵底边长为a， ∴两腰之和为， ∴，解得：， ∵等腰三角形两腰长相等， ∴两腰之差为0， ∴， ∴那么a的取值范围是． 故选：B． 3．如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 4．下列命题中，判断错误的是（   ） A．所有定理都有逆命题 B．对顶角相等的逆命题是真命题 C．假命题的逆命题不一定是假命题 D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行 【答案】B 【详解】解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确； 选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误； 选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确． 选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确． 因此，判断错误的是选项B． 故选：B． 5．如图，，的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论中：①；②；③；④的周长，其中正确的有几个（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，， 即和都是等腰三角形； 故①正确； 不一定等于， 不一定等于， 与不一定相等， 与不一定相等，故②错误． 在中，和的平分线相交于点， ， ， ；故③正确； 的周长为：； 故④正确； 故选：C． 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选： B． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形 【详解】解：原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于60°”，交换条件和结论后，逆命题为“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为∶三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 8．如果的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为_____． 【答案】66 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数是______． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵不等式组的整数解有四个， ∴， 故答案为：． 12．如果一个等腰三角形的周长等于20，且一边的长等于4，那么这个等腰三角形的腰长等于______． 【答案】8 【详解】解：分两种情况： 当底长为4时，腰长是：； 当腰长为4时，此时底长为：， ， 不能构成三角形，此种情况不成立，舍去． 故这个等腰三角形的腰长等于8． 故答案为：8． 13．如图，已知，且，则________度． 【答案】 【详解】如图： 过点作， ， ， ， ， 。 故答案为：130． 14．如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 15．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 16．如图，已知在中，，，，点D是边上的一点，，点E是边上一个动点，连接，以为一边在右侧作等边，连接，在点E运动过程中，线段的最小值为__ ． 【答案】4 【详解】解：如图所示，以为边在上方作等边三角形，连接，过点M作于点P，于点N，如图所示： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点E与点N重合时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴（平行线间间距相等）， ∴的最小值为4， 故答案为：4. 17．在中，，，点是三边上的动点．当为等腰三角形时，其顶角的度数是__________． 【答案】或或 【详解】解：①如图1，点P在上时， ， 顶角为； ②点P在上时， ∵， ∴， 如图2，若为顶角， 则顶角； 如图3，若为底角， 取， 则顶角为， 综上所述，顶角为或或． 故答案为: 或或． 18．在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集表示在数轴上，如图所示： ；……（3分） （2）， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为．……（6分） 21．（4分）已知：如图，中，于点D，于点G，线段，点E、A、C在同一直线上，求证：平分．请把以下证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（_______） ∴______（_________）， _________（________） ∵， ∴______（________） ∴，即平分． 【详解】证明：∵于点D，于点G， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行）……（1分） ∴（两直线平行，同位角相等），……（2分） （两直线平行，内错角相等）……（3分） ∵， ∴（等边对等角）……（4分） ∴，即平分． 20．（6分）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；……（3分） （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ．……（6分） 22．（7分）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ；……（3分） （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ．……（7分） 23．（8分）根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；……（2分） 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；……（4分） 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子．……（8分） 24．（9分）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；……（3分） （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴；……（6分） （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：．……（9分） 25.（9分）如何将任意一个四边形剪开拼成一个三角形？ (1)操作：如图，依次取四边形四条边的中点、、、，连接、、，沿着、、把四边形剪开成个三角形，个四边形；右上角的四边形保持不动，把左上角的三角形绕点旋转，把右下角的四边形绕点旋转，把左下角三角形平移使得点与点重合．通过以上操作，得到的图形就是拼接之后形成的三角形． 通过以上操作，若拼得的三角形是三边长均为的三角形，则_____； (2)思考：以上操作中，如果，则拼接之后形成的三角形的三个内角分别是、_____、_____； (3)应用：以上操作引起了同学们极大的兴趣，大家尝试把五边形拼成三角形．小马虎仿照前面操作：把一边中点和其余四边中点分别连起来，得到2个三角形、3个四边形，通过旋转平移拼三角形，他（能，不能）拼成三角形． (4)小牛试着把特殊的五边形拼成一个特殊三角形；如图3，五边形可以看作由一个正方形和等腰直角三角形重合一边组成的五边形；小牛取中点，连接，通过分割、旋转三角形把五边形拼成了一个以为腰的等腰直角三角形．请参考小牛的做法，设计一个把图3拼成三角形的方法．（直接作图，不需要写做法） 【详解】（1）解：绕旋转后，与旋转后的线段共线， 且总长度，拼接后的三角形边长为，即为该边长， ∴；……（2分） （2）解：在边上，共线， 故， 拼接后三角形的三个内角分别等于图1中的、，第三个内角为．……（4分） （3）解：仿照四边形的操作，该分割方法旋转平移后，无法让所有顶点、边恰好拼接为三角形， 因此不能拼成三角形；……（6分） （4）解：如图：，即：拼成三角形后的三角形．……（9分） 26．（9分）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，．……（2分） （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点．……（5分） （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ，∴∴．……（9分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $