广东省深圳市南山区2025-2026学年八年级下学期期末模拟数学试卷

**基本信息** 融合二十四节气文化与农业技术改进等现实情境，梯度覆盖代数几何核心知识，新定义题型（如“直等补”四边形）培养创新思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称、不等式性质、分式、函数图像|第1题结合二十四节气考查中心对称，体现文化传承| |填空题|5/15|等腰三角形、因式分解、角平分线性质|第10题用正方形面积因式分解求边长，关联代数几何| |解答题|7/61|不等式组、几何证明、新定义探究|第20题“直等补”四边形新定义，融合旋转与最值，提升创新应用能力|

2025-2026学年广东省深圳市南山区八年级（下）期末数学试卷 1、 选择题（每小题3分，共24分） 1．二十四节气是中国古代通过观察太阳周年运动，认知时令、气候、物候变化规律形成的知识体系，如图分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B．4﹣a＜4﹣b C． D．﹣2a＞﹣2b 3．若分式的值为0，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 4．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E且与AB相交于点F，则∠AFE的度数为（　　） A．45° B．54° C．60° D．72° 5．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．AD∥BC，OB＝OD D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD 7．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加at，原来产mt红薯的一块土地，现在总产量增加了20t，现在平均每亩红薯的产量是（　　）t． A． B． C． D． 8．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　） A．x＞21 B．5＜x≤21 C．5≤x≤21 D．x≤21 2、 填空题（每小题3分，共15分） 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　 　 ． 10．已知正方形的面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 是　 　 ． 11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为10，则△ACD的面积为 　 　 ． 12．已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，E是边BC上的一点，F是BC延长线上的一点，G为AF的中点，连接EG．若CF＝2BE，则GE的长为　 　 ． 三、解答题（共7小题，61分） 14．（7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 15．（7分）先化简，再求值：，其中x． 16．（8分）如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）在图1中画出△ABC向右平移4个单位后的△A1B1C1； （2）在图2中画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2； （3）在图3中画出所有格点M，使△MBC面积与△ABC面积相等（点M与点A不重合）． 17．（8分）观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 18．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC＝5，BC＝3，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连接DO并延长，交AB于点E，连接CE． （1）求证：四边形AECD是平行四边形． （2）若CE平分∠ACB，求AD的长． 19．（10分）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． （1）求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； （2）该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 20．（12分）【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角．像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形． 【概念理解】 （1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，将△BCE绕点C顺时针旋转，使CB和CD重合，此时，点E的对应点F在AD的延长线上，四边形AECF是“直等补”四边形吗？请说明理由，（请将以下证明过程补充完整） 证明：四边形AECF是“直等补”四边形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 由旋转性质，得： ∴CF＝ 　 　 ，　 　 ＝∠BCE， ∴∠FCE＝∠FCD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴∠A+∠FCE＝ 　 　 °， ∴四边形AFCE是“直等补”四边形． 【性质初探】 （2）如图2，四边形ABCD是“直等补”四边形，AD＝CD，∠ABC＝90°，连接BD．若AB＝m，BC＝n，学习小组探究发现，通过将△BCD绕点D顺时针旋转90°，可以求得BD的长（用含m，n的式子表示）．请完成探究过程． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD是“直等补”四边形，AD＝CD，∠ABC＝90°，连接AC，BD，BD＝4，当CD取何值时，△ABC的面积最大？最大值是多少？ 参考答案 1．二十四节气是中国古代通过观察太阳周年运动，认知时令、气候、物候变化规律形成的知识体系，如图分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．若a＞b，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B．4﹣a＜4﹣b C． D．﹣2a＞﹣2b 【分析】根据不等式基本性质结合举例，逐一判断各选项是否一定成立即可． 【解答】解：A：当 a＝1，b＝﹣2 时，满足 a＞b，但 a2＝1＜b2＝4，因此A不一定成立，不符合题意； B：不等式两边同乘以﹣1，不等号方向改变，可得﹣a＜﹣b，不等式两边同时加4，不等号方向不变，可得 4﹣a＜4﹣b，因此B一定成立，符合题意； C：当m＝0时，分式无意义，因此C不一定成立，不符合题意； D：不等式两边同乘以﹣2，不等号方向改变，可得﹣2a＜﹣2b，因此D错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．若分式的值为0，则a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】分式的值为零即分子为0且分母不为0，由此计算即可． 【解答】解：若分式的值为0， 则a+2＝0且a﹣1≠0， 解得a＝﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键． 4．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上，若直尺的下沿MN⊥DE于点O，且经过点B，上沿PQ经过点E且与AB相交于点F，则∠AFE的度数为（　　） A．45° B．54° C．60° D．72° 【分析】根据正五边形的性质以及对称性进行计算即可． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，MN⊥DE， ∴∠ABC＝∠BAE108°，MN是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠ABN＝∠CBN∠ABC＝54°， ∵PQ∥MN， ∴∠AFE＝∠ABN＝54°． 故选：B． 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，掌握正五边形的性质是正确解答的关键． 5．哥弟俩同时从家去同一所学校上学，弟弟步行，哥哥骑自行车，两人都匀速前进，弟弟步行每分钟60m，哥哥骑自行车每分钟行驶160m，如图是两人之间的距离y（m），与弟弟步行时间x（min）之间的函数图象，已知弟弟从家出发时离上课时间还有12分钟，当他行至快到学校时，发现可能要迟到，于是弟弟加快了步伐，以100米每分钟的速度前进，结果到上课时恰好到校，下列错误的是（　　） A．A点表示哥哥已经到达学校 B．哥哥与弟弟相距的最大距离是500米 C．他们家与学校之间的距离为800米 D．BC的函数表达式为y＝﹣100x+1000 【分析】A．哥哥的速度始终大于弟弟的速度，故在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小，据此判断即可； B．根据A可知，A点时二人之间的距离最大，利用路程＝速度×时间，计算二人的路程之差即可； C．由A可知，A点表示哥哥已经到达学校，利用路程＝速度×时间求出A点时哥哥骑行的路程即可； D．设坐标B（t，a），利用弟弟在AB段和BC段的路程＝速度×时间列关于t和a的二元一次方程组并求解，再利用待定系数法求出BC的函数表达式即可． 【解答】解：∵哥哥的速度始终大于弟弟的速度， ∴在哥哥到达学校前二人之间的距离一直随着时间增大，哥哥到达学校后二人之间的距离随着时间减小， ∴A点表示哥哥已经到达学校， ∴A正确，不符合题意； 哥哥与弟弟相距的最大距离是（160﹣60）×5＝500（米）， ∴B正确，不符合题意； 他们家与学校之间的距离为160×5＝800（米）， ∴C正确，不符合题意； 设坐标B（t，a）， 根据题意，得， 解得， 设BC的函数表达式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标B（10，200）和C（12，0）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴BC的函数表达式为y＝﹣100x+1200， ∴D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间和路程之间的数量关系是解题的关键． 6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD C．AD∥BC，OB＝OD D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD 【分析】由∠ABD＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，可判断A不符合题意；由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA，所以不能确定BC与AD是否相等，则不能判断四边形ABCD是平行四边形，可判断B符合题意；AD∥BC，得∠OCB＝∠OAD，而∠COB＝∠AOD，OB＝OD，可根据“AAS”证明△COB≌△AOD，得OC＝OA，则四边形ABCD是平行四边形，可判断C不符合题意；由∠ABD＝∠BDC，得AB∥CD，由∠ADB＝∠CBD，得AD∥CB，则四边形ABCD是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ABD＝∠BDC， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A不符合题意； ∵由∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，不能证明△ABC≌△CDA， ∴不能确定BC与AD是否相等， ∴不能判断四边形ABCD是平行四边形， 故B符合题意； ∵AD∥BC， ∴∠OCB＝∠OAD， 在△COB和△AOD中， ， ∴△COB≌△AOD（AAS）， ∴OC＝OA， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故C不符合题意； ∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD， ∵∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥CB， 四边形ABCD是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，根据所给的条件，适当选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 7．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加at，原来产mt红薯的一块土地，现在总产量增加了20t，现在平均每亩红薯的产量是（　　）t． A． B． C． D． 【分析】表示出这块土地的面积和这块地的总产量即可计算． 【解答】解：∵改进技术后每亩红瑶红薯产量增加at，现在总产量增加了20t， ∴这块土地面积为， ∵这块地的总产量为（m+20）t， ∴现在平均每亩红薯的产量是：（t）． 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，表示出这块土地的面积． 8．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于85”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　） A．x＞21 B．5＜x≤21 C．5≤x≤21 D．x≤21 【分析】根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：5＜x≤21， ∴x的取值范围是5＜x≤21． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及解一元一次不等式，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　20°或70°　 ． 【分析】根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图1，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD＝50°时，②如图2，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD＝50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可． 【解答】解：①如图1， ∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°， ∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠C＝∠ABC70°； ②如图2， ∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°， ∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°， 又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C， ∴∠C＝∠ABC∠BAD40°＝20°．　 故答案为：70°或20°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键． 10．已知正方形的面积是9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 是　3x+y ． 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可． 【解答】解：9x2+6xy+y2＝（3x+y）2． 故该正方形的边长为3x+y． 故答案为：3x+y． 【点评】本题考查了完全平方公式法分解因式，是分解因式的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记． 11．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为10，则△ACD的面积为 　15　 ． 【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到点D到AB、AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC，从而可求出S△ACD． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC， ∴点D到AB、AC的距离相等， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3， ∴S△ACDS△ABD10＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 12．已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据方程的解为x＝3，将x＝3代入方程即可求出a的值． 【解答】解：将x＝3代入方程得：3a+2×3﹣3＝0， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，E是边BC上的一点，F是BC延长线上的一点，G为AF的中点，连接EG．若CF＝2BE，则GE的长为　2　 ． 【分析】过A点作AH⊥BC于点H，GM⊥BF于点M，如图，先计算出∠ACH＝60°，则利用含30度角的直角三角形的性质计算出CH＝2，AH＝2，由于GM∥AH，则根据三角形中位线定理得到GMAH，FM＝HM，所以GM，FM＝HM，设BE＝x，则FC＝2x，CE＝4﹣x，MH＝FM＝x﹣1，于是可计算出ME＝5，然后在Rt△GEM中利用勾股定理求解． 【解答】解：过A点作AH⊥BC于点H，GM⊥BF于点M，如图， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACH＝60°， 在Rt△ACH中，∠CAH＝90﹣∠ACH＝30°， ∴CHAC4＝2， ∴AHCH＝2， ∵点G为AF的中点， ∴FGFA， ∵GM∥AH， ∴GMAH，FM＝HM， 设BE＝x，则CF＝2x， ∴CE＝4﹣x，MH＝FM＝x﹣1， ∴ME＝MH+CH+CE＝x﹣1+2+4﹣x＝5， 在Rt△GEM中，GE2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这些知识是解决问题的关键． 14．解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥﹣4，则不等式组的解集为﹣4≤x＜2， 在数轴上表示为： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．先化简，再求值：，其中x． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得答案． 【解答】解：原式• ， 当x时，原式． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 16．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． （1）在图1中画出△ABC向右平移4个单位后的△A1B1C1； （2）在图2中画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A2BC2； （3）在图3中画出所有格点M，使△MBC面积与△ABC面积相等（点M与点A不重合）． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）过点A作BC的平行线，所经过的格点均满足题意． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求． （2）如图2，△A2BC2即为所求． （3）如图3，过点A作BC的平行线，分别经过格点M1，M2， 则点M1，M2均满足题意． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 17．观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 【分析】（1）仿照样例，先分组，组内提公因式后组与组之间提取公因式，便可达到分解因式的目的； （2）用样例的方法，把已知等式左边分解因式，再根据几个因式积为0的性质得出一次方程求得a、b、c之间的关系，便可确定△ABC的形状． 【解答】解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a+6b）﹣（3am+9bm） ＝2（a+3b）﹣3m（a+3b） ＝（a+3b）（2﹣3m）； 或 2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm） ＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m） ＝（2﹣3m）（a+3b）； （2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0， ∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0， ∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a﹣b）＝0， ∴a﹣c＝0或a﹣b＝0， ∴a＝c 或 a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判断，关键是读懂样例，运用样例进行因式分解． 18．如图，在四边形ABCD中，AC＝5，BC＝3，∠B＝90°，CD∥AB，O是AC的中点，连接DO并延长，交AB于点E，连接CE． （1）求证：四边形AECD是平行四边形． （2）若CE平分∠ACB，求AD的长． 【分析】（1）由O是AC的中点，得OC＝OA，由CD∥AB，连接DO并延长，交AB于点E，得CD∥AE，∠ODC＝∠OEA，而∠COD＝∠AOE，可根据“AAS”证明△COD≌△AOE，得CD＝AE，即可证明四边形AECD是平行四边形． （2）作EF⊥AC于点F，由AC＝5，BC＝3，∠B＝90°，求得AB4，由角平分线的性质得EF＝EB，由AC•EFBC•EBAB•BC＝S△ABC，得5EB3EB4×3，求得EB，则AD＝CE． 【解答】（1）证明：∵O是AC的中点， ∴OC＝OA， ∵CD∥AB，连接DO并延长，交AB于点E， ∴CD∥AE，∠ODC＝∠OEA， 在△COD和△AOE中， ， ∴△COD≌△AOE（AAS）， ∴CD＝AE， ∴四边形AECD是平行四边形． （2）解：作EF⊥AC于点F， ∵AC＝5，BC＝3，∠B＝90°， ∴AB4， ∵CE平分∠ACB，EF⊥AC于点F，EB⊥CB于点B， ∴EF＝EB， ∵S△ACE+S△BCE＝S△ABC， ∴AC•EFBC•EBAB•BC， ∴5EB3EB4×3， 解得EB， ∴AD＝CE， ∴AD的长是． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△COD≌△AOE是解题的关键． 19．为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． （1）求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； （2）该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【分析】（1）依据题意，设甲型设备单价为x元，则乙型设备单价为 （x+400）元，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，设购买甲型设备m台，则乙型 （20﹣m）台，从而m≤3（20﹣m），可得0＜m≤15，m为整数，又设总费用为W元，则W＝2000m+2400（20﹣m），即W＝﹣400m+48000，结合W随m增大而减小，进而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，设甲型设备单价为x元，则乙型设备单价为 （x+400）元， ∴.∴x ＝ 2000． 经检验：x＝2000是原方程的解． ∴x+400＝2400． 答：甲型单价2000元，乙型单价2400元； （2）由题意，设购买甲型设备m台，则乙型 （20﹣m）台，∵甲型数量不超过乙型的3倍， ∴m≤3（20﹣m）． ∴m≤15． 又∵m＞0，m为整数， ∴0＜m≤15，m为整数．设总费用为W元， ∴W＝2000m+2400（20﹣m），即W＝﹣400m+48000， ∴W随m增大而减小，则m取15时费用最少，最小值W＝﹣400×15+48000＝42000．答：购买甲型设备15台时采购费用最少，最少费用42000元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程是关键． 20．【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角．像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形．简称“直等补”四边形． 【概念理解】 （1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，将△BCE绕点C顺时针旋转，使CB和CD重合，此时，点E的对应点F在AD的延长线上，四边形AECF是“直等补”四边形吗？请说明理由，（请将以下证明过程补充完整） 证明：四边形AECF是“直等补”四边形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 由旋转性质，得： ∴CF＝ CE ，　∠DCF ＝∠BCE， ∴∠FCE＝∠FCD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴∠A+∠FCE＝ 　180　 °， ∴四边形AFCE是“直等补”四边形． 【性质初探】 （2）如图2，四边形ABCD是“直等补”四边形，AD＝CD，∠ABC＝90°，连接BD．若AB＝m，BC＝n，学习小组探究发现，通过将△BCD绕点D顺时针旋转90°，可以求得BD的长（用含m，n的式子表示）．请完成探究过程． 【拓展应用】 （3）如图3，四边形ABCD是“直等补”四边形，AD＝CD，∠ABC＝90°，连接AC，BD，BD＝4，当CD取何值时，△ABC的面积最大？最大值是多少？ 【分析】（1）根据旋转的性质和四边形的内角和即可解答； （2）根据新定义“直等补”四边形可得：∠ADC＝90°，将△BCD绕点D顺时针旋转90°得到△B'AD，最后由勾股定理即可解答； （3）如图3，将△BCD绕点D顺时针旋转90°得到△B'AD，同理可知：△B'AD≌△BCD，由（2）可知：△BDB'是等腰直角三角形，可得BB'BD＝8，设AB＝a，BC＝b，则a+b＝8，b＝8﹣a，最后由三角形的面积即可解答． 【解答】（1）证明：四边形AECF是“直等补”四边形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， 由旋转性质，得： ∴CF＝CE，∠DCF＝∠BCE， ∴∠FCE＝∠FCD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴∠A+∠FCE＝180°， ∴四边形AFCE是“直等补”四边形． 故答案为：CE，∠DCF，180； （2）解：如图2，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AD＝CD，∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴将△BCD绕点D顺时针旋转90°得到△B'AD， ∴△B'AD≌△BCD， ∴BD＝B'D，AB'＝BC＝n，∠BDB'＝∠ADC＝90°， ∴BB'＝m+n， 由勾股定理得：BD2+B'D2＝B'B2， ∴2BD2＝（m+n）2， ∴BD（m+n）（负值舍）； （3）解：如图3，将△BCD绕点D顺时针旋转90°得到△B'AD， ∴△B'AD≌△BCD， 由（2）可知：△BDB'是等腰直角三角形， ∵BD＝4， ∴BB'BD8， 设AB＝a，BC＝b，则a+b＝8， ∴b＝8﹣a， ∵S△ABC•AB•BCaba（8﹣a）a2+4a（a﹣4）2+8， ∵0， ∴当a＝4时，△ABC的面积有最大值是8， 此时，AB＝BC＝4， ∵∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴AD2+CD2＝42+42＝32， ∴2CD2＝32， ∴CD＝4（负值舍）； 则当CD为4时，△ABC的面积最大，最大值是8． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形的面积等知识，掌握全等三角形的性质并结合完全平方的非负性是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $