20.1（第3课时）利用勾股定理作图或计算（大单元分层作业，4大题型）数学新教材人教版八年级下册

20.1（第3课时）利用勾股定理作图或计算（原卷版） 目 录 类型一、勾股定理与无理数 1 类型二、弦图计算 4 类型三、网格问题 11 类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题 15 类型一、勾股定理与无理数 1．如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 3．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 6．如图，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 9．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 12．如图所示，数轴上点所表示的数为 ． 13．如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是 ． 14．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 15．如图所示在数轴上有个的格点正方形，平放在数轴上，单位格点长度就是数轴的单位长度，A点表示的数为．以A为圆心、为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为 ． 16．如图，矩形的边在数轴上，若点与数轴上表示数的点重合，，以点为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点，则该点表示的数为 ． 17．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 18．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 类型二、弦图计算 19．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 20．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 21．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．24 B．25 C．50 D．75 22．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 23．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A．7 B．17 C． D． 24．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 25．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 26．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 27．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 28．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 29．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为 ． 30．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（图乙的实线部分） ． 31．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为．若小正方形的面积为4，，有下列说法：①，②，③一个直角三角形的面积为10；④大正方形的边长为其中正确的是 填序号 32．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为，则的长为 ． 33．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ． 34．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 36．综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 37．在北京召开的第24届国际数学家大会上，依据“赵爽弦图”设计的如图所示的会标，有力彰显了中国古代数学的伟大贡献．设赵爽弦图中直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b．若，大正方形的面积为14，求小正方形的面积．    38．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行证明：． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，设，求x的值． 39．综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 40．【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 类型三、网格问题 41．如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 42．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 43．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 44．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 45．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 46．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 47．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 48．如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（   ） A． B．3 C． D．4 49．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 50．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 51．如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为 ， ； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °． 52．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 53．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 54．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 55．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则 ，数轴上点所表示的数为 ． 56．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，长为半径画弧交最上方的网格线于点D，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 57．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，的三个顶点都在格点上，位置如图所示： (1)找到格点，连接，与交于点，且使得（保留利用格点的作图痕迹）； (2)求出边上的高长． 58．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： (1)在图①中，连接、，使． (2)在图②中，连接、、，使． (3)在图③中，在边上找格点，连接，使的面积是面积的2倍． 类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题 59．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 60．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 61．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 62．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m，他走到离墙多远的地方灯刚好发光（    ）    A．1m B．2m C．3m D．4m 63．已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是（    ）．    A． B． C． D． 64．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（    ） A．5尺 B．6尺 C．8尺 D．10尺 65．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（　　），却踩坏了花草． A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 66．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1km和3km，且相距3km，则铺水管的最短长度是（    ）km A．5 B．4 C．3 D．6 67．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 ． 68．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺． 69．如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 70．某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 1．在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 3．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 3．如图，在中，，，D是边上一点（点D与、不重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，． (1)求证：； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)点在上运动时，试探究是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 4．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 1．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 2．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 4．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 5．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________________，__________________； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值（）．    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1（第3课时）利用勾股定理作图或计算（解析版） 目 录 类型一、勾股定理与无理数 1 类型二、弦图计算 10 类型三、网格问题 29 类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题 41 类型一、勾股定理与无理数 1．如图，点，在数轴上，其表示的实数分别为，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，无理数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是关键． 根据勾股定理得到，结合数轴上的点与实数一一对应即可求解． 【详解】解：点，在数轴上，其表示的实数分别为， ∴， ∵过点作，且， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 2．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点处所表示的数为（    ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴，运用勾股定理求出点处所表示的数到的距离，再观察点在的左边，即可作答． 【详解】解：由图可得，点处所表示的数到的距离为， 图中标注在点处所表示的数为． 故选：A． 3．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴． 根据勾股定理可求出点到原点的距离，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】∵点表示的数为3， 点到原点的距离为3， 由图可得， 点到原点的距离． ∵点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为． 故选：D． 4．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 故选：D． 5．如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 6．如图，，则数轴上点A所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数在数轴上的表示，勾股定理，解题关键是求出的长． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴， ∴数轴上点A表示的数为． 故选：A． 7．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，由勾股定理得，求出，由即可求解．能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上的点、对应的实数分别是、，，长为个单位长度， ∴，，， ∴在中，， ∵以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点， ∴， ∵数轴上的点对应的实数是， ∴点表示的实数是． 故选：D． 8．如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 根据勾股定理求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】解：由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选D． 9．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 10．如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 11．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，勾股定理；由图可知，A点到原点的距离为，再根据点A在原点的右边，即可得到点A表示的实数. 【详解】解：如图所示，A点到原点的距离为， ∵点A在原点的右边， ∴点A表示的实数为. 故答案为：. 12．如图所示，数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长是解答本题的关键．根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，再求出原点和点A之间的线段的长，即可知A所表示的数． 【详解】解：∵由图可得，直角三角形的两直角边为1，2， ∴斜边长为， ∴原点和点A之间的距离为， ∴数轴上点A所表示的数为：， 故答案为：． 13．如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段于点B，且长为1个单位长度．若以点A为圆心，长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P，则点P表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 先求出的长，据此得出点P到原点的距离即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ， 则点P到原点的距离为：， 所以点P表示的数为：， 故答案为：． 14．如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长． 先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A表示的数为， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 15．如图所示在数轴上有个的格点正方形，平放在数轴上，单位格点长度就是数轴的单位长度，A点表示的数为．以A为圆心、为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数，勾股定理与数轴． 根据勾股定理求出的值，可知的值，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， 以A为圆心、为半径画弧交数轴于点C， ， 点C表示的数为 故答案为： 16．如图，矩形的边在数轴上，若点与数轴上表示数的点重合，，以点为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点，则该点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出，进而根据数轴上两点间距离即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在数轴上表示的数为， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵若点与数轴上表示数为， ∴该点表示的数为， 故答案为：． 17．如图所示，已知，，以点O为圆心，长为半径画弧交数轴于点A． (1)数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数_____；（填“>”或“<”） (3)在数轴上找出对应的点，并说明理由．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)< (3)作图见详解，理由见详解 【分析】本题考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，实数的大小比较及无理数在数轴上的几何作图． （1）先求的长度，再利用“圆的半径相等”确定的长度，最后结合数轴位置确定数； （2）利用“负数比较大小，绝对值大的反而小”，把两个数转化为“负的平方根”形式，再比较被开方数； （3）构造直角边平方和为10的直角三角形，利用勾股定理得到斜边为，再以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴的点即为对应的点． 【详解】（1）解：∵，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴， 故答案为：<． （3）解：如图所示为所求： 理由：在数轴的正半轴3位置处取点E，过点E作，使， 在中，， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点F，此时， ∴点F即为对应的点． 18．如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合   B．方程   C．分类讨论   D．化归 【答案】(1)； (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴于点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∵，即 ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 类型二、弦图计算 19．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点， ， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ， 故选：A． 20．如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 21．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．24 B．25 C．50 D．75 【答案】A 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得 ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 故选：A． 22．如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（     ） A．20 B．21 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用与勾股定理的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形（）是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再结合阴影部分面积与正方形、三角形面积的关系计算阴影面积． 【详解】解：如图2，，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选： 23．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A．7 B．17 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理及完全平方公式的变形是解题的关键． 先根据个直角三角形的面积与白色区域面积求出五边形相关图形的面积，再结合勾股定理求出，进而得到的长度． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为，个直角三角形的面积为，白色部分面积为， ∴由图形可知． ∵由勾股定理得， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 24．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，整式的混合运算，利用二次根式的性质化简等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 25．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点，若，E为中点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据证明得出，根据勾股定理即可得出结果． 本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】解：为中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 26．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理，求出的长，进而求出小正方形的边长，再根据面积公式求出其面积即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是； 故选B． 27．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键． 利用勾股定理、线段的和差、完全平方公式、直角三角形的面积公式逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得， ∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得， ∴， ∴， ∴选项①错误，不符合题意； 故选：C． 28．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，推出，再利用勾股定理构建方程求出可得结论． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∵正方形的面积为， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 29．如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求的值为 ． 【答案】196 【分析】本题考查的是完全平方公式与几何图形面积的关系，勾股定理的应用，熟练地利用完全平方公式及其变形求解代数式的值是解本题的关键． 由图形面积可得，，可得，再代入进行计算即可． 【详解】解：由图可知，， ． 小正方形的面积是4， ， ， ， ． 故答案为：196. 30．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（图乙的实线部分） ． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意利用题中隐含的已知条件来解答此类题． 由题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【详解】解：如图，依题意得：，， 在中，，， ∴“数学风车”的周长是：． 故答案为：76． 31．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为．若小正方形的面积为4，，有下列说法：①，②，③一个直角三角形的面积为10；④大正方形的边长为其中正确的是 填序号 【答案】①②④ 【分析】本题考查勾股定理 ——以弦图为背景的计算题．根据可判断①；根据小正方形的面积为4，可判断②；结合①②，通过计算可判断③；根据勾股定理可判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 小正方形的面积为4， ，故②正确； ，， ，， 一个直角三角形的面积为，故③错误； 大正方形的边长为，故④正确； 故答案为：①②④． 32．在“赵爽弦图”中，，将四个全等直角三角形中的较长直角边向外延长一倍（即），得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出，进而由勾股定理即可求出，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．如图，是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股弦图、正方形的性质等知识点．运用勾股定理，进而得到，最后求小正方形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：4． 34．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 35．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：9． 36．综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 37．在北京召开的第24届国际数学家大会上，依据“赵爽弦图”设计的如图所示的会标，有力彰显了中国古代数学的伟大贡献．设赵爽弦图中直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b．若，大正方形的面积为14，求小正方形的面积．    【答案】小正方形的面积是4 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握赵爽弦图是解题的关键；根据题意和图形，可以得到，，然后即可求得的值，再根据图形可知，最后代入数据计算即可． 【详解】解：由大正方形的面积为14，结合正方形面积公式及勾股定理可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即小正方形的面积是4． 38．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行证明：． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，设，求x的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)新路比原路少千米 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的推导和应用，解题的关键是掌握勾股定理的灵活应用和数形结合的思想． （1）利用两种梯形的面积表示方式进行整理即可； （2）设千米，则千米，利用勾股定理列出方程，然后进行求解即可； （3）设，则，利用两个直角三角形的公共边和勾股定理进行列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． 39．综合与实践 探索：将边长分别为、的正方形纸片叠合在一起，如图1，你能表达出未重叠（阴影）部分的面积吗？ (1)阅读并完成下面填空：方法①：用大正方形的面积减去小正方形的面积可得到阴影部分面积为：______；方法②：将阴影分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为：．由此我们可以得到平方差公式：______．总结：上面验证平方差公式的方法我们称之为面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”． (2)巩固：如图3，如果将小正方形的一边延长，也能验证平方差公式，请完成证明． (3)拓展：如图4，大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何背景，全等图形，结合图形求得等式是解题的关键． （1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积； 方法②：将阴影部分割成2个梯形，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．由此得到平方差公式； （2）用表示阴影部分面积，进而能验证平方差公式； （3）大正方形由四个全等的直角三角形的面积加上一个小正方形的面积，进而可以证明：． 【详解】（1）方法①：用大正方形的面积减小正方形的面积可得到阴影部分面积为：；   方法②：将阴影部分割成2个梯形，如图2，根据梯形的面积公式，每个梯形的面积可以表示为，即阴影部分面积为．   由此我们可以得到平方差公式：；   故答案为：；； （2）证明：如图3， 方法①：， 方法②：， ； （3）证明：如图4， 大正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，直角三角形中较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为， 方法①：大正方形的边长为，所以， 方法②：， 所以， ． 40．【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【答案】(1) (2)28 (3)24 (4)10 (5) 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 类型三、网格问题 41．如图，在单位长度为1的的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，由勾股定理分别计算，，，的长度，即可获得答案． 【详解】解：由勾股定理可得，，，，． 故选：D． 42．如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点，使得是等腰三角形，且为其中一腰．这样的点有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ， ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共3个点； 这样的C点有5个． 故选：C． 43．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理的运算方法，即斜边的平方等于两直角边的平方和．本题分别计算各线段的长即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴长度为的是线段， 故选：B． 44．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故选：D． 45．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理进行求解，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，，，， 线段长度为的是， 故选D． 46．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能结合网格特点分析线段长度是解题的关键． 利用勾股定理，分别计算各选项对应的直角三角形的斜边长度，判断是否能在网格中得到线段的长度． 【详解】解：若，在网格中找不到整数、满足此等式，故的长不可能是，故A项符合题意； 如下图，，长度为的线段可在网格中找到，故B项不符合题意； 如下图，，长度为的线段可在网格中找到，故C项不符合题意； 如下图，，长度为的线段可在网格中找到，故D项不符合题意； 故选A． 47．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，，， ∴四边形的边长为整数的边是和． 故选B． 48．如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 49．如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 50．如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； ∵，，， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； 综上所述，点有4个， 故选：D ． 51．如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为 ， ； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用（用于计算线段长度），以及平移法或特殊三角形性质（用于确定两线段夹角）．解题时需准确识别网格中线段的横向、纵向格数差，再结合几何定理推导． （1）利用勾股定理，结合网格中线段横向与纵向的格数差确定直角边长度，进而求出斜边（即线段长度）； （2）可通过构造平行线转化夹角，再结合特殊三角形性质确定角度即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故线段，的长度分别为，． 故答案为：，． （2）如图，选取格点，连接，． 由勾股定理逆定理，易得为等腰直角三角形， 所以， 由图可知， 所以． 故答案为：． 52．如图，的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若于点，则的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用网格求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可求出的长，利用面积法求高是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 53．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 54．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和图形，利用勾股定理可以求得的长． 【详解】解：由图可得， ， 故答案为： 55．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则 ，数轴上点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上表示，数轴上两点间的距离，解题关键利用勾股定理求出相应线段的长． 先利用勾股定理求得，再利用数轴上两点间的距离求出点表示的数． 【详解】解：设点表示的数为， ， 由作法可知， ∴，解得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为： ，． 56．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，长为半径画弧交最上方的网格线于点D，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在 中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 57．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，的三个顶点都在格点上，位置如图所示： (1)找到格点，连接，与交于点，且使得（保留利用格点的作图痕迹）； (2)求出边上的高长． 【答案】(1)见解析 (2)边上的高长为 【分析】本题主要考查了网格作图、勾股定理、运用等面积法求三角形的高，熟练掌握网格作图的方法，运用等面积法求三角形的高的方法是解题的关键． （1）过点作于，取格点，连接，使，交于点，则有，由得，所以可得，即； （2）由，代入，，的值即可求得高． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由勾股定理得：， ∵， ∴． ∴边上的高长为． 58．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图： (1)在图①中，连接、，使． (2)在图②中，连接、、，使． (3)在图③中，在边上找格点，连接，使的面积是面积的2倍． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析 (3)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得； （2）连接，取中点M，结合勾股定理得； （3）在边上找格点，使，然后连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求； （2）如图所示，点M即为所求； （3）如图所示，点M即为所求； 类型四、利用勾股定理和数形结合解决问题 59．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键． 设，则，故，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，解得：． ∴绳索的长是． 故选：C． 60．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了考查了勾股定理的应用；设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 在中，由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 61．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 【答案】B 【分析】由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为，读懂题意，确定图2中两个直角三角形的直角边是，由题中条件列出等式，进而得到由空白图形面积得到，两式相减即可得到答案． 【详解】解：由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为， 图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形， ，即图2中两个直角三角形的直角边是， 线段的长为7， ，则①， 图1中空白部分面积为37， ，即②， 由①②得， 图2中两个直角三角形的面积和为， 故选：B． 【点睛】本题考查以勾股定理证明为背景的问题，涉及完全平方和公式、不规则图形面积求法、正方形面积公式及直角三角形面积公式，读懂题意，将题中条件准确用数学表达式表示求解是解决问题的关键． 62．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m，他走到离墙多远的地方灯刚好发光（    ）    A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：D． 63．已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的倍，然后发现其规律即可求解． 【详解】解：在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的倍， ∵第一个等腰直角三角形的斜边长为， ∴第二个等腰直角三角形的斜边长为， 第三个等腰直角三角形的斜边长为， 第四个等腰直角三角形的斜边长为 ， 以此类推，第个等腰直角三角形的斜边长为， 故选：． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的三边长的数量关系，以及找规律型，解题的关键是熟练等腰直角三角形的直角边与斜边长的关系． 64．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是（    ） A．5尺 B．6尺 C．8尺 D．10尺 【答案】D 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 【详解】解：设绳索长为x尺 ∴根据题意得： 解得． ∴绳索长为尺， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 65．如图所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（　　），却踩坏了花草． A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】先根据题意求出他们走出的“路”长，进而得到少走的距离． 【详解】根据勾股定理可得他们走出的“路”长是： ， 则少走的距离是， 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 66．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1km和3km，且相距3km，则铺水管的最短长度是（    ）km A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离． 过A作于G，过E作于F， ∵， ∴， ， 在中， ， ∴铺水管的最短长度是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 67．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是三个角处的三个油桶底面的圆心连线长为4个油桶的直径． 由题意可得15只油桶底面如图所示，取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高． 【详解】解：取三个角处的三个油桶底面的圆心，连接组成一个等边三角形， ， 过点A作于点D， ， ， 遮雨棚高度至少为：， 故答案为： 68．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺． 【答案】29 【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)， 因此葛藤长 (尺)． 故答案为：29． 69．如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 70．某校在一次消防演练中，消防车按如图所示的方式停放，长的云梯需要到高的宿舍楼的点处，其示意图如图，已知云梯的底端到地面的距离是，与宿舍楼的水平距离是．云梯的长度够吗？请说明理由． 【答案】云梯的长度足够 【分析】本题主要考查了勾股定理，连接，利用勾股定理求出，通过比较可知，可知云梯的长度不够． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 云梯的长度足够． 1．在中，．若，如图1，根据勾股定理，则． (1)若是钝角三角形，如图2，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论． (2)是否存在三边长为连续整数的钝角三角形？如果存在，请求出钝角三角形的三边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形三边关系，利用分类讨论的方法解不等式，灵活作高是解题的关键． （1）过点作的延长线于点，在中，，，，在中，，，那么有，化简可得，从而推出与的大小关系； （2）假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和，根据三角形三边关系有，再结合（1）的结论，可得到的范围，从而解得答案． 【详解】（1）解：，证明过程如下： 过点作的延长线于点，如图所示： 不妨设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：存在，三边为2，3，4，理由如下: 假设存在三边长为连续整数的钝角三角形，不妨设这个钝角三角形的最短边为，那么另外两边分别为和， 那么有， ， 由（1）的结论可知，， ， ， 或， ， 或， 又， ， 当时，，， 综上，存在三边长为连续整数的钝角三角形，三边长分别为2，3，4． 2．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由（1）知， ∵在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 3．【问题背景】 （1）如图1，点是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点，使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图，    ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图，    ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 3．如图，在中，，，D是边上一点（点D与、不重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，． (1)求证：； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)点在上运动时，试探究是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题干中的条件通过角边角即可证明； （2）由得到， ，然后求得，然后根据等角对等边即可求解； （3）通过，，得到，进而求得当时，最小，的值最小，然后即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴．     在和中，   ， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴，   ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：∵，， ∴．    当时，最小，的值最小． ∵，， ∴ 的最小值为3， ∴的最小值为． 4．如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 1．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）构造矩形，取的中点C，作于点C，，可推出的值最大，需的值最大，即当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为，由点C是的中点，，可得出D是的中点，即，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 故答案为：13； （2）构造图形如下，矩形，点C是的中点，于点C，， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∴， 要使的值最大，需的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为， ∵点C是的中点，， ∴D是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值． 2．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是___________； （4）已知正数满足，则___________． 【答案】（1）13；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及三角形三边关系，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用三角形三边关系变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最长得为最大值； （4）和对应直角三角形直角边，通过构造直角三角形，结合勾股定理解方程求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，点在的上方，且，点在的下方，且， 则， ∴代数式表示， ∵， ∴的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）构造，如图所示： 过点作，交延长线于点， 则， 设， 则，， ∴代数式表示， ∵， ∴的最大值为的长， 即代数式的最大值为的长， 在 中，由勾股定理得：， 即的最大值为； （4）构造于，如图所示： 设，则， ， 设，则， ∴， 解得：， ∴． ∴方程的解是． 故答案为：． 3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为的正方形，为边上的动点．设，则．则＝ + 的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，的最小值是 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据已知图形利用勾股定理计算即可； （2）作点关于的对称点，连接，得到，则的最小值即为的长，利用勾股定理计算即可； （3）构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，，设，则，得到，延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）在已知图形中，，则， 在中，， 在中，， ； 故答案是：；． （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为； （3）如图，构造两个边长为的正方形和，为边上的动点，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 延长至点，使得，则垂直平分线段，上任意一点到点和点的距离都相等，即总有，连接，由“两点之间，线段最短”知，当点在和额交点处时，的长最短，从而点的长最短，最小值为线段的长，过点作，交于点， 在中，，， ， 的最小值等于． 故答案是：． 4．如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想 （1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可． （2）当时，，利用勾股定理计算即可． （3）根据得， 构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 【详解】（1）根据题意，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）根据题意，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故． （3）根据得， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 5．【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________________，__________________； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值（）．    【答案】（小试牛刀），；（知识运用）；（知识迁移）代数式的最小值为15． 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； 故答案为：，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：    由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴，    由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $