4.3.1 等比数列的概念分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到创新探究梯度合理，覆盖等比数列定义、运算及综合应用，适配不同能力学生，巩固知识并发展数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|等比数列概念辨析、基本量（首项、公比、项数）计算|选择题为主，直接考查定义和公式应用，如第1题判断等比数列，夯实基础| |B级|等比数列性质、递推关系转化、综合计算|含多选题（第8题）、解答题（第11题），结合前n项和判断等比数列，培养推理能力| |C级|等比数列证明、存在性问题探究|解答题（第12题）证明{Sn+1}为等比数列并探究最小项，发展逻辑思维与创新意识|

4.3.1　等比数列的概念 A级 必备知识基础练 1.下列数列为等比数列的是(　　) A.0,1,2,4,… B.22,42,62,82,… C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,… D.,… 2.等比数列x,2x+2,3x+3,…的第4项为(　　) A.- B. C.-27 D.27 3.若等比数列的首项为,末项为,公比为,则这个数列的项数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 4.若数列{an}为等比数列,且a1+a2=1,a3+a4=2,则a15+a16=(　　) A.32 B.64 C.128 D.256 5.已知各项均为正数的等比数列{an},a2a9=8,a5=2,则公比q为(　　) A. B.2 C. D.4 6.在等比数列{an}中,a4=24,a6=6,则a5=(　　) A.12 B.-12 C.±12 D.15 7.已知{an}为递增的等比数列,且满足a3=4,,则a7=(　　) A. B.1 C.16 D.32 B级 关键能力提升练 8.(多选题)在递增的等比数列{an}中,a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.数列是首项为,公比为等比数列 C.a1·a2·a3·…·a10=255 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 9.已知数列{an}是递增数列,且满足an+1=2an+1,则a1的取值范围是　　　　　　. 10.在正项数列{an}中,ln an+1=ln an+2,且a1a3=e6,则an=　　　　　.  11.已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数). (1)当k=2时,求a2,a3的值; (2)试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. C级 学科素养创新练 12.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,且Sn=2Sn-1+1(n>1,n∈N*). (1)证明:数列{Sn+1}为等比数列; (2)若bn=-26an,是否存在正整数k,使得bn≥bk对任意n∈N*恒成立?若存在,求k的值;若不存在,说明理由. 参考答案 1.D　2.A　3.B　4.C　5.B　6.C 7.C　由题意,,a1a5==16, ∴a1+a5=10,联立 则 ∵{an}是递增的数列,∴a1=2,a5=8,设等比数列{an}的公比为q,则q4==4,∴a7=a3q4=16. 8.BC　设{an}的公比为q.∵在递增的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,a1a4=32,a2+a3=12,∴a1a4=a2a3=32, ∴解得(舍), ∴q=2,a1==2,故A错误; ∴an=2·2n-1=2n, ∴,当n=1时,,即数列是首项为,公比为的等比数列,故B正确; a1·a2·a3·…·a10=21×22×23×…×210=21+2+3+…+10==255,故C正确; ∵an=2n,∴lg an=lg 2n=nlg 2, ∴数列{lg an}不是公差为2的等差数列,故D错误. 9.(-1,+∞)　10.e2n-1 11.解 (1)由题意可得a2=2S1+1=3,a3=2S2+1=2×(1+3)+1=9. (2)当n≥2时,an=kSn-1+1. 由an+1=kSn+1,an=kSn-1+1两式相减得an+1=(k+1)an. 当k=-1时,{an}不是等比数列; 当k≠-1时,可得=k+1(n≥2),当n=1时,a1=1,a2=ka1+1,所以=k+1,故对任意的n∈N*都有=k+1,此时数列{an}是等比数列. 综上,当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,{an}是等比数列. 12.(1)证明 因为当n>1,n∈N*时,Sn=2Sn-1+1, 所以Sn+1=2(Sn-1+1), 又因为S1+1=2, 所以数列{Sn+1}是首项为2,公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知,Sn+1=2n,所以Sn=2n-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1, 当n=1时,a1=1,满足上式, 所以an=2n-1(n∈N*), 所以bn=4n-15·2n+1, 令t=2n,所以bn=t2-15t+1,t∈{2,4,8,16,…},故当t=8即n=3时,bn取得最小值,所以k=3. 学科网（北京）股份有限公司 $