15.4.1等腰三角形的性质定理及推论 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形性质定理（等边对等角）及推论（三线合一、等边三角形内角60°），通过建筑实例观察、“剪一剪”“折一折”动手操作及视频剪裁导入，从定义出发经重合线段角观察、猜想验证，构建“定义-性质-应用”学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（建筑实例），通过动手探究和问题驱动培养数学思维（如例3分类讨论求底角），规范数学语言（证明书写示例）。分层习题结合易错点提示，助力学生巩固推理能力与规范表达，教师可直接用于分层教学和考点训练。

沪科版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 15.4.1等腰三角形的性质定理及推论 第15章 轴对称图形与等腰三角形 15.4.1 等腰三角形的性质定理及推论 同步练习题（沪科版八年级上册） 本次习题聚焦等腰三角形核心性质，涵盖等边对等角、三线合一两大必考定理及其推论，掌握等腰三角形角度计算、边长推理、规范几何证明，区分“三线合一”适用条件，掌握等边三角形基础推论，规避边角计算漏解、乱用定理等高频易错点，适配基础巩固与期末考点训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形的性质定理“等边对等角”指的是（） A. 等腰三角形中，相等的边所对的角相等 B. 等腰三角形中任意两角相等 C. 等腰三角形中，相等的角所对的边相等 D. 所有三角形等边对等角 2. 等腰三角形“三线合一”中的“三线”不包括（） A. 顶角平分线 B. 底边上的中线 C. 底边上的高 D. 腰上的高 3. 已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为（） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 4. 等腰三角形的对称轴是（） A. 腰上的高所在直线 B. 底边上的中线所在直线 C. 底边所在直线 D. 任意一条高所在直线 5. 下列关于等边三角形的说法错误的是（） A. 三个角都相等 B. 每个角都是60° C. 三边相等 D. 只有一条对称轴 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形性质定理：等腰三角形的两底角相等，简称为________。 2. 等腰三角形________、________、________相互重合，简称“三线合一”。 3. 等边三角形的三个内角都相等，且每一个内角都等于________°。 4. 等腰三角形的一个顶角为70°，则它的两个底角均为________°。 5. “三线合一”只适用于等腰三角形的________边上的三线，不适用于腰上的线段。 三、解答题（共60分） 1.（20分）如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C。 2.（20分）已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，求证：AD平分∠BAC，BD=CD。 3.（20分）已知等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B、∠C的度数。 参考答案与详细解析 一、选择题 1.A 解析：等边对等角：在等腰三角形中，相等的两条腰所对的底角相等。C选项为等角对等边（判定定理）。 2.D 解析：三线合一特指：顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，腰上的高不满足三线合一性质。 3.B 解析：等腰三角形两底角相等，顶角=180°−50°×2=80°。 4.B 解析：等腰三角形唯一对称轴为底边上的中线（高、顶角平分线）所在直线。 5.D 解析：等边三角形有3条对称轴。 二、填空题 1.等边对等角 2.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 3.60 4.55 5.底 三、解答题 1. 证明： 过点A作AD⊥BC于D， ∴∠ADB=∠ADC=90°。 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC（已知）， AD=AD（公共边）， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。 ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。 2. 证明： ∵AB=AC（已知），AD⊥BC（已知）， 根据等腰三角形“三线合一”性质： AD既是底边上的高，也是底边上的中线和顶角平分线， ∴BD=CD，AD平分∠BAC。 3. 解： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）。 ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°， ∴∠B=∠C=$$\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ$$。 即∠B=70°，∠C=70°。 学习目标 1.了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理 及推论 2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想; 3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法． 学习目标 建筑中的等腰三角形： 古典建筑 铁塔 现代桥梁 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？ 等腰三角形的性质 1 A B C AB = AC 等腰三角形 视频：等腰三角形的剪裁 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 底边上的中线所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 定理1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 应用格式： ∵AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。 要点归纳 已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C . 证法：作底边 BC 边上的中线 AD. 在△ABD 与△ACD 中， AB = AC (已知)， BD = DC (已作)， AD = AD (公共边)， ∴ △ABD≌△ACD (SSS). ∴ ∠B =∠C. A B C D 猜想验证 你还有其他的证明方法吗？ 解：∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角). ∴∠B =∠C = ×(180° - 120°) = 30°. 又∵BD = AD (已知)， ∴∠BAD =∠B = 30°(等边对等角). 同理，∠CAE =∠C = 30°. ∴∠DAE =∠BAC -∠BAD -∠CAE = 120° - 30° - 30° = 60°. 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D，E 是底边上两点，且 BD = AD，CE = AE. 求∠DAE 的度数. A B C D 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 找出图中有几个等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC 与∠A 的关系，∠ABC、∠C 呢? ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A ， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC+∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. ∴ 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x. 例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数. 解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ A B C A B C 等腰三角形 AB = AC ∠B = ∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B ∠A =∠B =∠C 类比探究 等边三角形的性质 2 推论：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°. 已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明： ∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 例4 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解. A B C D E 知识点1 等腰三角形的“等边对等角”的性质 1.如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝　 . (第1题) 65° 返回 基础提优题 2.如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为　　　　. (第2题) 返回 100° 基础提优题 3.如图，在点O处用钉子将木条AB，CD钉在一起，P是木条CD上一点，用橡皮筋连接AP，BP，固定木条AB，把木条CD绕点O转动.若O是AB的中点，当△PAB的面积最大时，∠PAO与∠PBO之间存在的数量关系为　　　 　　　. (第3题) 返回 ∠PAO＝∠PBO 基础提优题 4.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD.下列命题中，假命题是(　　) A.若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B.若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C.若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D.若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE (第4题) 返回 A 基础提优题 知识点2 等边三角形的性质 5.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H.小花放入一张等边三角形纸片BDE，点E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放一张等边三角形纸片EFG，点G在BC上.小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片底边BC的长应为　　. (第5题) 返回 11 基础提优题 6.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB的长为半径作弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则∠DEC＝(　　) A.20°　　 B.25°　　 C.30°　　 D.35° (第6题) 返回 C 基础提优题 7.如图，△ABC，△ADE都是等边三角形，且AD是∠BAC的平分线，连接BE，有下列结论： ①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD. 其中正确的个数为(　　) A.3　　 B.2　　 C.1　　 D.0 (第7题) A 基础提优题 【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC＝60°.∵AD是角平分线，∴∠BAD ＝30°，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，①正 确.∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°， AE＝AD.∴∠BAE＝30°＝∠BAD.又∵AF＝AF，∴△EAF≌△DAF(SAS)，∴EF＝FD，∠AFE＝∠AFD＝90°，即AF垂直平分DE，∴BE＝BD.故②③正确.∴正确结论的个数是3. 返回 (第7题) 基础提优题 易错点 求角的度数时考虑问题不全而漏解 8. 在等腰△ABC中，若AB最长，且∠B＝30°，则∠C＝　　　 　. 75°或120° 返回 基础提优题 9. 如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”(　　) A.1对　　 B.2对　　 C.3对　　 D.4对 D 综合应用题 等腰三角形的性质 等边对等角 注意是指同一个三角形中 推论 等边三角形三个内角相等，且均等于 60° 课堂小结 $