14.2.5 两个直角三角形全等的判定（培优课件）-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的HL判定定理，通过旧知回顾（SSS/SAS/ASA/AAS）和问题引导（如“SSA对直角三角形是否成立”），结合画图探究与合作操作，搭建从一般三角形到直角三角形的认知支架，完善全等判定体系。 其亮点是以数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观）为核心，分层设计习题（基础选择填空到综合应用题），通过动手画图验证HL定理，典例融入生活情境（滑梯问题），课堂小结结构化梳理要点。助力学生提升推理意识和应用能力，为教师提供系统教学资源与分层指导支持。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 14.2.5 两个直角三角形全等的判定 第14章 全等三角形 14.2.5 两个直角三角形全等的判定 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦直角三角形专属全等判定定理HL（斜边、直角边），涵盖HL定理定义辨析、适用条件、普通判定方法（SSS/SAS/ASA/AAS）在直角三角形中的应用、HL与一般判定定理区分、直角三角形全等证明、角度与边长推理计算等核心必考题型，完善全等三角形判定体系，专攻几何高频易错点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形专属全等判定定理HL指的是（） A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 斜边和一个锐角对应相等 D. 两个锐角对应相等 2. HL定理适用的三角形类型是（） A. 任意三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一条直角边和一个锐角相等 B. 斜边和一条直角边相等 C. 两个锐角对应相等 D. 两条直角边对应相等 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，可判定两三角形全等的依据是（） A. HL B. SAS C. ASA D. AAS 5. 关于直角三角形全等判定，下列说法正确的是（） A. 只能用HL判定 B. 不可以用SAS、ASA判定 C. 既可使用普通判定方法，也可使用HL专属判定 D. AAA可以判定全等 二、填空题（每题4分，共20分） 1. HL定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 2. 直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、________、________四种普通判定方法。 3. 判定两个直角三角形全等，最少需要________组对应相等的条件。 4. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，补充条件________，可利用HL证明全等。 5. 两个直角三角形的三个角对应相等，________判定全等（填“能”或“不能”）。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 2.（20分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，AB=AC，AD=AE。求证：Rt△ABE≌Rt△ACD。 3.（20分）如图，已知∠C=∠D=90°，AD=BC。求证：AC=BD。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 解析：HL定理全称：斜边、直角边定理，斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等。 2.C 解析：HL是直角三角形独有的全等判定方法，仅适用于直角三角形。 3.C 解析：两个锐角相等只能证明三角形相似，边长不一定相等，无法判定全等。 4.A 解析：直角、斜边、一条直角边对应相等，符合HL判定条件。 5.C 解析：直角三角形是特殊三角形，通用四种判定方法均可使用，额外增加HL专属判定。 二、填空题 1.斜边、直角边 2.SSS、SAS、ASA、AAS 3.两 4.AC=AD（或BC=BD） 5.不能 三、解答题 1. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵AB=BA（公共斜边）， AC=BD（已知）， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 2. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°。 在Rt△ABE和Rt△ACD中， ∵AB=AC（已知）， AE=AD（已知）， ∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL）。 3. 证明：∵∠C=∠D=90°，∴△ABC和△BAD均为直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵AB=BA（公共斜边）， BC=AD（已知）， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 ∴AC=BD（全等三角形对应边相等）。 （字数：812） 学习目标 1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL” 2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等． 3. 通过对知识方法的探究，培养反思的习惯及理性思维.（难点） 学习目标 SSS SAS ASA AAS 旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____、_____，斜边是______. C B A AC BC AB 思考： 前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ A B C A′ B′ C′ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口答： 动脑想一想 如图，已知 AC = DF，BC = EF， ∠B = ∠E，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明一般的三角形全等不存在 SSA 定理. A B C D E F 6 A B C D E F “斜边、直角边”定理 问题：如果这两个三角形都是直角三角形， 即∠B =∠E = 90°，且 AC = DF，BC = EF，现在能判定 △ABC≌△DEF 吗？ 任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？ A B C 合作探究 画图思路 （1）先画∠M C′ N = 90° A B C M C′ N （2）在射线 C′M 上截取 B′C′ = BC M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 （3）以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 （4）连接 A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简记为“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 要点归纳 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： (1) 一个锐角和这个角的对边分别相等； ( ) (2) 一个锐角和这个角的邻边分别相等； ( ) (3) 一个锐角和斜边分别相等； ( ) (4) 两直角边分别相等； ( ) (5) 一条直角边和斜边分别相等． ( ) HL AAS或ASA SAS AAS AAS 判一判 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 典例精析 例2 已知：如图，BD，CE 分别是△ABC 的高， 且BE＝CD. 求证：BD＝CE. 证明：∵ BD，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. BC = CB， BE = CD， 在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中， ∴Rt△BEC≌Rt△CDB (HL). 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式. A B C E D ∴BD＝CE. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 例3 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例4 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ 解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC = EF， AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B =∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵∠DEF +∠F = 90°， ∴∠B +∠F = 90°. 知识点1 判定直角三角形全等的条件：斜边、直角边 1. 如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A.SSS　　 B.ASA　　 C.SAS　　 D.HL (第1题) 返回 D 基础提优题 2.如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD的度数为　　　. (第2题) 返回 40° 基础提优题 3.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD.若∠AFD＝135°，则∠EDF的度数为　 　. (第3题) 返回 45° 基础提优题 知识点2 直角三角形全等的判定的应用 4.Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°. (1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　　”； (2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　　”； AAS ASA 基础提优题 (3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　”； (4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“　　　”. 返回 HL SAS 基础提优题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，过点C作CF⊥BC.如果点D，E分别在BC，CF上运动，并且始终保持DE＝AC，那么当CD＝　　　　时，△ABC与△DCE全等. 6或8 综合应用题 返回 综合应用题 6. 如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接AB，CD.若AB＝CD，AF＝CE，连接BD交AC于点M. (1)求证：MD＝MB，ME＝MF. 【证明】∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠DEC＝∠BFA＝90°. 在Rt△DEC和Rt△BFA中， 综合应用题 ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL).∴DE＝BF. 在△DEM和△BFM中， ∴△DEM≌△BFM(AAS). ∴MD＝MB，ME＝MF. 综合应用题 (2)当E，F两点移动到如图②所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 【解】成立.证明如下： ∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠DEC＝∠DEM＝∠BFA＝∠BFM＝90°. 综合应用题 返回 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL).∴DE＝BF. 在△DEM和△BFM中， ∴△DEM≌△BFM(AAS). ∴MD＝MB，ME＝MF. 综合应用题 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等) 课堂小结 $