江苏东海高级中学2025-2026学年下学期高一期末考试数学模拟试卷

**基本信息** 融合阿基米德几何文化与两岸经贸统计等真实情境，梯度覆盖复数、向量、三角函数等高一核心知识，突出数学建模与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、向量坐标、概率独立与互斥|第8题以阿基米德圆柱内切球为背景，渗透数学文化| |填空题|3题15分|解三角形、概率计算、球表面积|第13题结合等级考概率，体现数据观念| |解答题|5题77分|解三角形、统计直方图、立体几何、创新情境|第16题以两岸经贸为素材，第19题“鸿蒙点”设计考察逻辑推理与创新意识|

2025-2026下学期高一期末考试 数学模拟试卷 (时间：120分钟　满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设(1＋i)(a＋bi)＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a＋bi|＝(　　) A.2 B. C.2 D. 答案　D 解析　由题意可知：a＋bi＝＝1－i， ∴a＝1，b＝－1， ∴3a＋bi＝3－i， ∴|3a＋bi|＝|3－i|＝，故选D. 2.一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 答案 ：D 解析：由题意得，则第60百分位数为. 3.已知函数f(x)＝cos4x－sin4x，下列结论中错误的是(　　) A.f(x)＝cos 2x B.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 C.f(x)的最小正周期为π D.f(x)的值域为[－，] 答案　D 解析　f(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2 x－sin2x)＝cos 2x，故A正确；由定义可知f(x)＝cos 2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f(x)的最小正周期为：T＝＝π，故C正确；由余弦函数的性质可得f(x)＝cos 2x的值域为[－1，1]，故D错误.故选D. 4.把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶3，母线长为6，则已知圆锥的母线长为(　　) A.8 B.9 C.10 D.12 答案　B 解析　设圆锥的母线长为l， 因为圆台的上、下底面半径之比为1∶3，所以(l－6)∶l＝1∶3，解得l＝9.故选B. 5.某校现有高一学生630人，高二学生810人，高三学生900人，学校用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行视力情况调查，如果已知从高二的学生中抽取的人数为90，那么样本容量n＝(　　) A.180 B.260 C.300 D.320 答案　B 解析　由题知，高一、高二、高三的学生人数之比为7∶9∶10，∴n×＝90. ∴n＝260，故选B. 6.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成和棋的概率为(　　) A.50% B.30% C.10% D.60% 答案　A 解析　甲不输为甲获胜或甲、乙下成和棋，且甲获胜和甲、乙下成和棋为互斥事件，所以P(甲不输)＝P(甲获胜)＋P(甲、乙和棋)，故P(甲、乙和棋)＝90%－40%＝50%，故选A. 7. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 答案：B 解析：由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 8.阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻上一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为(　　) A.4π B.16π C.36π D. 答案　C 解析　设球的半径为R， 由题意知，4πR2＝×54π＝36π， 解得R＝3， 所以该球的体积为V＝πR3＝×π×33＝36π.故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案　AD 解析　∵P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0， ∴||－|(－)＋(－)|＝0， 即||＝|＋|，∴|－|＝|＋|， 两边平方并化简得·＝0， ∴⊥. ∴∠A＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形. 故不可能是钝角三角形，等边三角形，故选AD. 10.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到频率直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是(　　) A.m＝0.031 B.n＝800 C.100分以下的人数为60 D.成绩在区间[120，140)内的人数占大半 答案　AC 解析　对选项A，由图可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A说法正确；对选项B，因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝＝1 000，故B说法错误；对选项C，因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C说法正确；对选项D，成绩在区间[120，140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47<0.5，人数占小半，故D说法错误.故选AC. 11.已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC＝2，CD＝PC＝PD＝2.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为(　　) A.BM⊥平面PCD B.PA∥平面MBD C.四棱锥M－ABCD外接球的表面积为36π D.四棱锥M－ABCD的体积为6 答案　BC 解析　四棱锥P－ABCD如图所示，因为侧面PCD⊥平面ABCD，交线为CD，底面ABCD为矩形，BC⊥CD，则BC⊥平面PCD.过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC交BD于O，连接MO，则OM∥PA，又MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD，所以选项B正确；四棱锥M－ABCD的体积是四棱锥P－ABCD的体积的.取CD中点N，连接PN，则PN⊥CD，从而有PN⊥平面ABCD，又PN＝3，故四棱锥M－ABCD的体积VM－ABCD＝××2×2×3＝12，所以选项D错误； 矩形ABCD中，易得AC＝6，OC＝3，ON＝， △PCD中求得：NM＝PD＝，在Rt△MNO中MO＝＝3，即OM＝OA＝OB＝OC＝OD，所以O为四棱锥M－ABCD外接球的球心，所以外接球半径为3，所以其体积为36π，所以选项C正确.故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，＝，·＝－，则AC＝________. 答案　2 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋，又＝－， ∴·＝－2－·＋2＝－. 设AC＝x，则－3－x＋x2＝－， 解得x＝2.故AC＝2. 13.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为________. 答案　 解析　这位考生三门科目考试成绩都不是A的概率为＝，所以这位考生至少得1个A的概率为1－＝. 14．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 答案： 解析：如图， 设球的半径为，，， ，， ，即球体建筑物的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2＋c2＝b2－ac. (1)求角B的大小； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，BD＝1，求sin∠BAC的值. 解　(1)在△ABC中，由余弦定理可得 cos B＝＝＝－， ∵B∈(0，π)， ∴B＝. (2)在△ABD中，由正弦定理可得＝， ∴sin∠BAD＝＝＝， ∵∠BAD∈(0，π)，∠BAC的平分线AD交BC于D， ∴cos∠BAD＝＝， ∴sin∠BAC＝sin(2∠BAD)＝2sin∠BAD·cos∠BAD＝. 16.(15分)习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化，打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济.两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”.某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率直方图如图所示. (1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数； (2)在年平均销售量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240，260)，[260，280)，[280，300]的农贸市场中应各抽取多少家； (3)在(2)的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240，260)组的概率. 解　(1)由直方图的性质得： (0.002＋0.002 5＋0.005＋x＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝1， 解得x＝0.007 5， 由直方图可知，年平均销售量的众数是＝230. 因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5， 所以年平均销售量的中位数在[220，240)内， 设中位数为a，则： (0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋(a－220)×0.012 5＝0.5， 解得a＝224， 故年平均销售量的中位数为224，众数为230. (2)由直方图及(1)可知，年平均销售量为[220，240)的农贸市场有：0.012 5×20×100＝25(家)，年平均销售量为[240，260)的农贸市场有：0.007 5×20×100＝15(家)，年平均销售量为[260，280)的农贸市场有：0.005×20×100＝10(家)，年平均销售量为[280，300]的农贸市场有：0.002 5×20×100＝5(家)， ∴抽取比例为：＝， ∴年平均销售量在[240，260)的农贸市场中应抽取15×＝3(家)， 年平均销售量在[260，280)的农贸市场中应抽取10×＝2(家)，年平均销售量在[280，300]的农贸市场中应抽取5×＝1(家)，故年平均销售量在[240，260)，[260，280)，[280，300]的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家. (3)由(2)知年平均销售量在[240，260)的农贸市场中抽取3家，分别记为A，B，C；[260，280)的农贸市场中抽取2家，分别记为a，b；[280，300]的农贸市场中应抽取1家，记为α；从这6家随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动有15种抽取方法： {A，B}，{A，C}，{A，a}，{A，b}，{A，α}， {B，C}，{B，a}，{B，b}，{B，α}，{C，a}， {C，b}，{C，α}，{a，b}，{a，α}，{b，α}， 其中恰有1家在[240，260)组的有9种， ∴恰有1家在[240，260)组的概率p＝＝. 17.(15分)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝，b＝，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，a＝，且b＝2c，求△ABC的面积. 解　(1)f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 函数y＝f(x)的单调递增区间是 (k∈Z). (2)由题意知2sin＋1＝2， 即sin＝， 又∵0<A<π，∴<2A＋<，∴2A＋＝， ∴A＝，又a＝， 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得(b＋c)2－3bc＝7，① b＝2c，② 由①②得c2＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝c2sin A＝. 18．（17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【解】(1)取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 19．（17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学期高一期末考试 数学模拟试卷 (时间：120分钟　满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设(1＋i)(a＋bi)＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a＋bi|＝(　　) A.2 B. C.2 D. 2.已知A(－1，2)，B(2，－1)，若点C满足＋＝0，则点C坐标为(　　) A. B.(－3，3) C.(3，－3) D.(－4，5) 3.已知函数f(x)＝cos4x－sin4x，下列结论中错误的是(　　) A.f(x)＝cos 2x B.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 C.f(x)的最小正周期为π D.f(x)的值域为[－，] 4.把一个已知圆锥截成一个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶3，母线长为6，则已知圆锥的母线长为(　　) A.8 B.9 C.10 D.12 5.某校现有高一学生630人，高二学生810人，高三学生900人，学校用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取n个学生进行视力情况调查，如果已知从高二的学生中抽取的人数为90，那么样本容量n＝(　　) A.180 B.260 C.300 D.320 6.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成和棋的概率为(　　) A.50% B.30% C.10% D.60% 7. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 8.阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻上一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为(　　) A.4π B.16π C.36π D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 10.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到频率直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是(　　) A.m＝0.031 B.n＝800 C.100分以下的人数为60 D.成绩在区间[120，140)内的人数占大半 11.已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC＝2，CD＝PC＝PD＝2.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为(　　) A.BM⊥平面PCD B.PA∥平面MBD C.四棱锥M－ABCD外接球的表面积为36π D.四棱锥M－ABCD的体积为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，＝，·＝－，则AC＝________. 13.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为，，，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为________. 14．如图，已知点是某球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则球体建筑物的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2＋c2＝b2－ac. (1)求角B的大小； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，BD＝1，求sin∠BAC的值. 16.(15分)习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化，打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济.两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”.某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率直方图如图所示. (1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数； (2)在年平均销售量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240，260)，[260，280)，[280，300]的农贸市场中应各抽取多少家； (3)在(2)的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240，260)组的概率. 17.(15分)已知函数f(x)＝a·b，其中a＝，b＝，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝2，a＝，且b＝2c，求△ABC的面积. 18．（17分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 学科网（北京）股份有限公司 $