专题10 期末真题百练通关（73题13大解答压轴题型）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦期末压轴题，以73道真题构建13类核心题型训练体系，覆盖方程应用、几何模型、动态探究等综合考点，强化逻辑推理与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式应用|5题|利润计算与方案设计|从等量关系到不等关系，渗透优化思想| |平行线综合|4题|拐点辅助线与角度转化|结合平行性质与角平分线，培养几何直观| |三角形证明|3题|内角和与外角性质应用|从基本定理到多角联动，强化推理能力| |全等综合|8题|判定与线段角度计算|全等与等腰结合，构建转化思维| |几何模型|19题|一线三等角/旋转等|模型识别与辅助线构造，提升空间观念| |新定义题|4题|阅读迁移与创新应用|信息提取与知识迁移，发展创新意识|

专题10 期末真题百练通关（73题13大解答压轴题型） 题型1 不等式应用题（利润+方案设计） 题型8 等腰+全等+辅助线添加 题型2 平行线角度探究+拐点辅助线 题型9 等边三角形综合（特殊等腰） 题型3 三角形内角和 + 外角综合证明 题型10一线三等角几何模型 题型4 全等三角形证明 + 线段/角度计算 题型11 倍长中线与截长补短 题型5 全等+等腰+线段/角度计算 题型12 等腰三角形旋转模型 题型6 等腰三角形+ 垂直平分线 题型13 新定义阅读理解题 题型7 等腰三角形分类讨论 题型1 不等式应用题（利润+方案设计）（共5小题） 1．(24-25七下·上海青浦区·期末)一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 2．(24-25七下·上海黄浦区·期末)静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； （2）解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 3．(24-25七下·上海嘉定区·期末)母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 4．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 【详解】解：（1）由题意． （2）解第一个不等式得：x≤320， 解第二个不等式得：x≥318， ∴318≤x≤320， ∵x为正整数， ∴x=318、319、320， 500﹣318=182， 500﹣319=181， 500﹣320=180， ∴符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件； ②生产A产品319件，B产品181件； ③生产A产品320件，B产品180件； （3）第一种定价方案下：①的利润为318×1.15+182×1.25=593.2（万元）， ②的利润为：319×1.15+181×1.25=593.1（万元） ③的利润为320×1.15+180×1.25=593（万元） 第二种定价方案下：①②③的利润均为500×1.2=600（万元）， 综上所述，第二种定价方案的利润比较多． 5．(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学·期末)淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） (1)求A，B两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． （3）根据利润为1065元，列出方程，求出m的值，然后再与（2）中m的范围进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设A规格香肠的销售单价是x元/袋，B规格香肠的销售单价是y元/袋， 根据题意得：， 解得：． 答：A规格香肠的销售单价是30元/袋，B规格香肠的销售单价是45元/袋； （2）解：设采购B规格香肠m袋，则采购A规格香肠袋， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30， 答：B规格香肠最多能采购30袋； （3）解：在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不能实现利润为1065元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴不符合题意，舍去， ∴在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，不实现利润为1065元的目标． 题型2 平行线角度探究+拐点辅助线 （共4小题） 6．(23-24七下·上海宝山区·期末)如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，当点G在点F左边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点G在点F右边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 综上所述，或． 7．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 【详解】（1）解：（1）如图1，直线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∴， 由（2）的证明可得：， ∴． 故答案为：． 8．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 【详解】（1）解：如图①，过点作， ， （如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）． ． ， ． ． ， ． ． （2）解：如图②，过点作， ． ， ． ． ， ． ． ． 故答案为：． （3）解：如图③，过点作， ， ， ． ， ， ． ． ， 由（2）已得：， ； 平分， ． 平分， ． ， 故答案为：，45． 9．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【详解】（1）解：过点P作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下： 设，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 过点P作，过点M作， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则， 设，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上：的度数为或． 题型3 三角形内角和 + 外角综合证明（共3小题） 10．(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学·期末)综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 11．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： (1)如图2，与分别为的两个外角，则______；（横线上填>、<或=） (2)初步应用：如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则______； (3)解决问题：如图4，在中，分别平分外角与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案； (4)如图5，在四边形中，分别平分外角，请利用上面的结论探究与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：=； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴，． ∵． ∵， ∴； （4）解：如图， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∵四边形中，， 又∵中，， ∴． 题型4 全等三角形证明 + 线段 / 角度计算（共3小题） 13．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. ∴； （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(24-25七下·上海普陀区·期末)如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 15．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 题型5 全等+等腰+线段/角度计算（共5小题） 16．(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如图，在中，，点，点分别在边，上，满足，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：因为，， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以． 17．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，即， ∴ （2）∵， ∴， ∵，AD为中线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴ 18．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 19．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，已知等腰，D是边上一点（不与点A、B重合），E是线段延长线上一点，． (1)说明的理由； (2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），与是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段上取一点H，使得，连接，然后通过学过的知识就能得到与相等．你能否根据小丽同学的想法，说明的理由． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴； （2）解：根据题意，作图如下， 根据（1）得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴即． ∴， ∴， ∴． 20．(24-25七下·上海松江区·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）如果FM=CM，求证：EM垂直平分DF． 【详解】证明：（1）∵E是AB的中点， ∴AE=BE， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠F， 在△ADE与△BFE中 ∠ADF=∠F，∠AED=∠BEF，AE=BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）； （2）∵△ADE≌△BFE， ∴DE=EF， ∵AD∥BC，∠ADF=∠F，∠GDF＝∠ADF， ∴∠F=∠MDF， ∴MF=MD， ∴△MFD为等腰三角形， ∵DE=EF， ∴EM垂直平分DF. 题型6 等腰三角形 + 垂直平分线（共6小题） 21．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【详解】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 22．(24-25七下·上海青浦区·期末)已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）∵是直角三角形，为直角边， ∴ ∵是等边三角形，则， ∴， 由（1）可得 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴． 23．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 24．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)在△ABC中，，，作等腰三角形．如图1，小智的方法是以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形；小慧的方法是作的垂直平分线，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形． (1)根据小智的方法，是等腰三角形的依据是 ； (2)根据小慧的方法，在图2中尺规作图并求出的度数． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴根据小智的方法，是等腰三角形的依据是两边相等的三角形是等腰三角形， 故答案为：两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如图所示， ∵，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴的度数为． 25．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． (1)如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． (2)如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 【详解】（1）解：①如图，即为所作； ②证明：∵； ∴点A在线段的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， ∵； ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（两点确定一条直线）（填推理依据） ∴．即是边上的高． 故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． （2）解：①图形如图所示； 以H为圆心，为半径作弧交于点T，连接，延长交于点D，线段即为所求 ②证明：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是的边上的高． 26．(24-25七下·上海嘉定区·期末)小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 题型7 等腰三角形分类讨论（共11小题） 27．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 28．(23-24七下·上海杨浦区双语学校·期末)如图，已知在，D为延长线的一点，平分，，点E为中点，交于点F，，． (1)求证：（写出证明过程，但不用写出每步的理由） (2)若，且为等腰三角形，求的度数．（直接写出结论） 【详解】（1）解：如图，过点P作，垂足为G， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ； （2）设， 平分， ，， 当时，， 又， ， 在中 ， 即， 解得； 当时， ， ， 在中 ， 即， 解得：， 因此的度数为或． 29．(24-25七下·上海松江区·期末)如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，交于点， 由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， 此时， 又∵，，， ∴，， ∴点、、重叠， ∵点在直线上方， ∴时，不符合题意． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 30．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴； ∴， ∴. （2）证明：如图， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，有三种情况讨论： 当时，，，解得：； 当时，，，解得：； 当时，，，此方程无解； 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 31．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 32．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 33．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)3．在中，，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD．在直线AD上取一点F，使，直线EF与直线AC交于点G． (1)如图1，如果，，． ①求的度数（用含α的代数式表示）； ②求证：； (2)如图2，如果，连接AE，当为等腰三角形时，求的度数． 【详解】（1）解：①如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：在上截取，连接交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：连接，记与的交点为点N，如图2， ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， 当点G在延长线上时，只能是，如图3： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时，的度数为或． 34．(24-25七下·上海崇明区·期末)已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 35．(24-25七下·上海青浦区·期末)在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 36．(23-24七下·上海奉贤区部分学校·期末)已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； （2）解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 37．(23-24七下·上海杨浦区·期末)上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形：   参考答案：    小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）；    【问题2】 如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为______； 【问题3】 如图2，在中，，在中，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）．    【详解】(问题1)如图，作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角．    (问题2) 根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当， 最大， 故答案为：； (问题3)根据题意，设计如下： 方案1：作的平分线，交于点M，根据题意，得，； 作，交于点N，根据题意，得，．    方案2：作，交于点Q，根据题意，得，；    作，交于点O，根据题意，得，． 题型8 等腰 + 全等+辅助线添加 （共5小题） 38．(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，点D在上，点M为的中点．    (1)连接，延长与相交于点F，请根据要求画出图形，并说明． (2)再连接，已知，求的长． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．    （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴．    39．(24-25七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E、交于点F． (1)求证：； (2)如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2），证明如下： 过D作于G ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴． 40．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)如图，在中，，交于F，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 【详解】（1）解：， 为等腰三角形，， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：延长，取点使得，连接，如图， ， ， ，， 又， ， 为等腰三角形，， 设，则， ， ，， ，解得， ． 故． 41．(24-25七下·上海风华初级中学·期末)如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图1，点D是的中点，，平分，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点G，如果，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 【详解】（1）证明：延长交于点， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①过点作于点，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接，过点作交延长线于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型9 等边三角形综合（特殊等腰）（共4小题） 43．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 【详解】（1）∵和为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴，即平分， ∵为等边三角形， ∴． 44．(24-25七下·上海崇明区·期末)已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．      (1)如图1，如果点是的中点，说明； (2)如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ． （2）解：成立，理由如下： 如图，过点作，   ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ． ． 45．(24-25七下·上海金山区·期末)某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【详解】（1）证明：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下， ∵，是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 46．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)已知：中，点D是的中点．           (1)如图1，，．垂足分别为E、F．求证：； (2)若．点E在的延长线上．且 ①如图2，若点F（恰好在上），求证：； ②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长． 【详解】（1）证明：如图1，连接 点是的中点． ， （2）解：①如图2， 为等边三角形， 过作交于 为等边三角形， 点是的中点， ②如图3，由①同理可得： 为等边三角形， 为的中点， 故答案为： 题型10一线三等角几何模型（共6小题） 47．(24-25七下·上海长宁区复旦中学·期末)如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 【详解】（1）解：CE＝BE且CE⊥BE，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． （2）解：（1）中结论成立，理由如下： ∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°， ∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB， 在△CDE和△EAB中， ∴， ∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA， ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴CE⊥BE， ∴CE＝BE且CE⊥BE． 48．(24-25七下·上海普陀区·期末)已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作线段的垂直平分线交射线于D，以点B为圆心，的长为半径画弧交于C，连接，则即为所求； 由线段垂直平分线的性质可得，则，则， 再由可得； （3）解：如图所示，过点C作于F，设线段的垂直平分线交于E， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校·期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 50．(24-25七下·上海崇明区·期末)（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 51．(22-23七下·上海北初级中学·期末)探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 【详解】解：（1）如图1，直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①如图3，∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ，，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， 综上：全等的图形有； ②为等边三角形，理由如下： ∵ ，， ， 为等边三角形． 52．(24-25七下·上海黄浦区·期末)（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 【详解】（1）解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（）， 故答案为：； （2）解：由（1）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故答案为：8． （3）①如图，当时， 则， ∵等边中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． ②如图所示，当点恰好落在射线上时， ∵等边中，，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型11 倍长中线与截长补短（共3小题） 53．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 54．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 【详解】解：（）为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的理由是， 故选：； （）∵， ∴， ∵， ∴， 即； （）延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 55．(23-24七下·上海徐汇区·期末)【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴， （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）证明：在上截取， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型12 等腰三角形旋转模型（共7小题） 56．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F． (1)①依题意补全图形；②求证：； (2)连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：①如图， ②连接， ，，D是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：； 证明：延长至，使得，连接、， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 是的中点， ， 在和中， ， （）， ， ． 57．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 【详解】（1）与为等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ； （2）与的夹角不改变， 理由：设，交于，与交于， 由（1）知， ， ， ， ， 故与的夹角不改变． 58．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：； （2）①． 理由：∵， ∴． 即． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°， 即：∠BCE+∠BAC=180°， ∴α+β=180°， 如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE， ∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°， ∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE． ∴α=β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β． 59．(23-24七下·上海交大附中附属集团·期末)如图1，在中，延长到D，使，E是上方一点，且，连接． (1)若，则______； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接交于F，若，求证：F是的中点； (3)在如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，（）求线段的长度． 【详解】（1）解：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 如图，连接， 将沿直线翻折得到， ， ， ，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3）解：如图，连，延长交于M， 根据折叠的性质，则， ，， ， 在与中， ， ， 由（2）知，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 60．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：同（1）可证，， ∵， ∴， ∵， ∴． 61．已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， 平分， ， ， 的度数是； （2）解：设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 设， ， ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ； 即； （3）解：∵， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 62．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ． ， ， ， ． ，即， ． 在和中， ， ． （2）解：结论成立， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ． ， ． ． ， ， ∵， ， ． 在和中， ． （3）①当时，如图所示． ， ． ，， ． ， ， ， ． ②当时，如图所示． 同①，． 综上所述，或． 题型13 新定义阅读理解题（共4小题） 63．(24-25七下·上海长宁区·期末)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三线合一 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的“等角分割线”； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵是的“等角分割线”， ∴①，， 解得：； ②，， 解得：（舍去）， 综上：； （3）解：记的平分线与交于点， ①当时， ∵，平分， ∴，，， 设，则 ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， 综上：的度数为或． 64．(24-25七下·上海金山区·期末)设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， ∴最短， ∴点A为所求费马点； 故答案为：A； （2）①解：， 理由：∵与是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：设与交于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在上截取， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 65．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴，，， ∴与为均等三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，， ∵是的均等分割线， ∴， 此时，，满足条件； ②当时，， ∴， ∵是的等角分割线， ∴， 则， ③当时，， 则 那么（舍去）， 故的度数为或． 66．(23-24七下·上海嘉定区·期末)阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 【详解】（1）①∵是“准互余三角形”，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②是“奇妙互余三角形”， ，， 当时， ∴ ∴， ∴ 当时， ∴ ∴， ∴． 故答案为：或； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴是“奇妙互余三角形”． （3）解：当P在线段上时，如图： ，是“奇妙互余三角形”， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图： ∵， ∴． 当时， ∵， ∴（舍去）； 当时， ∵， ∴（舍去）． 综上所述，的度数为或． 67．(23-24七下·上海普陀区·期末)小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 【详解】解：问题1： 由题意知三角形中有两个“布洛卡点”， ∵等边三角形每个角为， ∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为， 故答案为：1，30． 问题2：（1），理由如下： ∵， ∴， ∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， （2）过C点作与D，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 68．(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学·期末)在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解． （1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案； （2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解； （3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵P为的完美点， ∴，和是等腰三角形， ∵ ∴和是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形的周长为， 故答案为：24． （2）连接，设， ∵为的完美翻折线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰三角形，且都为顶角 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：连接，过P作于点H，于点N， ∵为的完美翻折线， ∴，和是等腰三角形， 设， ∴， ∴， ∵为顶角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为的平分线， ∴， 所以，点P到边的距离相等． 1．阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 【详解】解：如图，将和拼在一起（即：点与点重合，点与点重合），和相交于点， 在和中， ， ， ，， ， 在与中， ， ． 2．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 【详解】（1）如图1中， 是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ， （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意 ①当点在线段上时， ， 解得：； ②当点在延长线上时，， ， 解得：， 综上，当为或时，的面积为； （3）存在． ①如图2中，当时， ，， ． ， ， 解得， ②如图中，当时， ，， ． ， ， 解得． 综上所述，或时，与全等． 4．我们知道：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等简称“SSA”，那么这两个三角形不一定全等． (1)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，那么在△ABD和△ACD中，AD=AD，AB=AC，∠B=∠C，请判断：△ABD和△ACD____（填“全等”或“不全等”）．遇到这种情况，我们可以添加一定的辅助线构造出全等的三角形：如图2，在（1）的条件下，在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，请判断△ABD和△ACE是否全等？并说明理由． (2)如图3，在四边形ABCD中，CA平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB． (3)如图4，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E在CA的延长线上且AE=1.5cm，连接EB，在线段BC上取一点F，使得EB=EF，连接EF，求BF的长．（直接写答案） 【详解】（1）解：在△ABD和△ACD中，AD=AD，AB=AC，∠B=∠C， △ABD和△ACD不全等， 故答案为：不全等； △ABD和△ACE全等，理由如下： ∵AD=AE， ∴△ADE是等腰三角形， ∴∠ADE=∠AED， ∴∠ADB=∠AEC， 又∵AB=AC，∠B=∠C， ∴； （2）证明：在AB上取一点E，使得∠ADC=∠AEC， ∵CA平分∠BAD， ∴∠DAC=∠EAC， 又∵AC=AC，∠ADC=∠AEC， ∴（AAS）， ∴CD=CE， 又∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CEB+∠AEC=180°，∠ADC=∠AEC， ∴∠ABC=∠CEB， ∴CE=CB， ∴CD=CB； （3）解：在AC上取一点M，使得FM=MC， ∵ EB=EF， ∴∠EBF=∠EFB， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=5cm， ∴∠EBF=∠EBA+60°，∠EFB=∠FEC+60°，∠EAB=120°， ∴∠EBA=∠FEC， ∵∠ACB=60°，FM=MC， ∴△CFM是等边三角形， ∴FM=FC，∠CMF=60°， ∴∠EAB=∠FME=120°， ∴（AAS）， ∴AE=FM， ∴AE=CF=1.5cm， ∴BF=BCCF=3.5cm． 5．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 【详解】（1）结论：点D不是的费马点． 理由：如图，作于点E，连接， ∴． ∵， ∴E、D不重合． 在中，， ∴， ∴点E到各顶点的距离之和点D到各顶点的距离之和， ∴点D不是的费马点； （2）①证明：∵和都为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴； ②证明：如图，连接． 由①知，， ∴， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 由，得， ∴点P是的费马点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期末真题百练通关（73题13大解答压轴题型） 题型1 不等式应用题（利润+方案设计） 题型8 等腰+全等+辅助线添加 题型2 平行线角度探究+拐点辅助线 题型9 等边三角形综合（特殊等腰） 题型3 三角形内角和 + 外角综合证明 题型10一线三等角几何模型 题型4 全等三角形证明 + 线段/角度计算 题型11 倍长中线与截长补短 题型5 全等+等腰+线段/角度计算 题型12 等腰三角形旋转模型 题型6 等腰三角形+ 垂直平分线 题型13 新定义阅读理解题 题型7 等腰三角形分类讨论 题型1 不等式应用题（利润+方案设计）（共5小题） 1．(24-25七下·上海青浦区·期末)一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 2．(24-25七下·上海黄浦区·期末)静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 3．(24-25七下·上海嘉定区·期末)母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 4．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 5．(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学·期末)淮安香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进A，B两种规格的淮安香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，A，B两种规格淮安香肠的进价、售价均保持不变） (1)求A，B两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求B规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1065元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型2 平行线角度探究+拐点辅助线 （共4小题） 6．(23-24七下·上海宝山区·期末)如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 7．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，，直线分别交于点E，F．的角平分线与的角平分线交于点G． (1)直线有何位置关系？直接写出结论 ． (2)在图1的基础上，分别作的角平分线与的角平分线交于点M，得到图2，求的度数． (3)如图3，，直线分别交于点E，F，点O在直线之间，且在直线右侧，的角平分线与的角平分线交于点P，请直接写出与满足的数量关系 ． 8．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)已知，点为平面内的一点，． (1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系． 解： ．（根据如图填射线的画法） 因为， 所以 （ ）． 所以（两直线平行，内错角相等）； （请继续完成接下去的说理过程） (2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）； (3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度． 9．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 题型3 三角形内角和 + 外角综合证明（共3小题） 10．(24-25七下·上海崇明区（五四制）民一中学·期末)综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 11．（24-25七年级下·上海青浦·阶段检测）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 12．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究： (1)如图2，与分别为的两个外角，则______；（横线上填>、<或=） (2)初步应用：如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则______； (3)解决问题：如图4，在中，分别平分外角与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案； (4)如图5，在四边形中，分别平分外角，请利用上面的结论探究与的数量关系． 题型4 全等三角形证明 + 线段 / 角度计算（共3小题） 13．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．(24-25七下·上海普陀区·期末)如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 15．(24-25七下·上海崇明区·期末)如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 题型5 全等+等腰+线段/角度计算（共5小题） 16．(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如图，在中，，点，点分别在边，上，满足，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 17．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点． (1)若，求的度数； (2)试说明的理由． 18．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： (1)是等腰三角形． (2)． 19．(23-24七下·上海杨浦区·期末)如图，已知等腰，D是边上一点（不与点A、B重合），E是线段延长线上一点，． (1)说明的理由； (2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：点D在运动的过程中（不与点A、B重合），与是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己的想法：可以在线段上取一点H，使得，连接，然后通过学过的知识就能得到与相等．你能否根据小丽同学的想法，说明的理由． 20．(24-25七下·上海松江区·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点M在BC边上，且∠MDF=∠ADF． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）如果FM=CM，求证：EM垂直平分DF． 题型6 等腰三角形 + 垂直平分线（共6小题） 21．(24-25七下·上海闸北第八中学·期末)如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 22．(24-25七下·上海青浦区·期末)已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上． (1)求证：； (2)求证：． 23．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 24．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)在△ABC中，，，作等腰三角形．如图1，小智的方法是以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形；小慧的方法是作的垂直平分线，交于点，连接，则为所求作的等腰三角形． (1)根据小智的方法，是等腰三角形的依据是 ； (2)根据小慧的方法，在图2中尺规作图并求出的度数． 25．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题． (1)如图1，已知，求作边上的高．小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，长为半径作弧；②以B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点E；③连接，交于点D．所以线段就是所求的边上的高． （i）请用直尺和圆规，完成小亮的作图（保留作图痕迹）； （ii）分别连接，再将该作图的证明过程补充完整． 证明：∵；∴点A在线段的垂直平分线上．（________）（填推理依据） ∵；∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分线段．（________）（填推理依据） ∴．即是边上的高． (2)如图2，已知中，是边上的高，，求作边上的高． 小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧． ①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）； ②根据小红的作法，求证：是边上的高． 26．(24-25七下·上海嘉定区·期末)小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 题型7 等腰三角形分类讨论（共11小题） 27．(25-26七下·上海金山区世外学校·期末)如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 28．(23-24七下·上海杨浦区双语学校·期末)如图，已知在，D为延长线的一点，平分，，点E为中点，交于点F，，． (1)求证：（写出证明过程，但不用写出每步的理由） (2)若，且为等腰三角形，求的度数．（直接写出结论） 29．(24-25七下·上海松江区·期末)如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 30．(23-24七下·上海松江区·期末)如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于． (1)试说明与相等的理由； (2)连接，若，说明与相等的理由； (3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 31．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 32．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 33．(24-25七·上海杨浦区部分学校·期末)3．在中，，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD．在直线AD上取一点F，使，直线EF与直线AC交于点G． (1)如图1，如果，，． ①求的度数（用含α的代数式表示）； ②求证：； (2)如图2，如果，连接AE，当为等腰三角形时，求的度数． 34．(24-25七下·上海崇明区·期末)已知在中，，点D是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 35．(24-25七下·上海青浦区·期末)在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 36．(23-24七下·上海奉贤区部分学校·期末)已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 37．(23-24七下·上海杨浦区·期末)上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案． 5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形：   参考答案：    小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答： 【问题1】 如图1，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）；    【问题2】 如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为______； 【问题3】 如图2，在中，，在中，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）．    题型8 等腰 + 全等+辅助线添加 （共5小题） 38．(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学·期末)如图，和都是等腰直角三角形，，点D在上，点M为的中点．    (1)连接，延长与相交于点F，请根据要求画出图形，并说明． (2)再连接，已知，求的长． 39．(24-25七下·上海黄浦区·期末)如图，在中，，D是上一点，且，过B作，分别交于点E、交于点F． (1)求证：； (2)如果，请猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 40．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)如图，在中，，交于F，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 41．(24-25七下·上海风华初级中学·期末)如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 42．(24-25七下·上海闵行区·期末)已知：如图1，点D是的中点，，平分，点F在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点G，如果，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 题型9 等边三角形综合（特殊等腰）（共4小题） 43．(23-24七下·上海嘉定区·期末)如图，已知是等边三角形，D为边上一点，以为边向形外作等边三角形、联结 (1)试说明的理由； (2)如果，试说明的理由． 44．(24-25七下·上海崇明区·期末)已知在等边中，点是边上一点，点是延长线上一点，．      (1)如图1，如果点是的中点，说明； (2)如图2，如果点是上任意一点（不与点、重合），还成立吗？请说明理由． 45．(24-25七下·上海金山区·期末)某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 46．(23-24七下·上海青浦区实验中学·期末)已知：中，点D是的中点．           (1)如图1，，．垂足分别为E、F．求证：； (2)若．点E在的延长线上．且 ①如图2，若点F（恰好在上），求证：； ②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长． 题型10一线三等角几何模型（共6小题） 47．(24-25七下·上海长宁区复旦中学·期末)如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE． (1)判断CE与BE的关系是 ． (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． 48．(24-25七下·上海普陀区·期末)已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图1，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图2中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） (3)在（2）所作的图中，当时，求的面积．（用含的代数式表示） 49．(24-25七下·上海宝山区上海大学附属宝山外国语学校·期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 50．(24-25七下·上海崇明区·期末)（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 51．(22-23七下·上海北初级中学·期末)探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是 ； 拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形 ；②求证：是等边三角形． 52．(24-25七下·上海黄浦区·期末)（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以___________；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中的面积是___________； （3）拓展提升：如图3，等边中，，点在上，且，动点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当时，的长是___________． ②当点恰好落在射线上时，请直接写出的长． 题型11 倍长中线与截长补短（共3小题） 53．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB． (1)求∠AOE的度数； (2)求证：AC=AE+CD． 54．(24-25七下·上海浦东新区上南中学东校·期末)综合与实践 【问题情境】课外数学社团开展活动时，指导老师提出了如下问题：如图1，在中，若，为边上的中点，试求中线长的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下解决方法：如图，延长到点，使，连接．请根据小明同学的方法思考： （）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是_______． ．    ．      ．       ． （）求中线长的取值范围． 【解决问题】 （）老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，和都是等腰直角三角形，，是的中线，若，求的长． 55．(23-24七下·上海徐汇区·期末)【问题情境】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离． 【探索应用】 （2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：． 题型12 等腰三角形旋转模型（共7小题） 56．(24-25七下·上海徐汇区世界外国语中学·期末)如图，在中，，，D是的中点，E是的中点，连接．若射线与的夹角为，过点作交射线于点F． (1)①依题意补全图形；②求证：； (2)连接，，判断线段，之间的数量关系，并证明． 57．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转； (1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由； (2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由． 58．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 59．(23-24七下·上海交大附中附属集团·期末)如图1，在中，延长到D，使，E是上方一点，且，连接． (1)若，则______； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接交于F，若，求证：F是的中点； (3)在如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，（）求线段的长度． 60．(24-25七下·上海宝山区同洲中学·期末)已知，分别以、为边作和，且，，，连接与，、分别是与的中点． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则______； (3)如图，若，试探究与的数量关系，并给予证明． 61．已知：在等腰中，，．把绕点逆时针旋转得到，其中点，分别是点，的对应点． (1)如图，若，平分，求的度数； (2)在旋转过程中，若直线，相交于点， 如图，当点，在直线右侧时，若，求的度数； 设，请直接用含的式子表示； (3)如图，当时，在线段上取一点，连接，使得，请求出的度数． 62．(22-23七下·上海毓秀学校、青浦一中·期末)已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点； (1)如图，若点在线段上，且，求证：； (2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由； (3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数． 题型13 新定义阅读理解题（共4小题） 63．(24-25七下·上海长宁区·期末)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割线”． 已知在中，，点在边上． (1)如图1，如果，求证：是的“等角分割线”； (2)如图2，如果，且是的“等角分割线”，求的度数； (3)是的“等角分割线”，的平分线交于点．如果，那么的度数为___________． 64．(24-25七下·上海金山区·期末)设平面上的三个点A、B、C．需确定点P的位置，使最小．当点A、B、C共线时，点P应取三点中居中的点．当点A、B、C不共线时，分成两类；有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约1640年，法国数学家费马（PierredeFermat，1601﹣1665）提出了这个问题，此问题中求得的点P也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点A、B、C不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，　　　为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时，我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点P，点P就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点P就是费马点，连接，求证：． 65．(24-25七下·上海北初级中学教育集团·期末)【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 66．(23-24七下·上海嘉定区·期末)阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”． 完成以下问题： (1)填空： ①若是“奇妙互余三角形”，，，则________ ②若是“奇妙互余三角形”，，，则________ (2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由． (3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数． 67．(23-24七下·上海普陀区·期末)小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空． 【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”． 【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由） 问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度； 问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”． （1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离． 68．(24-25七下·上海浦东新区张江集团中学·期末)在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点． (1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝ ． (2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数． (3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由． 1．阅读理解题： 直角三角形是特殊的三角形，关于一般三角形全等的判定方法，对直角三角形都适用．对于一般三角形而言，利用“边、边、角”不能判定两个三角形全等，它能否成为直角三角形全等的判定定理呢？ 两个直角三角形中，如果“边、边、角”对应相等，那么其中对应相等的角一定是直角．因此对应相等的边只能分别是斜边和一条直角边．我们只要研究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？ 已知：在和，，， 求：， 证明：把和拼在一起，由于，因此可以和重合，由于，因此点、点、点在一条直线上，于是得到 因为（已知） 所以（等边对等角） 在和中（完成以下说理的过程） 所以（            ） 能否模仿例题的解题思路，自己画图， 换一种方法证明这两个直角三角形全等？ 2．如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 3．如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为． (3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值． 4．我们知道：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等简称“SSA”，那么这两个三角形不一定全等． (1)如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且CD>BD，连接AD，那么在△ABD和△ACD中，AD=AD，AB=AC，∠B=∠C，请判断：△ABD和△ACD____（填“全等”或“不全等”）．遇到这种情况，我们可以添加一定的辅助线构造出全等的三角形：如图2，在（1）的条件下，在CD上取一点E，使得AE=AD，连接AE，请判断△ABD和△ACE是否全等？并说明理由． (2)如图3，在四边形ABCD中，CA平分∠BAD，∠ABC+∠ADC=180°，求证：CD=CB． (3)如图4，已知△ABC是边长为5cm的等边三角形，点E在CA的延长线上且AE=1.5cm，连接EB，在线段BC上取一点F，使得EB=EF，连接EF，求BF的长．（直接写答案） 5．费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． (1)如图，中，，，点D在线段上且线段，请判断：点D是否为的费马点，并说明理由． (2)现有真命题：在中，三个内角都小于，在其内部存在一点P，满足，则点P称为的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于的，分别以线段为边向外侧作等边三角形和等边三角形，连接交于点P．请完成证明： ①求证：； ②在线段上取点F使，连接， 求证：点P是的费马点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $