15.2.1线段的垂直平分线的性质与判定 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定定理，通过测量探究引导学生观察直线上点到线段两端距离关系，经猜想后用全等三角形验证，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接全等三角形知识。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，通过SAS、HL全等证明发展推理思维，规范几何表达提升数学语言能力。典例精析与分层习题结合，助学生掌握线段转化思想，教师可利用系统结构高效开展教学。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 15.2.1线段的垂直平分线的性质与判定 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.2.1 线段的垂直平分线的性质与判定 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦本节两大核心重难点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理。涵盖定理概念辨析、基础角度与边长计算、利用性质转化线段、判定点在垂直平分线上、几何规范证明等高频考点，是几何线段转化、最短路径题型的基础，适配课后巩固与期末专项复习。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线的性质定理是（） A. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 B. 垂直平分线上的点与线段垂直 C. 到线段两端距离相等的点在垂直平分线上 D. 垂直平分线平分线段 2. 若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB的长为（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 无法确定 3. 能够判定一个点在线段垂直平分线上的依据是（） A. 点到线段一端距离相等 B. 点到线段两端点距离相等 C. 点在线段上方 D. 点与线段中点相连 4. 已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若AB=8，则下列说法正确的是（） A. PA=PB B. PA=4 C. l平分∠APB D. PA⊥AB 5. 在△ABC中，若AB=AC，则点A一定在（） A. BC的垂直平分线上 B. AB的垂直平分线上 C. AC的垂直平分线上 D. 任意直线上 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 2. 线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 3. 线段的垂直平分线是所有到线段两端点距离相等的________的集合。 4. 若直线l垂直平分AB，点P在l上，PA=9，则PB=________。 5. 在△ABC中，点P满足PA=PB，则点P在________的垂直平分线上。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，已知直线MN垂直平分线段AB，点P是MN上任意一点，求证：PA=PB。 2.（20分）如图，已知PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 3.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若AD=5，求BD的长。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.A 解析：性质定理：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；C选项为判定定理。 2.B 解析：根据垂直平分线性质，PA=PB=6。 3.B 解析：判定定理核心：点到线段两端距离相等⇒点在垂直平分线上。 4.A 解析：垂直平分线上的任意一点到线段两端距离相等，即PA=PB。 5.A 解析：点A到B、C两点距离相等，根据判定定理，点A在BC的垂直平分线上。 二、填空题 1.两个端点 2.垂直平分线 3.点 4.9 5.线段AB 三、解答题 1. 证明：设MN交AB于点O， ∵MN垂直平分AB（已知）， ∴AO=BO，∠POA=∠POB=90°（垂直平分线定义）。 在△POA和△POB中， AO=BO（已证）， ∠POA=∠POB（已证）， PO=PO（公共边）， ∴△POA≌△POB（SAS）。 ∴PA=PB（全等三角形对应边相等）。 2. 证明：过点P作PO⊥AB于点O， ∵PO⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°。 在Rt△POA和Rt△POB中， PA=PB（已知）， PO=PO（公共边）， ∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）。 ∴AO=BO（全等三角形对应边相等）。 又∵PO⊥AB， ∴直线PO垂直平分AB，即点P在AB的垂直平分线上。 3. 解：∵DE垂直平分AB（已知）， ∴BD=AD（线段垂直平分线的性质）。 ∵AD=5， ∴BD=5。 学习目标 1.理解和掌握线段垂直平分线的性质；（难点） 2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法. 3. 学习目标 A B l P1 P2 P3 如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么， 请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与 点 B 的距离之间的数量关系． P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探究发现 线段垂直平分线的性质 1 猜想： 点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等． 猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上． 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = BC，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB． P A B l C 验证结论： 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____. 相等 几何表达： 如果 l⊥AB，AC = BC， 那么对 l 上任意一点 P， 有 PA = PB. 知识要点 P A B l C 例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm A B C D E 典例精析 解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋CD＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD. 解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出 AB＝BF，再结合 (1) 即可得证． A B C D E F 证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE. ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE. 又∵∠AED＝∠FEC， ∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD. (2) ∵△ADE≌△FCE， ∴ AE＝FE. 又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝FB＝BC＋FC. ∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD. A B C D E F 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 逆 命 题 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 2 已知：PA = PB， 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：作 PC⊥AB，垂足为 C. ∴ ∠ACP =∠BCP = 90°. 在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中， ∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）. ∴ AC = BC. ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. PA = PB， PC = PC， l C A B P 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理： 要点归纳 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1. 如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A.AB＝AD　　 B.CA平分∠BCD C.AB＝BD　　 D.△BEC≌△DEC (第1题) 返回 C 基础提优题 2.［2025连云港］如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　　) A.5　　 B.6　　 C.7　　 D.8 (第2题) 返回 C 基础提优题 3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE.若CE＝CA，∠ACE＝40°，则∠B的度数为　 　. (第3题) 35° 基础提优题 【点拨】∵CE＝AC，∴∠A＝∠AEC.∵∠A＋∠AEC＋∠ACE＝180°，∠ACE＝40°，∴∠AEC＝70°.∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE. 又∵∠AEC＝∠B＋∠BCE，∴∠B＝35°. 返回 (第3题) 基础提优题 知识点2 线段的垂直平分线的判定 4.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.以上都不正确 (第4题) A 基础提优题 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，但并不表示经过该点的直线都是线段的垂直平分线. 返回 基础提优题 5.如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在某一线段的垂直平分线上.这条线段是(　　) A.AB　　 B.AC　　 C.BC　　 D.不确定 (第5题) B 基础提优题 【点拨】∵BC＝BD＋DC＝BD＋AD，∴AD＝CD，∴点D在线段AC的垂直平分线上. 返回 (第5题) 基础提优题 6.已知在同一平面内，C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD，点P在直线CD上.若AP＝5，则BP的长为(　　) A.2.5　　 B.5 C.10　　 D.25 B 返回 基础提优题 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，连接CO，BO.求证：点O在AB的垂直平分线上. 【证明】∵D是BC的中点，∴CD＝BD.又∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO.∵OE是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∴BO＝AO，∴点O在AB的垂直平分线上. 返回 基础提优题 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 课堂小结 $