《第11章二次根式》单元测试题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 苏科版八年级数学下册《二次根式》单元卷，通过选择、填空、解答题（24+24+72分）覆盖概念、运算、应用，融合抽象能力与推理意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|最简二次根式、运算、同类二次根式|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|8/24|取值范围、化简、矩形周长|结合几何直观，强化符号意识| |解答题|8/72|计算、规律探究、绿地通道问题|分层设计，运算能力与推理意识融合|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第11章二次根式》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，不能与合并的二次根式是（    ） A． B． C． D． 4．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 7．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 8．如图，从一张大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．代数式有意义，则x的取值范围是______． 10．若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 11．已知矩形的宽是，长是，则它的周长是______． 12．若最简二次根式与可以合并，则的值为_____． 13．已知，化简：_____． 14．已知，则代数式的值是_____． 15．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形中，若，则______________． 16．我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积．若，，，则S的值为______． 三、解答题（满分72分） 17．（12分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（6分）先化简，再求值：已知代数式，其中． 19．（8分）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)直接写出第7个等式：______； (2)根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； 20．（8分）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 21．（9分）请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 22．（9分）阅读下列解题过程： ， ， ． … 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_______； (2)请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； (3)利用上面的规律，请计算的值． 23．（10分）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为，宽为，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为． (1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建为通道，通道上要铺设价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 24．（10分）阅读材料：等式，，，它们都是两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式运算时，运用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：，． 解答下列问题： (1)填空：与__________互为有理化因式；化去分母中的根号，结果为__________； (2)计算：． 参考答案 1．解：选项A，被开方数是，是整数，不含分母，不含能开得尽方的因数，符合题意． 选项B, 被开方数是，被开方数含有分母，不符合题意． 选项C，被开方数是，小数与分数可以互相转化，即，被开方数含有分母，不符合题意． 选项D，被开方数是，，其中，被开方数含有能开得尽方的因数，不符合题意． 2．D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； B选项： ，计算错误； C选项： ，计算错误； D选项： ，计算正确． 3．D 【分析】本题考查同类二次根式的性质，同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化为最简二次根式，判断与是否为同类二次根式． 【详解】解：选项A、被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求； 选项B、被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求； 选项C、是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并，不符合要求； 选项D、被开方数为，不是同类二次根式，不能合并，符合要求． 4．C 【分析】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 【详解】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 5．A 【分析】先对进行分母有理化化简，再将化简结果与比较，即可得到和的关系． 【详解】解： ， 又∵， ∴． 6．D 【分析】利用积的乘方逆运算将原式变形再结合平方差公式进行计算． 【详解】解：原式 ． 7．D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 8．C 【分析】根据题意先求出两个正方形边长后再求得大正方形边长，继而即可求得阴影面积． 【详解】解：∵从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， ∴两个小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形边长为， ∴大正方形面积为：， ∴阴影面积为：. 9． 【分析】本题代数式同时包含二次根式和分式，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：由于代数式有意义， 则 解不等式①得：， 解不等式②得：， 结合两个不等式的解，可得的取值范围是． 10．3 【分析】本题先化简二次根式，再根据二次根式为整数的性质，确定的最小正整数值． 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又是正整数， 可取的最小正整数为． 11． 【分析】根据周长公式和二次根式的性质列式计算即可． 【详解】解：矩形的周长为： ． 12．2 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式最简形式下被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式且二者可以合并， 二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相等， ∴， 解得． 13． 【分析】本题利用二次根式的性质化简，再根据的取值范围判断绝对值内代数式的正负，去绝对值符号后合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ， ． 14．0 【分析】先对a进行分母有理化，即，再利用完全平方公式将代数式变形，代入计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 15． 【分析】设，根据面积求出两个正方形的边长，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，设， ∵面积为50和18的两个正方形， ∴两个正方形的边长分别为，， ∴， ∴， 解得． 故． 16． 【分析】本题考查二次根式的运算以及秦九韶公式的应用，解题的关键是正确代入公式并逐步进行有理数运算和根式化简． 将代入、中计算其值，再代入公式化简求出面积． 【详解】解：由于，，： ，，： 所以，，， ， ， ， ， 故答案为． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）先化简二次根式，再加减即可； （3）根据根式乘法及平方差公式化简求值； （4）根据完全平方公式及根式的除法运算求值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．， 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值． 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式． 19．(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已有式子找出规律即可； （2）结合（1）中的规律，并验证即可． 【详解】（1）解：已知第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故第7个等式：； （2）解：第个等式（为正整数）为：． 证明：左式， 为正整数， ， ， 左式右式， 即． 20． 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 21．(1)①；② (2)26 (3)3 【分析】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【详解】（1）解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； （2）解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 即． 22．(1)29 (2) (3)2026 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）用n表示连续的整数，利用完全平方公式，求解即可； （3）根据规律，直接求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得 ； （3）解：根据题意， 故 23．(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长计算即可； （2）分别算出矩形，花坛的面积后得到通道的面积，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴矩形的周长； （2）解：∵矩形绿地的长为，宽为，小矩形花坛的长为，宽为， ∴矩形绿地的面积为，花坛的面积为， ∴通道的面积为， ∵通道上要铺设价为6元的地砖， ∴购买地砖需要花费元． 24．(1)； (2) 【分析】（1）根据有理化因式的定义和分母有理化求解即可； （2）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $