精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年高一下学期6月期末学业质量检测数学试题

2025连云港市东海县第二学期期末学业质量监测 高一数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单选题（共8小题满分40分） 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案. 【详解】，则对应点为，在第二象限. 故选：B 2. 已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，再根据和列出方程求解即可. 【详解】设，因为，所以，又， 解得或 因为与的夹角是钝角，所以. 故选：A. 3. 已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算得，利用正弦定理以及两角差的正弦公式得到，即可判断. 【详解】在中，因为，且， 所以，由正弦定理得， 所以，即， 又，则，则， 所以，所以该三角形为等腰三角形. 故选：A 4. 某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把100名人员的成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（每组数据均左闭右开），则下列各选项正确的是（ ） A. B. 估计这100名人员成绩的中位数为76.6 C. 估计这100名人员成绩的平均数为76.2（同一组数据用该区间的中点值作代表） D. 若成绩在内为优秀，则这100名人员中成绩优秀的有50人 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质求，判断A，根据中位数和平均数的定义求中位数和平均数，判断BC，由频率分布直方图求成绩优秀的频率，再求成绩优秀的人数. 【详解】由直方图可得，所以，故A错误. 因为前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 所以中位数在内，设中位数为x， 则.所以，故B错误. 由直方图可得平均数为 ，所以C正确. 因为成绩在内的频率为0.4，所以这100名人员中成绩优秀的有40人，故D错误. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 7. 已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，推出就是异面直线与所成角或其补角，由条件证明两两垂直，利用余弦定理求出相关边和角即得. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，所以就是异面直线与所成角或其补角． 因，，则两两垂直， 在中，，，所以． 连接，在中，，， 由余弦定理，， 在中，，所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 8. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，作，设点轨迹所在平面为，设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，则可得平面平面，且四点共面，求出三棱锥外接球半径和到平面的距离，从而可求出平面截外接球所得截面圆的半径，进而可得结果. 【详解】取中点，连接， 则，平面 ∴平面，，又， ∴， 则三棱锥的高， 三棱锥体积为； 作，设点轨迹所在平面为， 则平面经过点且， 设三棱锥外接球的球心为的中心分别为， 易知平面平面，且四点共面， 由题可得，， 解Rt ，得，又， 则三棱锥外接球半径， 易知到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， ∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为. 故答案为：. 二、多选题（共3小题 满分18分） 9. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列为假命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】在正方体中，通过举反例可说明选项A、B、D错误；利用线面平行的性质可得选项B正确. 【详解】 A.平面平面，平面，平面，但，选项A错误. B.平面，平面，平面平面，但，选项B错误. C. ∵，∴存在，使得，∴， ∵，∴，∴，选项C正确. D.平面，平面，，但平面平面，选项D错误. 故选：ABD. 10. 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（ ） A. 事件为互斥事件 B. 事件为相互独立事件 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用互斥事件的定义判断；B.利用独立事件的概率公式判断；C.利用古典概型的概率求解判断；D.求各事件的概率进行判断. 【详解】一等品2件记为，二等品1件记为，次品1件记为， 则从这4件产品中抽2件的基本事件有：共6件， 事件A的基本事件有共1件，故， 事件B的基本事件有共2件，故， 事件C的基本事件有共3件，故， 事件D的基本事件有共5件，故， A.事件A与事件B没有交事件，故为互斥事件，故A正确； B.由选项A可知，显然，所以事件A，B不为相互独立事件，故B错误； C.由上述分析易知，故C错误； D.，，所以，故D错误. 故选：BCD 11. 如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（ ） A. 当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B. 存在某个位置，使 C. 当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D. 当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，证得平面，又由， 证得平面，证得平面，故平面，可判定A正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，证得，进而可判定B错误；根据题意，得到平面平面时，此时四棱锥体积最大，可判定C正确；求得二面角—DE—B的平面角 ，得到，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为分别为和的中点，所以， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以与平面垂直的直线必与直线垂直，所以A正确； 对于B中，假设存在某个位置，使，连接，取的中点， 连接，可得，又因为，， 所以平面，因为平面，所以，必有， 但，两者不等，所以不可能有DE，所以B错误； 对于C中，由是等腰直角三角形，则到的距离是， 当平面平面时，此时四棱锥体积最大， 点到平面的距离为，所以C正确； 对于D中，由，且，可得二面角—DE—B的平面角， 当二面角—DE—B的大小为时，即 ， 因为，所以为等边三角形，可得， 又由，所以异面直线与所成得的角， 即为直线与所成得的角，即， 则，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题（共3小题满分15分） 12. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据四分位数的定义分别求出上四分位数与下四分位数，再计算它们的差值． 【详解】计算下四分位数，已知数据个数，下四分位数即第分位数，此时，则． 由于1.75不是整数，将1.75向上取整得到，所以下四分位数是排序后第个数据，即． 计算上四分位数，上四分位数即第分位数，此时，则． 由于5.25不是整数，将5.25向上取整得到，所以上四分位数是排序后第个数据，即． 上四分位数与下四分位数的差为． 故答案为：18． 13. 用铁水灌注上、下底面的边长分别为和的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为，则所需铁水的体积为_____．（灌注过程中铁水无额外损耗） 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质及题中条件求出正四棱台的高，然后利用棱台体积公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱台中，，，， ，分别为侧面上的高以及棱台的高，则，， 在等腰梯形中，， 等腰梯形中，过作，垂足为， 则， 所以， 所以该正四棱台的体积为， 即所需铁水的体积为． 故答案为：． 14. 在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三点共线先求参数，然后再利用余弦定理找到相等关系，再用向量的线性运算和数量积运算，再结合基本不等式求最值. 【详解】 因为点D为的中点，所以有， 即，又因为点 E 为上一点， 所以， 由， 所以 设三角形中角所对的边分别是，又因为 所以由余弦定理得：， 而， 又因为， 所以， 取等号条件是. 四、解答题（共5大题满分77分） 15. 已知向量，，函数． （1）求的最小值 （2）若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简计算得到，从而求出最小值； （2）换元得到有解，其中，利用函数单调性得到，从而得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 ， 故的最小值为． 【小问2详解】 令，则有解，即有解， 因为时，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取最小值；当时，取最大值3，即， 因为有解，所以实数a的取值范围为． 16. 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. （1）若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； （2）求乙最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）甲最终获胜包含：第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，求出各种情况的概率可得答案； （2）①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况；②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况；③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况，求出以上各种情况概率可得答案. 【小问1详解】 甲最终获胜包含以下情况： 第一种情况是甲第一局和第二局比赛都获胜，其概率为； 第二种情况是甲第一局和第四局比赛获胜，其概率为； 第三种情况是甲第三局和第四局比赛获胜，其概率是. 故甲、乙首先比赛，甲最终获胜的概率； 【小问2详解】 ①若甲、乙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为； 甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜， 概率为. 故甲、乙首先比赛，乙最终获胜的概率. ②若甲、丙首先比赛，则乙最终获胜有两种情况： 甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜，概率为； 甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为. 故甲、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. ③若乙、丙首先比赛，则乙最终获胜有三种情况： 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛乙胜，概率为； 乙、丙比赛乙胜，甲、乙比赛甲胜，甲、丙比赛丙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为； 乙、丙比赛丙胜，甲、丙比赛甲胜，甲、乙比赛乙胜，乙、丙比赛乙胜， 概率为. 故乙、丙首先比赛，乙最终获胜的概率. 故乙最终获胜的概率. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理变形整理可得答案； （2）先利用面积公式求，再利用余弦定理求，则面积可求. 【小问1详解】 因为， 又， 所以， 整理得， 即， 因为，所以， 所以， 则； 【小问2详解】 由（1）得， 得， 所以， 所以， 所以的周长为. 18. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，是线段上的一点，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易得是的中点，由平行平面内直线，证得平面； （2）设点到平面的距离为，利用等体积法求解. 【小问1详解】 因为 ，，， 所以， 因为，所以是 的斜边上的中线，是的中点， 又因为是的中点，所以 ， 因为平面，平面， 所以 平面； 【小问2详解】 由（1）得， ， ， ， 底面ABC，所以 ， 又平面，所以， 又 ， 平面PAC， 平面PAC， ， 所以平面， 平面，所以，由（1）知 ，所以， 在 中，， ， 设点到平面的距离为， 则由，得 ，即，， 即点到平面的距离为； 综上，点到平面的距离为. 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025连云港市东海县第二学期期末学业质量监测 高一数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 一、单选题（共8小题满分40分） 1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，且，与的夹角为钝角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 某单位组织开展党史知识竞赛活动，现把100名人员的成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（每组数据均左闭右开），则下列各选项正确的是（ ） A. B. 估计这100名人员成绩的中位数为76.6 C. 估计这100名人员成绩的平均数为76.2（同一组数据用该区间的中点值作代表） D. 若成绩在内为优秀，则这100名人员中成绩优秀的有50人 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7. 已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题 满分18分） 9. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列为假命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品和二等品都是正品)，次品1件，现从中取出2件产品.记事件A为：“2件都是一等品”，事件B为：“1件一等品1件二等品”，事件C为：“1件次品1件正品”，事件D为：“至少有1件是一等品”，则下列结论中不成立的是（ ） A. 事件为互斥事件 B. 事件为相互独立事件 C. D. 11. 如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（ ） A. 当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B. 存在某个位置，使 C. 当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D. 当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 三、填空题（共3小题满分15分） 12. 在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为：109，116，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为__________． 13. 用铁水灌注上、下底面的边长分别为和的正四棱台工件，若其侧面梯形的高为，则所需铁水的体积为_____．（灌注过程中铁水无额外损耗） 14. 在中，点D为的中点，点 E 为上一点，且满足，则 的最大值为__________. 四、解答题（共5大题满分77分） 15. 已知向量，，函数． （1）求的最小值 （2）若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 16. 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每局比赛的胜者与轮空者进行下一局比赛，负者下一局轮空，直至一人累计胜两局，此人最终获胜，比赛结束.已知每局比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛没有平局，且比赛结果相互独立. （1）若甲、乙首先比赛，求甲最终获胜的概率； （2）求乙最终获胜的概率. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 在三棱锥中，平面，，，，是的中点，是线段上的一点，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $