第11章 二次根式 期末复习训练 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学第11章二次根式期末复习单元卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，全面覆盖二次根式概念、运算及应用，适配期末复习需求，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|二次根式有意义条件（题1）、化简（题6）、运算（题3）|结合数轴（题4）、方法辨析（题9），考查几何直观与推理意识| |填空题|10|规律探究（题16）、定义新运算（题15）、最简二次根式（题18）|设置开放题（题13）、新定义运算，发展创新意识与符号意识| |解答题|10|综合计算（题21）、阅读理解（题28）、实际应用（题30“漂亮数”）|通过探究题（题23、30）整合知识，培养数学思维与应用意识|

期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第11章 二次根式 期末复习训练 一．选择题 1．（2026•宁波模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　） A．x≥1 B． C．x＞3 D．x＞0 2．（2026•大理州二模）下列计算中，正确的是（　　） A． B．a6÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 3．（2026•连州市二模）计算的结果正确的是（　　） A． B． C．15 D． 4．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，将实数表示在数轴上为（　　） A．点R B．点Q C．点S D．点T 5．（2026春•番禺区校级单元）如果，则x＝（　　） A．9 B． C．±9 D．± 6．（2026春•天山区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•桥西区期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为，则最后输出的结果是（　　） A．25 B．27 C． D． 8．（2026春•兴宁市期中）已知，则y﹣x的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 9．（2025秋•襄都区期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（　　） 甲：原式； 乙：原式． 下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 10．（2026春•蜀山区期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 二．填空题 11．（2026•九龙坡区校级三模）若n为正整数，且满足，则n＝　 　 ． 12．（2026•盂县二模）化简　 　 ． 13．（2026春•临清市期中）已知n为正整数，且是正整数，写出一个满足条件的n的值　 　 ． 14．（2026春•廉江市期中）比较大小： 　 　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 15．（2026春•呼兰区期中）定义新运算：，则的运算结果是　 　 ． 16．（2026•聊城二模）用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： 　 　 ． 17．（2026春•西城区校级期中）已知（1）2＝8+2，反之，8+212+2×1（）2＝（1）2，又如，12﹣412﹣2（）2﹣2（）2＝（）2．参考以上方法解决下列问题： （1）将6+2写成完全平方的形式为 　 　 ； （2）若一个正方形的面积为8﹣4，则它的边长为 　 　 ； （3）4的算术平方根为 　 　 ． 18．（2026春•西城区校级期中）若是整数，则正整数n的最小值是 　 　 ． 19．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ． 20．（2025秋•启东市期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a﹣b＝　 　 ． 三．解答题 21．（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 22．（2026春•天宁区校级期中）优优同学研究二次根式时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，优优解决这个问题的过程如下： ① ② ③ （1）在上述过程中，第　 　 步出现了错误，化简后的正确结果是　 　 ； （2）仿照优优的做法，请你化简； （3）挑战自我：化简． 23．（2026春•大兴区期中）观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； （2）用含n（n是整数且n≥2）的式子表示第（n﹣1）个等式　 　 ，并证明． 24．（2026春•永川区校级期中）已知，3b+2的立方根是﹣1． （1）求a，b的值； （2）若c是的整数部分，求3a+b﹣c的平方根． 25．（2026春•海淀区校级期中）已知，． （1）求x2+y2+3xy的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2026的值． 26．（2026春•同步）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 27．（2026春•盐城期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：OA1＝1 ； ； ； （1）推算出OA5＝　 　 ；S4＝　 　 ； （2）用含n（n是正整数）的等式表达上述变化的规律，即Sn＝　 　 ； （3）求出的值． 28．（2025秋•三元区期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较2和的大小． 解：2，， ∵2， ∴2． （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 29．（2026春•北京校级期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　 　 ； （2）　 　 ； （3）计算：． 30．（2026•老河口市模拟）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． （1）判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，4，16　 　 ；②4，16，25　 　 ；③3，9，12　 　 ；④3，12，48　 　 ； 活动二将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． （2）1，4，9是“漂亮数”，2，8，18　 　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”． （3）结论：若a，b，c是“漂亮数”，则ka，kb，kc（k＞1，且k是整数）　 　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·章节训练·2025—2026学年苏科版八年级下册 第11章 二次根式 期末复习训练 一．选择题（共10小题） 1．（2026•宁波模拟）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　） A．x≥1 B． C．x＞3 D．x＞0 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式，求解不等式即可得到x的取值范围． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴3x﹣3≥0 解得x≥1． 故选：A． 2．（2026•大理州二模）下列计算中，正确的是（　　） A． B．a6÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 【分析】根据二次根式的加减法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的运算法则逐一计算判断即可． 【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、同底数幂相除，底数不变指数相减，a6÷a2＝a6﹣2＝a4≠a3，选项计算错误，不符合题意； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，选项计算错误，不符合题意； D、根据积的乘方与幂的乘方法则，（﹣a2）3＝（﹣1）3•（a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 3．（2026•连州市二模）计算的结果正确的是（　　） A． B． C．15 D． 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：原式3． 故选：B． 4．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，将实数表示在数轴上为（　　） A．点R B．点Q C．点S D．点T 【分析】先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．无理数的大小． 【解答】解：根据题意可知，﹣3＜R＜﹣2，2＜T＜3，3＜Q＜4，4＜S＜5， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点Q． 故选：B． 5．（2026春•番禺区校级单元）如果，则x＝（　　） A．9 B． C．±9 D．± 【分析】根据算术平方根的定义得出x2＝81，再计算即可． 【解答】解：如果，则x2＝81， ∴x＝±9， 故选：C． 6．（2026春•天山区校级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先明确最简二次根式的判定要求，首先是根指数为2的根式，其次满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【解答】解：根据最简二次根式的定义逐项分析判断如下： 对于选项A：，被开方数含有小数，不是最简二次根式，不符合题意； 对于选项B：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 对于选项C：是二次根式，被开方数6不含分母，且6分解为2×3，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； 对于选项D：的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 7．（2025秋•桥西区期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为，则最后输出的结果是（　　） A．25 B．27 C． D． 【分析】先把n代入n（n+1）计算得到n（n+1）＝326，然后把n＝3代入n（n+1）中计算得到n（n+1）＝15+726，从而确定最后输出的结果． 【解答】解：当n时，n（n+1）（1）＝326， 当n＝3时，n（n+1）＝（3）（4）＝12+73＝15+726， 所以最后输出的结果是15+7． 故选：C． 8．（2026春•兴宁市期中）已知，则y﹣x的值为（　　） A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣3 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组解答即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得， 解得x＝3， ∴y＝5， ∴y﹣x＝5﹣3＝2． 故选：C． 9．（2025秋•襄都区期末）在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（　　） 甲：原式； 乙：原式． 下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【分析】利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【解答】解：根据分母有理化的方法以及二次根式的性质判断如下： ∵甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 10．（2026春•蜀山区期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A．2a﹣3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 【分析】根据题意可知a﹣1＞0，a﹣2＜0，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：由数轴可知：a﹣1＞0，a﹣2＜0， 原式＝a﹣1﹣（2﹣a）＝2a﹣3． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 11．（2026•九龙坡区校级三模）若n为正整数，且满足，则n＝　6　 ． 【分析】先根据二次根式的混合运算法则计算，根据结果利用夹逼法估算取值范围即可． 【解答】解： ＝3， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴n＝6， 故答案为：6． 12．（2026•盂县二模）化简　3　 ． 【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【解答】解：原式2， ＝3， 故答案为：3． 13．（2026春•临清市期中）已知n为正整数，且是正整数，写出一个满足条件的n的值　2（答案不唯一）　 ． 【分析】先根据已知条件判断8n是一个正的平方数，从而求出答案即可． 【解答】解：∵是正整数， ∴8n是一个正平方数， ∵n为正整数， ∴8n最小为16， ∴n的最小值为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 14．（2026春•廉江市期中）比较大小： 　＜　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【解答】解：，， ∵， ∴， 故答案为：＜． 15．（2026春•呼兰区期中）定义新运算：，则的运算结果是　　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： ， 故答案为：． 16．（2026•聊城二模）用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： 　102026 ． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行计算； （2）根据二次根式的运算法则进行计算； （3）根据二次根式的运算法则进行计算； （4）根据计算所得结果即可得到规律，进而可求解． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）， 根据题意可知，， 102026． 故答案为：102026． 17．（2026春•西城区校级期中）已知（1）2＝8+2，反之，8+212+2×1（）2＝（1）2，又如，12﹣412﹣2（）2﹣2（）2＝（）2．参考以上方法解决下列问题： （1）将6+2写成完全平方的形式为 　（1）2 ； （2）若一个正方形的面积为8﹣4，则它的边长为 　； （3）4的算术平方根为 　　 ． 【分析】（1）根据拆项法，可得1+25，根据二次根式的性质，可得完全平方公式； （2）根据拆项法，可得6﹣42，根据二次根式的性质，可得完全平方公式； （3）将原式化为，根据二次根式的性质，可得完全平方公式，再根据二次根式的性质，可得答案． 【解答】解：（1）6+21+2（）2＝（1）2； （2）8﹣46﹣42＝（）2﹣4（）2＝（）2 则它的边长为 ； （3） • •（） ； 故答案为：（1）2，（）2，． 18．（2026春•西城区校级期中）若是整数，则正整数n的最小值是 　7　 ． 【分析】根据已知是整数，且，则得7n是完全平方数，即可得出满足条件的最小正整数n的值． 【解答】解：∵，且是整数， ∴是整数，即7n是完全平方数， ∴正整数n的最小值是7． 故答案为：7． 19．（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　　 ． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵a＜0， ∴﹣4a3＞0， ∴b＞0， ∴原式． 故答案为：． 20．（2025秋•启东市期末）小明做数学题时，发现；…；按此规律，若（a，b为正整数），则a﹣b＝　﹣57　 ． 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令n＝8，求出a和b的值，进而计算． 【解答】解：∵， ∴可得规律：， ∴当n＝8时，， ∵， ∴a＝8，b＝82+1＝65， ∴a﹣b＝8﹣65＝﹣57， 故答案为：﹣57． 三．解答题（共10小题） 21．（2026春•北京校级期中）计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据二次根式的运算法则化简即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可； （3）根据二次根式的运算法则化简即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 22．（2026春•天宁区校级期中）优优同学研究二次根式时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，优优解决这个问题的过程如下： ① ② ③ （1）在上述过程中，第　②　 步出现了错误，化简后的正确结果是　　 ； （2）仿照优优的做法，请你化简； （3）挑战自我：化简． 【分析】（1）把被开方数中的5拆成2+3，然后根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算，最后判断即可； （2）把被开方数中的7拆成5+2，然后根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算即可； （3）把被开方数中的8拆成2+6，然后根据二次根式的性质和完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：（1） ， ∴第②步出现了错误，化简后的正确结果是， 故答案为：②，； （2） ； （3） ． 23．（2026春•大兴区期中）观察下列等式，解决问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）根据以上等式的规律，直接写出第5个等式； （2）用含n（n是整数且n≥2）的式子表示第（n﹣1）个等式　n　 ，并证明． 【分析】（1）根据规律得出答案即可； （2）根据规律写出第n﹣1个等式，再根据二次根式的性质和化简方法进行证明即可． 【解答】解：（1）第5个等式为：6； （2）第（n﹣1）个等式为：n， 证明：∵左边 n，右边＝n， ∴左边＝右边， 即n， 故答案为：n． 24．（2026春•永川区校级期中）已知，3b+2的立方根是﹣1． （1）求a，b的值； （2）若c是的整数部分，求3a+b﹣c的平方根． 【分析】（1）根据算术平方根的非负性和立方根的定义求解； （2）首先利用无理数的估算求出c的值，然后代入3a+b﹣c求平方根即可． 【解答】解：（1）∵， ∴a﹣3≥0，3﹣a≥0， ∴a≥3，a≤3， ∴a＝3， ∵3b+2的立方根是﹣1， ∴3b+2＝（﹣1）3＝﹣1， ∴b＝﹣1， 即a＝3，b＝﹣1； （2）∵9＜11＜16， ∴， ∵c是的整数部分， ∴c＝3， ∴3a+b﹣c＝5， ∴3a+b﹣c的平方根为． 25．（2026春•海淀区校级期中）已知，． （1）求x2+y2+3xy的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求（m+n）2026的值． 【分析】（1）将x2+y2+3xy变形后代入已知数值计算即可； （2）利用夹逼法分别估算x，y，然后求得m，n，将其代入（m+n）2026中计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴x2+y2+3xy ＝（x+y）2+xy ＝（22）2+（2）（2） ＝16+4﹣3 ＝17； （2）∵1＜3＜4， ∴12， ∴0＜21，3＜24， ∵x的小数部分是m，y的小数部分是n， ∴m＝2，n＝231， ∴（m+n）2026＝（21）2026＝1． 26．（2026春•同步）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负，可得出x的值，进而求出y的取值范围，便可解决问题． （2）根据三角形三边的关系便可解决问题． 【解答】解：（1）因为x、y都是实数，且满足y1， 则， 所以x， 则y＞1． 所以|x﹣1| ＝|x﹣1|﹣|x﹣1| ＝﹣1． （2）因为a、b、c为△ABC的三边， 所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， 所以 ＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）| ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b ＝4c． 27．（2026春•盐城期中）观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：OA1＝1 ； ； ； （1）推算出OA5＝　　 ；S4＝　1　 ； （2）用含n（n是正整数）的等式表达上述变化的规律，即Sn＝　　 ； （3）求出的值． 【分析】（1）根据已知等式找出规律即可求解； （2）根据已知等式找出规律即可求解； （3）利用（2）的规律代入计算即可求解． 【解答】解：（1）∵， ， ， ， ⋯， ∴， ∴； ∵， ， ， ∴， ∴． 故答案为：；1； （2）由（1）可得，． 故答案为：； （3）原式 ． 28．（2025秋•三元区期末）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较2和的大小． 解：2，， ∵2， ∴2． （1）二次根式进行“分子有理化”； （2）比较和的大小． 【分析】（1）利用题干中的方法将分子有理化即可； （2）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【解答】解：（1）由题意得，； （2）由题意得，，， ∵，2， ∴， ∴． 29．（2026春•北京校级期中）阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2＝a且，则可将化为m2+n2±2mn，即（m±n）2，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． （1）　1　 ； （2）　　 ； （3）计算：． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 ． 30．（2026•老河口市模拟）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． （1）判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”． ①1，4，16　是　 ；②4，16，25　是　 ；③3，9，12　否　 ；④3，12，48　是　 ； 活动二将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． （2）1，4，9是“漂亮数”，2，8，18　是　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”． （3）结论：若a，b，c是“漂亮数”，则ka，kb，kc（k＞1，且k是整数）　是　 （填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【分析】（1）①②③根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据“漂亮数”的定义进行计算即可； （3）根据“漂亮数”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）①∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”， 故答案为：是； ②∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”， 故答案为：是； ③∵不是整数， ∴这三个数不是“漂亮数”， 故答案为：否； ④∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”， 故答案为：是； （2）解：∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． 故答案为：是； （3）是，理由： ∵k＞1，且k是整数， ∴，，， ∵a，b，c是“漂亮数”， ∴是整数， ∴是整数， ∴若a，b，c是“漂亮数”，则ka，kb，kc（k＞1，且k是整数）是“漂亮数”． 故答案为：是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $