2025-2026学年广东省深圳市宝安区八年级下学期期末数学练习卷

**基本信息** 立足深圳地域特色与文化传承，融合生活实践与跨学科情境，全面考查八年级下册数学核心知识与素养，如港珠澳大桥行程问题、春节春联销售应用等。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|公因式、中心对称、三角形全等、旋转角度等|结合《国家宝藏》标志考中心对称，五叶风扇旋转角度体现空间观念| |填空题|5/15|分式意义、完全平方公式、一次函数不等式等|正多边形跑步问题考查外角和，平行四边形旋转综合几何直观| |解答题|7/61|不等式组、分式化简、平移旋转作图、几何证明等|透视灭点结合一次函数（跨学科），春节春联销售考分式方程应用（文化传承）|

2025-2026学年广东省深圳市宝安区八年级（下）期末数学练习卷 1、 选择题（每小题3分，共24分） 1．多项式ma2﹣mb2的公因式是（　　） A．m B．m2 C．ma D．mb 2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 4．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 5．如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为16m，由此估测A，B之间的距离约为（　　） A．16m B．24m C．32m D．48m 6．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 7．粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等．一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时．设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC的外角∠ACF，∠EAC的平分线CP，AP交于P，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的有（　　） ①PM＝PN； ②BP平分∠ABC； ③S△PAC＝S△MAP+S△NCP； ④∠CAB＝2∠CPB． A．.①② B．.①②③ C．.①③④ D．.①②③④ 2、 填空题（每小题3分，共15分） 9．若分式有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 10．一个正方形面积为x2+4x+4（x＞0），则它的边长为　 　 ． 11．如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+n相交于P（a，2），则不等式x+1≥mx+n解集为　 　 ． 12．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转30°，再前进10米后又向右转30°…，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为　 　 米． 13．如图，在平行四边形ABCD中，将AB绕A逆时针旋转到AB'，∠BAB'的角平分线经过BC的中点E，且B'CBC，∠DAB'∠B'BC，则的值为 　 　 ． 3、 解答题（共7小题，61分） 14．（7分）解不等式组：，并写出所有的非负整数解． 15．（7分）先化简，再求值：，其中x＝4． 16．（8分）如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）将△ABC向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，并写出A1的坐标： （2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2； （3）连接BC2，CB2，请求出四边形BC2B2C的面积． 17．（9分）2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同． （1）甲、乙两种春联一副的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进这两种春联共500副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为10元/副、14元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于2700元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 18．（9分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 19．（10分）在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】：在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A（﹣8，1）和B（﹣4，3），右侧边界线l2的函数表达式为y＝﹣3x+6，l1和l2相交于点P，即点P为灭点． （1）求左侧边界线AB的函数表达式； （2）求灭点P的坐标，并判断灭点是否在区域“0≤x≤1，0≤y≤5”内； 【迁移应用】： （3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持l1的位置不变，将l2向上平移c个单位长度（c＞0），使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围． 20．（11分）如图1，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F． （1）【初识图形】： ①请判断线段BF，CE的数量关系，并说明你的理由； ②若AB＝10，CE＝6，AC＝8，则EF＝ 　 　 ； （2）【特例感知】：如图2，若AB＝5，AC＝4，试探究DE•AD是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由； （3）【综合应用】：如图3，四边形MNPQ是平行四边形，面积为20，若平面内有一点G，满足GM＝GP，∠MGP＝90°，GN＝8，请直接写出GQ的长． 参考答案 1．多项式ma2﹣mb2的公因式是（　　） A．m B．m2 C．ma D．mb 【分析】根据公因式的定义确定即可． 【解答】解：多项式ma2﹣mb2的公因式是m， 故选：A． 【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 故选：A． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】由“SAS”可证△BFD≌△CDE，可得∠BFD＝∠CDE，由三角形的外角性质可得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵BF＝CD，∠B＝∠C，BD＝CE， ∴△BFD≌△CDE（SAS） ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE， ∴∠B＝∠FDE＝65°＝∠C， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，证明△BFD≌△CDE是本题的关键． 4．电风扇是一种常见的家用电器，可以为人们带来凉爽的风和舒适的感觉．如图是一款五叶电风扇，在其持续运转的过程中，叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是（　　） A．60° B．72° C．75° D．108° 【分析】根据周角是360°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：360°÷5＝72°， ∴叶片A旋转到叶片B的位置时，旋转的角度可以是72°， 故选：B． 【点评】本题考查了生活中的旋转现象，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为16m，由此估测A，B之间的距离约为（　　） A．16m B．24m C．32m D．48m 【分析】根据三角形的中位线定理计算即可． 【解答】解：∵点D、E分别为CA、CB的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×16＝32（m）， 故选：C． 【点评】本题考查三角形的中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 6．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　） A． B． C． D． 【分析】设点C表示的数是x，先根据条件求出AB，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：设点C表示的数是x， ∵A，B两点对应的实数分别为1和， ∴， ∴点A关于点B的对称点为点C， ∴AB＝BC， ∴， 或， ∴或1（不合题意舍去）， ∴点C表示的数是， 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 7．粤港澳大湾区拥有密集的交通网络，如港珠澳大桥、深中通道、虎门大桥等．一辆跨境货车从珠海前往香港，通过港珠澳大桥（全长约55公里），若货车的平均速度提高10km/h，则通行时间可减少0.1小时．设货车原来的平均速度为xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据时间＝路程÷速度结合通行时间可减少0.1小时，可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设设货车原来的平均速度为xkm/h，则提高10km/h后的平均速度为（x+10）km/h， 依题意得． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 8．如图，△ABC的外角∠ACF，∠EAC的平分线CP，AP交于P，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的有（　　） ①PM＝PN； ②BP平分∠ABC； ③S△PAC＝S△MAP+S△NCP； ④∠CAB＝2∠CPB． A．.①② B．.①②③ C．.①③④ D．.①②③④ 【分析】作PH⊥AC于点H，由角平分线的性质得PM＝PH＝PN，可判断①正确；可证明BP平分∠ABC，可判断②正确；再证明△MAP≌△HAP，△NCP≌△HCP，则S△MAP＝S△HAP，S△NCP＝S△HCP，所以S△PAC＝S△HAP+S△HCP＝S△MAP+S△NCP，可判断③正确；由∠PCF∠ACF，∠PBC∠ABC，得∠CPB＝∠PCF﹣∠PBC（∠ACF﹣∠ABC）∠CAB，则∠CAB＝2∠CPB，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：作PH⊥AC于点H， ∵△ABC的外角∠ACF，∠EAC的平分线CP，AP交于P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PH＝PN，∠PAM＝∠PAH，∠PCN＝∠PCH，∠AMP＝∠AHP＝∠CNP＝∠CHP＝90°， 故①正确； ∴点H在∠ABC的平分线上， ∴BP平分∠ABC， 故②正确； 在△MAP和△HAP中， ， ∴△MAP≌△HAP（AAS）， 同理△NCP≌△HCP（AAS）， ∴S△MAP＝S△HAP，S△NCP＝S△HCP， ∴S△MAP+S△NCP＝S△HAP+S△HCP， ∵S△PAC＝S△HAP+S△HCP， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP， 故③正确； ∵∠PCF∠ACF，∠PBC∠ABC， ∴∠CPB＝∠PCF﹣∠PBC（∠ACF﹣∠ABC）∠CAB， ∴∠CAB＝2∠CPB， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠2　 ． 【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣2≠0， 解得，x≠2， 故答案为：x≠2． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 10．一个正方形面积为x2+4x+4（x＞0），则它的边长为x+2　 ． 【分析】正方形面积x2+4x+4可以分解为（x+2）2，又因为正方形面积＝边长2，所以它的边长为x+2． 【解答】解：∵x2+4x+4＝（x+2）2 ∴正方形的边长为x+2． 【点评】此题是用完全平方公式分解在实际生活中的应用，也考查了正方形的面积公式． 11．如图，直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+n相交于P（a，2），则不等式x+1≥mx+n解集为x≥1　 ． 【分析】将点P（a，2）代入关系式y＝x+1可得a，再根据直线l1与直线l2相交或直线l1在直线l2上方得出自变量取值范围即可． 【解答】解：∵直线l1：y＝x+1和直线l2：y＝mx+n相交于P（a，2）， ∴a+1＝2， 解得a＝1， 即P（1，2）． 当x≥1时，x+1≥mx+n． 故答案为：x≥1． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 12．如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点O出发，前进10米后向右转30°，再前进10米后又向右转30°…，这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点O为止，则这个正多边形的周长为　120　 米． 【分析】由每个外角都相等得出每个内角都相等，再根据边长都是10米得出这个多边形是正多边形，根据多边形外角和定理即可求出其边数，从而求出其周长． 【解答】解：由题意可知这个多边形为正多边形， ∵360°÷30°＝12， ∴这个多边形为正十二边形， ∴它的周长为10×12＝120（米）， 故答案为：120． 【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 13．如图，在平行四边形ABCD中，将AB绕A逆时针旋转到AB'，∠BAB'的角平分线经过BC的中点E，且B'CBC，∠DAB'∠B'BC，则的值为 　　 ． 【分析】由旋转得AB′＝AB，而AE平分∠BAB′，所以AE垂直平分BB′，则B′E＝BE＝CEBC，而B'CBC，可证明△B′CE是等边三角形，由∠B′EC＝2∠B′BC＝60°，求得∠B′BC＝30°，则∠BB′C＝90°，∠DAB'∠B'BC＝15°，由AE∥B′C，AD∥BC，得∠DAE＝∠AEB＝∠B′CE＝60°，求得∠EAB′＝45°，则∠BAB′＝90°，所以BB′AB，且BB′BC，由ABBC，得，于是得到问题的答案． 【解答】解：由旋转得AB′＝AB， ∵∠BAB'的角平分线经过BC的中点E， ∴∠EAB′＝∠EAB，CE＝BEBC， ∵AB′＝AB，AE平分∠BAB′， ∴AE垂直平分BB′， ∴B′E＝BEBC， ∴∠EB′B＝∠B′BC， ∵B'CBC， ∴B′C＝B′E＝CE， ∴△B′CE是等边三角形， ∴∠B′EC＝∠B′CE＝60°， ∵∠B′EC＝∠EB′B+∠B′BC＝2∠B′BC＝60°， ∴∠B′BC＝30°， ∴∠BB′C＝180°﹣∠EBB′﹣∠B′CE＝90°，∠DAB'∠B'BC＝15°， ∵AE⊥BB′，B′C⊥BB′， ∴AE∥B′C， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝∠B′CE＝60°， ∴∠EAB′＝∠DAE﹣∠DAB′＝60°﹣15°＝45°， ∴∠BAB′＝2∠EAB′＝90°， ∴BB′AB， ∵BB′BC， ∴ABBC， ∴， 故答案为：． 【点评】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，推导出△B′CE是等边三角形是解题的关键． 14．解不等式组：，并写出所有的非负整数解． 【分析】先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断不等式组的解集，求出它的非负整数解． 【解答】解：， 由①得：x+4≥3x， x﹣3x≥﹣4， ﹣2x≥﹣4， x≤2， 由②得：2x﹣7＜3x﹣6， 2x﹣3x＜7﹣6， ﹣x＜1， x＞﹣1， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2， ∴不等式组所有的非负整数解为：0，1，2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 15．先化简，再求值：，其中x＝4． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（）• • • ＝x﹣1， 当x＝4时，原式＝4﹣1＝3． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 16．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）将△ABC向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，并写出A1的坐标： （2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2； （3）连接BC2，CB2，请求出四边形BC2B2C的面积． 【分析】（1）根据平移的性质作图，再结合图形写出A1的坐标即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）由旋转的性质得OC2＝OC，OB2＝OB，推出四边形BC2B2C是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：（1）将△ABC向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，如图1即为所求； 由图可得，A1的坐标为（3，4）； （2）将△ABC绕原点O旋转180°后的△A2B2C2，如图2即为所求； （3）如图3， 由旋转的性质得OC2＝OC，OB2＝OB， ∴四边形BC2B2C是平行四边形， 由图可得，BC＝4，CC2＝2，BC⊥CC2， ∴， 即四边形BC2B2C的面积为8． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平行四边形的判定与性质，作图﹣平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键． 17．2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同． （1）甲、乙两种春联一副的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进这两种春联共500副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为10元/副、14元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于2700元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【分析】（1）设每副甲种春联的进价是x元，则每副乙种春联的进价是（x+2）元，利用数量＝总价÷单价，结合用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每副甲种春联的进价），再将其代入（x+2）中，即可求出每副乙种春联的进价； （2）设购进m副甲种春联，则购进（500﹣m）副乙种春联，利用总利润＝每副甲种春联的销售利润×购进甲种春联的数量+每副乙种春联的销售利润×购进乙种春联的数量，结合两种春联全部售完时获得的利润不低于2700元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每副甲种春联的进价是x元，则每副乙种春联的进价是（x+2）元， 根据题意得：， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意， ∴x+2＝6+2＝8（元）． 答：每副甲种春联的进价是6元，每副乙种春联的进价是8元； （2）设购进m副甲种春联，则购进（500﹣m）副乙种春联， 根据题意得：（10﹣6）m+（14﹣8）（500﹣m）≥2700， 解得：m≤150， ∴m的最大值为150． 答：商家最多可以购进150副甲种春联． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC． （1）求证：四边形AFCD为平行四边形； （2）若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长． 【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形； （2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝2，由平行四边形的性质昨CF＝AD＝2，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3，根据勾股定理得BC． 【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB， ∴F是DB的中点， ∵E是AB的中点， ∴EF∥AD， ∴CF∥AD， ∵AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． （2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝1， ∴AD＝2EF＝2， ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴CF＝AD＝2， ∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝3， ∴BC， ∴BC的长是． 【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，推导出CF∥AD，进而证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键． 19．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】：在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A（﹣8，1）和B（﹣4，3），右侧边界线l2的函数表达式为y＝﹣3x+6，l1和l2相交于点P，即点P为灭点． （1）求左侧边界线AB的函数表达式； （2）求灭点P的坐标，并判断灭点是否在区域“0≤x≤1，0≤y≤5”内； 【迁移应用】： （3）为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持l1的位置不变，将l2向上平移c个单位长度（c＞0），使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围． 【分析】（1）设左侧边界线AB的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得yx+5； （2）联立，即可解得灭点P的坐标为（，），从而判断灭点P不在区域“0≤x≤1，0≤y≤5”内； （3）将l2向上平移c个单位长度后得直线y＝﹣3x+6+c，联立，解得，故6，即可解得c≥6． 【解答】解：（1）设左侧边界线AB的函数表达式为y＝kx+b， 把A（﹣8，1）和B（﹣4，3）代入得：， 解得， ∴左侧边界线AB的函数表达式为yx+5； （2）联立， 解得， ∴灭点P的坐标为（，）， ∵01，5， ∴灭点P不在区域“0≤x≤1，0≤y≤5”内； （3）将l2向上平移c个单位长度后得直线y＝﹣3x+6+c， 联立， 解得， ∵灭点的纵坐标不小于6， ∴6， 解得c≥6， ∴c的取值范围是c≥6． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，两条直线的交点问题，平移变换等，解题的关键是读懂题意，能准确计算． 20．如图1，AD是△ABC的中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F． （1）【初识图形】： ①请判断线段BF，CE的数量关系，并说明你的理由； ②若AB＝10，CE＝6，AC＝8，则EF＝ 　8﹣2　 ； （2）【特例感知】：如图2，若AB＝5，AC＝4，试探究DE•AD是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由； （3）【综合应用】：如图3，四边形MNPQ是平行四边形，面积为20，若平面内有一点G，满足GM＝GP，∠MGP＝90°，GN＝8，请直接写出GQ的长． 【分析】（1）①可证得△BDF≌△CDE，从而BF＝CE； ②根据勾股定理得出AE和AF的长，进一步得出结果； （2）根据勾股定理得出AE，AF，从而得出EF＝AF﹣AE，根据△BDF≌△CDE，CE＝BF，表示出DE和AD，进一步得出结果； （3）分两种情形：当G在MQ 上方时，作GD⊥PM于D，作QA⊥GD于点A，作NC⊥GD于C，作QB⊥PM于PM，根据（2）的结论得出AD•DG，进一步得出结果；同样得出当G在PN下方时得情形． 【解答】解：（1）①BF＝CE，理由如下： ∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠CED＝∠F＝90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠BDF， ∴△BDF≌△CDE（AAS）， ∴BF＝CE； ②∵CE⊥AF， ∴∠AEC＝90°， ∴AE2， 由①知， BF＝CE＝6，∠F＝90°， ∴AF， ∴EF＝AF﹣AE＝8﹣2， 故答案为：8﹣2； （2）DE•AD是定值，理由如下： ∵AE，AF， ∴EF＝AF﹣AE， 由（1）知， △BDF≌△CDE，CE＝BF， ∴EF， DE＝DF， ∴AD＝AF﹣DF， ∴DE•AD； （3）如图1， 当G在MQ 上方时， 作GD⊥PM于D，作QA⊥GD于点A，作NC⊥GD于C，作QB⊥PM于PM， ∴∠QAD＝∠QBD＝∠ADB＝90°， ∴四边形ADBQ是矩形， ∴AD＝BQ， ∵MG＝PG， ∴DM＝DP， ∵四边形MNPQ是平行四边形， ∴D是QN的中点， ∴∠MGP＝90°， ∴DG＝PD＝DMPM， 由（2）知， AD•DG， ∴BQ•PD， ∵S▱MNPQ＝20， ∴， ∴BQ•PD＝10， ∴GQ＝2， 如图2， 当G在PN下方时， 同理可得， CD•DG， ∴10， ∴GQ＝2， 综上所述：GQ＝2或2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $