江苏苏州市相城区2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试卷

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过复数、立体几何、向量、解三角形等模块，分层考查抽象能力、推理能力与应用意识，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、线面关系、充要条件|基础巩固，如向量性质判断| |多选题|3/18|复数性质、向量投影、立体几何动点|能力提升，如向量最值探究| |填空题|3/15|向量夹角、折叠体体积、三角形面积|情境创新，如折叠问题外接球| |解答题|5/77|测量距离（解三角形应用）、正方体线面证明与线面角|综合应用，如两山顶测量实际问题|

江苏省苏州市相城区2025-2026高一春学期期末模拟试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 2．已知，是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列说法中正确的是（    ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．若，满足且与同向，则 D．对于任意向量，必有 5．如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．记的内角，，的对边分别是，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c,为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知复数，其中，是虚数单位，则（ ） A．当时，为纯虚数 B．当时， C．当时， D．当时， 10．下列有关平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若平面向量满足，则的最小值是 B．若平面向量满足，则的最大值是 C．若平面向量，，则在上的投影向量是 D．在中，若对任意，均有，则为锐角三角形 11．如图，在棱长为的正方体中，E、F分别是棱，的中点，动点P在线段上，动点Q在正方形内（包含边界），平面，则（    ） A． B．PQ的最大值为 C．存在P，Q，使得平面 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，满足：，，则与的夹角为______. 13．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    14．在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15．（本题共12分）已知向量，满足：，，与的夹角． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 16．（本题共12分）已知复数，（是虚数单位）. (1)若，求复数； (2)若，求. 17．（本题共15分）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两个位置进行测量，，，，在同一平面内且与水平面垂直.在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得. (1)求的长度； (2)求，之间的距离. 18．（本题共18分）如图，在正方体中，是的中点，与交于点，与交于点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的大小. 19．（本题共20分）在中，已知，的面积S满足：． (1)求的值； (2)如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《江苏省苏州市相城区2025-2026高一春学期期末模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A A C D BC AB 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 2．D 【分析】根据线面垂直、线面平行、线线平行、线线垂直的判定定理和性质定理，逐一分析选项，进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，，则的位置存在两种可能：或，并不一定平行于，故A错误； 对于B选项，平行于同一平面的两条直线位置关系不唯一，可能平行、相交或异面，无法推出，故B错误； 对于C选项，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，并非一定垂直于，故C错误； 对于D选项，根据线面垂直的性质定理，若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的所有直线，故D正确. 3．B 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 4．D 【分析】通过向量的模以及向量的基本概念，判断选项的正误即可． 【详解】平行向量是共线向量，故A错误； 单位向量的模相等，方向不一定相同，故B错误 向量不能比较大小，故C错误 设夹角为， ， 故，故D正确． 5．A 【详解】在平行四边形中， ，，， 则，， ， 解得，，，所以，． 6．A 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 7．C 【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为， 则圆锥、圆柱的侧面积分别为、， 则，得，则圆锥的体积为. 8．D 【分析】结合余弦定理，应用三角形面积公式化简得，求出角，再使用正弦定理边化角得，根据正切函数性质及不等式性质求出的取值范围，进而利用对勾函数单调性求解即可. 【详解】， 又，所以， 即，即， 由于，所以， 由正弦定理可知，， ， 由于， 所以， 设，则，， 由于函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时，； 所以，的取值范围为. 9．BC 【详解】对A：当时，，故A错误； 对B：当时，，故B正确； 对C：当时，，此时，故C正确； 对D：当时，，所以，故D错误 10．AB 【分析】利用向量的数量积定义和运算可求得，由此可得AB正确；利用投影向量的求法可知C正确；作，根据，令，可化简求得，由此可知为直角三角形，知D错误. 【详解】对于AB，由于， 设平面向量的夹角为，，因此， 则，因此，即 所以的最小值是，的最大值是，故AB正确； 对于C，若平面向量，， 则在上的投影向量是，故C错误； 对于D，如图所示，令，过点作，垂足为， ，令， 则 ， 由于，所以，所以， 即为直角三角形，故D错误. 11．BCD 【分析】A选项，根据动点所在平面与已知平面平行，确定动点所在位置，进行判断线线平行；B选项，根据P，Q两点的移动轨迹，确定取最大值时P，Q两点的位置，计算最大值；C选项，当P，Q两点都在平面中时，可满足平面，故根据P，Q两点的移动轨迹判断即可；D选项，根据平面的平行线上的点到平面的距离都相等可将动点通过平行线转化为定点，从而保证同底等高的棱锥体积不变． 【详解】 如图，连接，，，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面； 因为，且平面， 所以平面平面； 因为平面，平面，所以平面； 又平面平面，所以点在线段上， 故与不一定平行，A错误． 由A可知，当与或重合时，取最大值为，B正确； 当点与点重合，点与点重合时，平面，C正确； 因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， ，D正确． 12．/ 【分析】由向量垂直的数量积关系化简可得结果. 【详解】记与所成角为，因为， 所以， 解得，所以. 故答案为：. 13． 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 14．/ 【分析】利用正弦定理，余弦定理，正切二倍角公式以及两角和的正弦公式分析求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 由正弦定理可得：，又，所以， 因为面积为4，所以，① 由余弦定理可得：， 所以，② ①②可得：，即， 所以. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数量积可得，根据数量积的运算律求模长； （2）根据向量垂直可得，根据数量积的运算律运算求解； （3）根据向量平行可知存在实数满足，结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】（1）因为，，与的夹角，则， 可得，所以. （2）因为，则， 即，解得. （3）因为，则存在实数满足， 可得，解得， 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）由复数的乘、除法运算代入化简即可得出答案； （2）由复数的乘、除法运算先求出，再由共轭复数的定义求出，最后由复数的模长公式求出. 【详解】（1）若，则， 所以， 所以. （2）由可得， 则， 所以，. 17．(1) (2) 【分析】（1） 在中，利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理即可求得的长度； （2） 在中，利用正弦定理求出的长度，进而得到的大小，最后在中利用余弦定理求得的距离. 【详解】（1）在中，由题意可知，， 所以． 由正弦定理得， 即． 故的长度为． （2）在中， 因为点测得的俯角为，所以， 则． 由正弦定理得， 即． 在中，， 由余弦定理得 ， 所以． 故之间的距离为． 18．(1)连接，因为为正方形，，则为的中点， 同理，为中点， 在中，、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 连接，在中，、分别为、的中点，所以， 在正方形中，， 在正方体中，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 又因为，所以平面. (3) 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，平面，即可证得平面； （3）设，并连接，由线面角的定义可得直线与平面所成的角为，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，并连接， 由（2）可知平面，所以直线与平面所成的角为， 设正方体的棱长为， 在中，， 同理可得，易知为的中点，所以， 所以， 易知为锐角，故， 所以直线与平面所成的角的大小为. 19．(1) (2)（i）的面积为，的面积为 （ii） 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即，得， 所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即. （2）（i）记，的面积分别为，设， 在中，由余弦定理可知，， 则， 即，则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以 ， 故的面积为，的面积为. （ii）记的面积为，则， 由，可得 ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $