2025-2026学年浙教版八年级下册数学期末模拟测试卷

**基本信息** 2025-2026学年八年级下册数学期末试卷，覆盖二次根式、一元二次方程、平行四边形等核心知识，通过几何计算（如平行四边形角平分线求线段长）、统计分析（成绩数据处理）、综合探究（矩形动点问题）设计，体现知识综合与能力梯度，适配期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、一元二次方程、平行四边形性质|第3题结合平行四边形角平分线考线段计算，体现几何直观| |填空题|6/18|逆命题、中心对称、韦达定理|第11题考菱形逆命题真假，培养推理意识| |解答题|8/72|方程求解、平行四边形证明、统计应用、综合探究|第24题综合矩形动点与角平分线，发展创新意识与空间观念|

2025--2026年学年八年级下册数学期末试卷01 八年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 1、 选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列式子属于最简二次根式的是（　　)。 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A . 满足两个条件，是最简二次根式； B .，被开方数含分母，不是最简二次根式； C .，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D .，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故答案为：A. 【分析】 根据最简二次根式定义“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”逐项判断解答即可. 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解： 即 故答案为：C. 【分析】先移项，然后添加一次项系数一半的平方，左边写成完全平方的形式解答即可. 3．如图，在平行四边形 ABCD中， ∠ABC的平分线交 AD于点 E， ∠BCD的平分线交 AD于点 F，若 AB=3， AD=4，则 EF的长是(　　) A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念 4．已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是（　　） A．5 B．20 C．15 D．25 【答案】B 【知识点】平均数及其计算 【解析】【解答】解：∵一组数据的平均数为5， ∴， ∴ ∴数据的平均数为20， 故答案为：B． 【分析】根据的平均数为5得到，然后根据平均数的公式列式，再整体代入解答即可． 5．如图，在周长为 20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点 O，OE⊥BD交 AD于 E，则△ABE的周长为(　　) A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质 【解析】【解答】 由平行四边形性质得AB=CD，AD=BC，周长为20cm， 所以AB+AD=10cm。 因为OE⊥BD且交AD于E，根据垂直平分线性质可得BE=DE。 因此△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm。 故答案为：D。 【分析】 这道几何题的核心是利用平行四边形性质和垂直平分线的性质进行线段转化。平行四边形对边相等，周长已知可求相邻两边之和；OE垂直平分BD得到BE=DE，将△ABE的周长转化为AB+AD，问题迎刃而解。 6． 已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程； 的两根分别为a，b， 故答案为：A. 【分析】先根与系数的关系得a+b=5，ab=-6，再利用通分得到 然后利用整体代入的方法计算. 7．如图， F是▱ABCD的边CD上的点， Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点 P，若 则阴影部分的面积为（　　)。 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故答案为B：. 【分析】连接，根据平行四边形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得四边形为平行四边形，可得，然后推理得到四边形为平行四边形，可得，然后相加解答即可． 8．某市 2023年人均可支收入为 2.36万元，2025年达到 2.7万元，若 2023年至 2025年间每年人均可支配收入的增长率都为 x，则下面所列方程正确的是(　　) A．2.7 (1+x) 2=2.36 B．2.36 (1+x) 2=2.7 C．2.7 (1-x) 2=2.36 D．2.36 (1-x) 2=2.7 【答案】B 【知识点】列一元二次方程 9．如图，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系 10．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程说法 ①方程x2-3x+2=0是2倍方程； ②若(x-3)(mx+1)=0为3倍方程，则 ③若p，q满足 pq=8，则关于x的方程 为2倍方程； ④若关于 x的方程 为n倍方程，则 正确的个数有(　　)个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由 得， 因为2=1×2， 所以该方程是2倍方程. 故①正确； 由(x-3)(mx+1)=0得， 因为该方程是3倍方程， 所以 或 解得m=-1或 故②错误； 令关于x的方程 的两根为m和2m，则 所以 则 整理得，pq=8， 所以 pq=8时关于x的方程 为2倍方程. 故③正确； 令关于x的方程 的两根为α和nα，则 所以 因为 所以 所以 化简得， 故④正确. 故选：C. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及所给“n倍方程”的定义，对所给说法依次进行判断即可. 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”). 【答案】假 【知识点】菱形的性质；真命题与假命题；逆命题 【解析】【解答】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”，是假命题， 故答案为：假. 【分析】交换原命题的题设和结论得到逆命题，然后判断真假命题即可解答. 12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点 A的坐标是(-1， - 3) ，则顶点 C的坐标是　 　. 【答案】(1， 3) 【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征 【解析】【解答】因为四边形ABCD是平行四边形， ▱ABCD的对称中心是坐标原点 ， 所以点A与点C关于原点对称， 即它们的横纵坐标均互为相反数， 已知顶点A的坐标是(-1，-3)， 所以点C的坐标为(1，3). 故答案为：(1，3). 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特征，根据平行四边形是中心对称图形，所以点A与点C是关于原点对称的，横纵坐标均互为相反数。 13．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为　 　. 【答案】-1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数 【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 故答案为：-1. 【分析】根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系得到，，然后整体代入可得，解关于m的方程求出m的值即可． 14．如图，□ABCD的面积为12，点 E是边AD上的一点，则图中阴影部分的面积为　 　. 【答案】3 【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SSS 【解析】【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC，AB=CD，AD=CB，AO=OC ∴△EBC和△ABC的BC上的高相等， ∴△EBC和△ABC的面积相等， ∵AC=CA，AB=CD，AD=CB ∴△ABC≌△CDA(SSS)， ∴△ABC的面积=▱ABCD面积的一半. ∵AO=OC， ∴△OBC的面积=△ABC面积的一半. ∴图中阴影部分的面积=△EBC的面积-△OBC的面积=6-3-3. 故答案为：3. 【分析】由平行四边形的性质推出AD//BC，AB=CD，AD=CB，AO=OC，由三角形的面积公式得到△EBC和△ABC的面积相等，判定△ABC≌△CDA(SSS)，得到△ABC的面积=△BCD面积的一半=6，由三角形的面积公式得到△OBC的面积=△ABC面积的一半=3，即可得到图中阴影部分的面积. 15．若，则的值为　 　. 【答案】64 【知识点】二次根式有无意义的条件；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：64. 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可求出，然后代入计算解答即可． 16．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=6，则CD=　 　。 【答案】12 【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， 故， 又∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：12. 【分析】根据三角形的中位线定理求出，再根据平行四边形的对边相等解答即可． 三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算下列各题： （1） （2）。 【答案】（1）原式 ​​​​​​​ （2）原式 ​​​​​​​ 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式展开，计算二次根式的乘法，然后合并同类二次根式解答即可. 18． 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解： (x-1)(x-3)=0， x-1=0或x-3=0 解得： ​​​​​​ （2）解：x(x-5)=2x-10， 移项，得x(x-5)-2(x-5)=0， 整理，得(x-2)(x-5)=0， 解得 ​​​​​​ 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】(1)利用因式分解法解方程即可； (2)先移项，然后提取公因式(x-5)，利用因式分解法求解可得. 19．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若▱AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长. 【答案】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴DC∥AB，DC=AB， ∵DE=BF， ∴DC-DE=AB-BF即EC=AF， ∴四边形AFCE是平行四边形. （2）解：∵四边形AFCE是菱形， ∴AF=FC 设AF=FC=x，则BF=6-x， 在Rt△BCF中， FC2=BC2+BC2 ∴x2=22+（6-x）2 解之：x= 答：菱形AFCE的边长为. 【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质易证DC∥AB，DC=AB，再证明DE=BF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论。 （2）利用菱形的性质可得到AF=FC，设AF=FC=x，则BF=6-x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值。 20．某中学在七、八年级学生中开展数学基础知识过关检测比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组x<85，B组85≤x<90，C组90≤x<95，D组95≤x≤100）.七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100.八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94. 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 90.5 91 八年级被抽取学生的成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a，m的值：a=　 　，m=　 　. （2）你认为这次数学基础知识过关检测比赛中，哪个年级的成绩更好?请结合你所关注的统计数据加以说明. （3）此次该校七、八年级分别有1000名、1200名学生参加数学基础知识过关检测比赛，估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有多少人? 【答案】（1）90；25 （2）八年级成绩更好，理由如下： 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大和众数于七年级，所以八年级的成绩更好 （3）解：， 估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有1160人 【知识点】扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数） 【解析】【解答】解：（1）七年级成绩的众数a＝90， 八年级成绩位于A、B组的人数为20×（20%+25%）＝9（人）， ∵D组人数为20﹣（9+6）＝5（人）， ∴m%＝×100%＝25%，即m＝25； 故答案为：90；25； 【分析】（1）根据八年级在D组人数可求出“D组”所占的百分比，即可求出m的值，根据众数的意义可求出a的值； （2）通过平均数、中位数和众数进行分析得出答案； （3）分别求出七、八年级样本中的优秀率，进而根据七、八年级的优秀率求出八、九年级的满分人数，再求出总体中的优秀人数． 21．已知一元二次方程（、为常数，其中）. （1）若，求的值； （2）若，请判别方程根的情况. 【答案】（1）当时，原式， （2）解：因为， 因为， 所以该方程有两个不相等的实数根. 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数 【解析】【分析】（1）将代入原方程，整理解答即可； （2）将化为c=1-a，代入根的判别式可得，根据偶次方的非负性得到，即可得到方程根的情况解答即可． 22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE， （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若，，求BD的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，然后根据中点的定义得到，再利用对角线互相评分点的四边形是平行四边形证明结论； （2）由勾股定理得，即可得到，然后根据勾股定理求出，即可解答． 23．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 【答案】（1）解：20+6×2=32（件） 答：平均每天销售数量为32件. （2）解：设每件商品降价x元，则每件盈利(40-x)元，平均每天可销售(20+2x)件， 依题意得：(40-x)(20+2x)=1200 解得： ∴当每件商品降价 10元或 20 元时，该商店每天销售利润为 1200元. 【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】(1)利用平均每天的销售量=20+2×每件商品降低的价格，即可求出结论； (2)设每件商品降价x元，则每件盈利(40-x)元，平均每天可售出(20+2x)元，利用总利润=每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值. 24．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩形ABCD中，AD>AB.点E是平面内的一个动点，且BE=AD，∠CBE的平分线交射线CD于点F，连接EF，过点E作CD的平行线交直线BF于点G，连接CG. （1）初步思考：如图1，点E在矩形ABCD内部，猜想四边形EGCF的形状，并证明你的结论； （2）深入探究：如图2，已知AB=3，当点E落在AD边上，且恰好是AD的中点时，求此时GF的长； （3）保持（2）中矩形ABCD的形状大小不变，继续改变点E的位置.若请直接写出所有满足条件的CF的长. 【答案】（1）解：四边形EGCF是菱形，证明如下： ∵四边形ABCD为矩形，BE=AD， ∴AD=BC=BE， ∵BF平分∠CBE， ∴∠EBF=∠CBF， ∵BF=BF， ∴△EBF≌△CBF（SAS）， ∴EF=CF，∠EFB=∠CFB， 同理EG=CG， ∵EG∥CD， ∴∠EGF=∠CFB， ∴∠EGF=∠EFB， ∴EG=EF=CF=CG， ∴四边形EGCF是菱形 （2）如图，延长EG交BC于点H，连接CE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC⊥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3， ∵EG∥CD， ∴EG⊥AD，EG⊥BC， ∴四边形CDEH为矩形， ∴DE=CH，EH=CD=3， ∵点E是AD的中点， 即EH垂直平分BC， ∴BC=BE=CE， ∴△BCE为等边三角形， 由（1）得：四边形EGCF是菱形， ∴∠FEG=2∠CEG=60°，EG=EF， ∴△EGF为等边三角形， ∴FG=EF， 在Rt△DEF中， 解得：FG=2； （3）或4 【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：（3）连接CE交BF于点P， 由（1）得：四边形EGCF是菱形，由（2）得： ∴CE⊥FG，PG=PF， 如图，当点F在CD边上时，设PG=PF=a，则FG=2a， ∴BG=3a，BF=5a， ∴BP=4a， ∴且 即：且， 解得： 如图，当点F在CD的延长线上时，设PG=PF=b，则FG=2b，FC=CG， 且 即：且， 解得： 综上所述，CF的长为或4 ​​​​​​​ 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，利用SAS得到，即可得到，，同理可得，进而得到，证明结论； （2）延长交于点H，连接，即可得到四边形为矩形，进而可得，，然后利用垂直平分线的性质得到为、为等边三角形，可得，在中，根据勾股定理计算即可； （3）连接交于点P，由（1）可知四边形是菱形，由（2）得：，然后分两种情况：当点F在边上时，设PG=PF=a，则FG=2a，根据勾股定理得到且，代入数值求出a的值，再根据勾股定理解答即可；当点F在的延长线上时，设PG=PF=b，则FG=2b，同理求出CF长即可． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026年学年八年级下册数学期末试卷01 八年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 1、 选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列式子属于最简二次根式的是（　　)。 A． B． C． D． 2．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形 ABCD中， ∠ABC的平分线交 AD于点 E， ∠BCD的平分线交 AD于点 F，若 AB=3， AD=4，则 EF的长是(　　) A．1 B．2 C．2.5 D．3 4．已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是（　　） A．5 B．20 C．15 D．25 5．如图，在周长为 20cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点 O，OE⊥BD交 AD于 E，则△ABE的周长为(　　) A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 6． 已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图， F是▱ABCD的边CD上的点， Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE交于点 P，若 则阴影部分的面积为（　　)。 A． B． C． D． 8．某市 2023年人均可支收入为 2.36万元，2025年达到 2.7万元，若 2023年至 2025年间每年人均可支配收入的增长率都为 x，则下面所列方程正确的是(　　) A．2.7 (1+x) 2=2.36 B．2.36 (1+x) 2=2.7 C．2.7 (1-x) 2=2.36 D．2.36 (1-x) 2=2.7 9．如图，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 10．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程说法 ①方程x2-3x+2=0是2倍方程； ②若(x-3)(mx+1)=0为3倍方程，则 ③若p，q满足 pq=8，则关于x的方程 为2倍方程； ④若关于 x的方程 为n倍方程，则 正确的个数有(　　)个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11．命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”). 12．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点 A的坐标是(-1， - 3) ，则顶点 C的坐标是　 　. 13．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为　 　. 14．如图，□ABCD的面积为12，点 E是边AD上的一点，则图中阴影部分的面积为　 　. 15．若，则的值为　 　. 16．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=6，则CD=　 　。 三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算下列各题： （1） （2）。 18． 解下列方程： （1）； （2）． 19．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF. （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若▱AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长. 20．某中学在七、八年级学生中开展数学基础知识过关检测比赛，随机各抽取20名学生的成绩（百分制）进行整理分析（成绩用x表示，共分为四组：A组x<85，B组85≤x<90，C组90≤x<95，D组95≤x≤100）.七年级20名学生的成绩是：77，78，83，83，85，85，86，87，89，89，90，90，90，93，93，94，95，96，97，100.八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94. 七、八年级被抽取学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 89 89.5 a 八年级 89 90.5 91 八年级被抽取学生的成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出图表中a，m的值：a=　 　，m=　 　. （2）你认为这次数学基础知识过关检测比赛中，哪个年级的成绩更好?请结合你所关注的统计数据加以说明. （3）此次该校七、八年级分别有1000名、1200名学生参加数学基础知识过关检测比赛，估计七、八年级成绩优秀（x≥90）的学生总共有多少人? 21．已知一元二次方程（、为常数，其中）. （1）若，求的值； （2）若，请判别方程根的情况. 22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连结AE，AF，CE， （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若，，求BD的长． 23．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价6元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元. 24．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩形ABCD中，AD>AB.点E是平面内的一个动点，且BE=AD，∠CBE的平分线交射线CD于点F，连接EF，过点E作CD的平行线交直线BF于点G，连接CG. （1）初步思考：如图1，点E在矩形ABCD内部，猜想四边形EGCF的形状，并证明你的结论； （2）深入探究：如图2，已知AB=3，当点E落在AD边上，且恰好是AD的中点时，求此时GF的长； （3）保持（2）中矩形ABCD的形状大小不变，继续改变点E的位置.若请直接写出所有满足条件的CF的长. 学科网（北京）股份有限公司 $