15.3.2 角平分线的性质及判定（ 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦角平分线的性质及判定定理，通过贸易市场选址等实际问题导入，衔接轴对称图形与等腰三角形知识，以性质与判定的因果关系搭建学习支架，帮助学生构建几何推理体系。 其亮点在于结合全等三角形证明定理，通过“判一判”“典例精析”强化推理意识，设置变式题与实际应用题培养应用意识，如直角三角形中用角平分线求距离和面积。学生能发展逻辑思维，教师可精准突破重难点，提升教学效率。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 15.3.2角平分线的性质及判定 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.3.2 角平分线的性质及判定 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦本节两大核心重难点：角平分线的性质定理和角平分线的判定定理。精准区分性质与判定的因果关系，重点考查垂线段相等转化、利用定理求边长与角度、证明角平分线、几何综合推理，规避“不垂直就用定理”的高频易错点，题型贴合期中期末必考考点，完善轴对称几何体系。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线的性质定理正确表述是（） A. 角平分线上的点到角两边的线段相等 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到角两边距离相等的点在角平分线上 D. 角平分线平分角的对边 2. 角平分线的判定定理是（） A. 角平分线上的点到两边距离相等 B. 一个角被平分则两角相等 C. 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 D. 垂直角两边的点在角平分线上 3. 已知OP平分∠AOB，点P在OP上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=4，则PN的长为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 无法确定 4. 点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则可直接判定（） A. OP平分∠AOB B. OM=ON C. ∠AOB=90° D. PM∥PN 5. 使用角平分线性质定理的必备条件是（） A. 点在角内即可 B. 有角平分线、有垂线段 C. 只要线段相等 D. 任意角度均可 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的________相等。 2. 判定定理：在角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上。 3. 性质定理是：知角平分线→证________；判定定理是：知距离相等→证________。 4. 若OC平分∠AOB，点P在OC上，且P到OA的距离为5，则P到OB的距离为________。 5. 定理使用前提：必须是点到角两边的________线段，普通斜线段不成立。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB。求证：PM=PN。 2.（20分）如图，已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN。求证：OP平分∠AOB。 3.（20分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DC=4，则点D到AB的距离是多少？说明理由。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：性质定理核心：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等，普通线段不一定相等。 2.C 解析：判定定理核心：距离相等⇒点在角平分线上，是性质的逆定理。 3.B 解析：由角平分线性质，角平分线上的点到角两边距离相等，故PN=PM=4。 4.A 解析：角内部一点到角两边垂线段相等，可判定该点在角平分线上。 5.B 解析：使用定理必须同时满足：存在角平分线、点向角两边作垂线段，缺一不可。 二、填空题 1.距离 2.距离 3.距离相等、角平分线 4.5 5.垂直 三、解答题 1. 证明： ∵OC平分∠AOB（已知）， ∴∠MOP=∠NOP（角平分线定义）。 ∵PM⊥OA，PN⊥OB（已知）， ∴∠OMP=∠ONP=90°（垂直定义）。 在△OMP和△ONP中， $$\begin{cases} ∠OMP=∠ONP \\ ∠MOP=∠NOP \\ OP=OP \end{cases}$$ ∴△OMP≌△ONP（AAS）。 ∴PM=PN（全等三角形对应边相等）。 2. 证明： ∵PM⊥OA，PN⊥OB（已知）， ∴∠OMP=∠ONP=90°（垂直定义）。 在Rt△OMP和Rt△ONP中， $$\begin{cases} OP=OP \\ PM=PN \end{cases}$$ ∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）。 ∴∠MOP=∠NOP（全等三角形对应角相等）。 ∴OP平分∠AOB（角平分线定义）。 3. 解：点D到AB的距离为4。 理由：过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB， ∴DE=DC=4（角平分线的性质定理）。 即点D到AB的距离为4。 学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 学习目标 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求. O 角平分线的性质 思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想. A O B P C D E 1 证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知) ∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义) 又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知) ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义) 如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD. A O B P C D E ∵在 △ PCO 和 △ PDO中， ∠COP =∠DOP ， ( 已证 ) ∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边) ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少. 要点归纳 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 典例精析 变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_____； (2) 求 △APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用 故 AB · PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 逆 命 题 思考：这个结论正确吗？ 角平分线的判定 2 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL). ∴ ∠DOP =∠EOP 角平分线判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE. ∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上. 方法归纳 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B O N M A B P 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分 ∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内角平分线 3 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. D E F A B C P N M 证明结论： (2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC. 由 (1) 得， PD = PF (已证). 又∵ PD⊥AB，PF⊥AB， ∴ AP 平分∠BAC (角平分线上的点到角两边的距离相等). 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4， (1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和. M E N A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用 12 解：连接 OC， (2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D S△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC， 知识点1 角平分线的性质 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　) A.PC＝PD B.OC＝OD C.∠CPO＝∠DPO D.∠CPD＝∠DOC 返回 D 基础提优题 2.已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为(　　) A.　　 B.2　　 C.3　　 D. 返回 C 基础提优题 3. 如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB＝4，则△ABO的面积为　　. (第3题) 7 基础提优题 【点拨】∵△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离.∵点O到BC的距离为3.5，∴点O到AB的距离为3.5.∵AB＝4，∴△ABO的面积为×4×3.5＝7. 返回 (第3题) 基础提优题 知识点2 角的平分线的判定 4.［2026东莞期末］如图，小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是(　　) A.3 cm　　 B.2 cm　　 C.2.5 cm　　 D.3.5 cm (第4题) A 返回 基础提优题 5.如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，BM⊥AC于点M，ND⊥BC于点D，且AM＝NM＝ND，若∠A＝70°，则∠C的度数为　　　. 50° 基础提优题 【点拨】∵BM⊥AC，∴∠AMB＝∠NMB＝90°.又∵AM＝NM，BM ＝BM，∴△ABM≌△NBM，∴∠ABM＝∠NBM.∵∠A＝70°，∴∠ABM＝90°－70°＝20°，∴∠NBM ＝20°.∵ND⊥BC，NM⊥BM，NM＝ND，∴BN平分∠MBD，∴∠DBN＝∠NBM＝20°，∴∠ABC＝60°，∴∠C＝180°－70°－60°＝50°. 返回 基础提优题 6.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求证：DE平分∠ADC； 【证明】过点E作EG⊥AD于点G，EH⊥BC于点H，如图所示， ∵EF⊥BF，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝40°. 又∵∠BAD＝100°，∴∠DAE＝180°－∠BAD－∠FAE＝40°＝∠FAE，∴AC平分∠FAD. 基础提优题 又∵EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG. ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH，∴EG＝EH. 又∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC. 基础提优题 (2)若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则S△ABE＝　 . 【点拨】∵S△ACD＝15，EG＝EH＝EF，∴×AD×EG＋×CD×EH＝15，即×4×EG＋×8×EG＝15，解得EG＝，∴EF＝EG＝，∴△ABE的面积为×AB×EF＝×7×＝. 返回 基础提优题 易错点 因考虑问题不全面而漏解 7.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　　处. 4 基础提优题 到三角形三边距离相等的点有1个，到三角形三边所在直线的距离相等的点共有4个(三角形外角的平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等).本题易因认为满足条件的点只有1处而导致漏解. 返回 基础提优题 8. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为直角边，向外作等腰直角三角形ABD，ACE，连接BE，CD，BE和CD交于点F，连接AF.下列结论中不一定成立的是(　　) A.BE＝CD B.∠EFC＝90° C.AF平分∠BFC D.∠DAF＝∠DCA • • • • • D 综合应用题 角平分线的性质及判定 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 $