广东省2025-2026学年高二下学期数学期末自编测试卷（二）

**基本信息** 以真实情境与梯度问题为特色，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过卫星天线、飞行棋等情境考查数学眼光，以不动点、投篮测试等问题发展数学思维与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计、向量、集合、导数|第1题房地产景气指数数据（数据意识），第5题卫星天线抛物线（空间观念）| |多选|3/18|复数、立体几何、圆|第10题正三棱锥体积与外接球（逻辑推理）| |填空|3/15|双曲线、三角函数、概率|第14题质点跳动概率递推（数学思维）| |解答|5/77|立体几何、解三角形、概率统计、椭圆、函数|第17题投篮测试概率模型（模型观念），第19题函数不动点探究（创新意识）|

高二下学期 数学期末测试卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知2025年月全国房地产开发景气指数依次为，则这7个数据的中位数是（    ） A．93.92 B．93.87 C．93.82 D．93.70 【答案】D 【分析】将所给的数据按照从小到大顺序排列，按照中位数的定义即可判断. 【详解】这7个数据按照从小到大排列依次为，中位数是第4个数93.70. 故选：D. 2．若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用三角形重心的性质以及平面向量基本定理即可求得. 【详解】 如图，延长交于点，因是的重心，则点为的中点， 则，代入整理得， 因点在上，故得，则. 故选：B 3．已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得：，又，所以 4．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】易得，又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 故选：D. 5．图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 6．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 7．已知数列为等差数列，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设数列的公差为d，从而可求得，，代入求解即可. 【详解】设数列的公差为d， 则， 所以， 所以， 所以 8．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先确定的分布列，再结合错位相减法及无穷数列的和求期望. 【详解】，即投掷次到达终点，故第一次投掷的点数为，故， ，即投掷次到达终点，故第一次投掷的点数不为， 第二次投掷的点数可根据第一次投掷的点数来唯一确定， 两次投掷的点数有以下的情况，，，，，. 故， ，即投掷次到达终点，前两次投掷均没有到达终点， ， ……， ，即投掷次到达终点，前次投掷均没有到达终点， ， 故①， ②， 则①-②得 故. 【点睛】结论点睛：若数列是首项为，公比为的等比数列，当且时，数列的所有项的和为：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 【答案】BC 【详解】由，得，所以，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故C正确； ，故D错误. 10．在正三棱锥中，，分别为的中点，，点在底面上的投影为，在侧面内的投影为，则（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．为的四等分点 D．三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，再通过空间向量运算和几何性质，逐一验证线面垂直、体积、投影点位置及外接球表面积等结论. 【详解】 如图所示，以的中点为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，因为是正三棱锥，则底面是正三角形，则， 正三角形的中心（重心）坐标为三顶点坐标的平均值：， 点在底面的投影为，故的坐标与相同， 设其高度为，即，，； 选项A：由，而，， 故可以解得​​，即， 向量，，, 计算点积：，， 因，平面， 故平面，选项A正确； 选项B：底面正三角形面积，高为，则体积为​​，选项B正确； 选项C：因为在侧面内，且与平面交线为，是中点， 所以必在直线上（正三棱锥的对称性）； 设，其中为参数，， 因此的坐标可以表示为：， 平面，意味着与平面内的任意向量都垂直，这里取和验证: ，，， 由，得点积为：, 展开计算：，则可以推得，即是线段上靠近的三等分点（），而非四等分点，选项C错误； 选项D：外接球心在过底面中心且垂直底面的直线上，设, 由，列方程：， 化简后得，解得​​， 代入得，表面积：，选项D正确. 故选：ABD 11．已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为( B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 【答案】ACD 【分析】利用圆的弦长公式，设圆的半径为，分别求出被轴、轴截得的弦长，结合比例关系求出，判断选项A；计算圆心到直线的距离，根据圆的性质，当时满足条件，结合确定的取值集合，判断选项B；将向量数量积进行转化，结合以为直径的圆与圆$C$的交点性质，将其转化为与相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出的最小值，进而得到数量积的最小值，判断选项C；可设出、的坐标，得到的坐标与的坐标关系，再结合在直线上，代入到直线的距离公式，判断是否为定值，以此分析选项D. 【详解】选项A，已知圆心，设半径为，圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 由题意，代入得：， 化简得，即， 因此圆的标准方程为，选项A正确； 选项B，圆心到直线的距离， 圆上到直线距离为的点的个数满足： 当，即时，有且仅有个点， 代入得不等式：， 因，故，去掉绝对值得：， 正整数解为时，圆上无满足条件的点，选项B错误； 选项C，当时，直线， 因在以为直径的圆上，故，即， 向量分解：，因此：， 在中，由勾股定理：， 因，故，即， 的最小值为点到直线的距离：， 因此的最小值为，选项C正确； 选项D，设，因，故， 又在直线上，故， 点到直线的距离： 距离为定值，选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_____. 【答案】 【分析】根据离心率的定义，得到，再代入双曲线的离心率公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，有，可得， 所以双曲线的离心率为 故答案为： 13．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得， 所以的最小正周期，当且仅当时等号成立. 所以最小正周期的最大值为4. 14．一质点在数轴上每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若本次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若本次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次质点向左跳动的概率为，则______；记前次跳动中，质点累计向左跳动次，则______. 【答案】 【分析】易得，，再利用全概率可得，计算即可求解；进而利用全概率公式得到，构造等比数列求出表达式,再利用和事件的期望性质计算即得. 【详解】由题意，得，，； 依题意，可得， 设，展开并对照上式，可得，解得， 即，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 设第次质点向左跳动的次数是随机变量，则服从两点分布， 且，，，，， 所以，又， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接， 因为在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 方法一：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 方法二：因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以．所以． 方法三：在正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，则． (2)存在，且，理由如下： 取的中点G，连接AG，FG， 因为F，G分别为，的中点，所以，， 因为，，所以，， 所以四边形ABFG为平行四边形，所以， 设M为的中点，则，所以. 因为平面DBF，平面DBF，所以平面DBF， 故存在所求的点M，且. 【分析】（1）由题设得，再由线面平行的判定、性质定理或面面平行的性质定理证明结论； （2）取的中点G，连接AG，FG，易得，设M为的中点，从而得到，则，最后由线面平行的判定定理证得结论. 【详解】（1）略 （2）略 16．在中，． (1)求B； (2)若，的面积为，求AC． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）交叉相乘去分母，将等式转化为整式形式,结合正弦定理和余弦定理解得； （2）由（1）得且，所以可将转化为，代入，根据三角形面积公式，得，结合，联立解得，即. 【详解】（1）记的内角的对边分别为， 由题得 所以 所以 所以 由正弦定理得                           由余弦定理得                 又，所以                                 （2）由(1)可得 所以， 由正弦定理得                             又的面积 所以②．                                         由(1)知③ 联立①②③解得 17．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表，若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．    (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】（1）先计算甲同学两分球、三分球投篮命中的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式计算； （2）设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算，再利用条件概率的公式计算. 【详解】（1）甲同学两分球投篮命中的概率为， 甲同学三分球投篮命中的概率为， 设甲同学累计得分为X， 则， 则， 则甲同学通过测试的概率为0.3． （2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2， 设乙同学累计得分为Y， 则，， 设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B， 则， ， 则. 18．已知椭圆：的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D. （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由椭圆的焦点及短轴列式计算求解得出从而可得的方程；    （2）（i）将与直线方程联立可得，直线，令，结合韦达定理求证即可； （ii）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）依题意可知，解得，椭圆的标准方程为. （2）（i）设，依题意， 得， ， 所以，即得直线的方程为：①. 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以 得，所以直线恒过定点. （ii）由（i）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得 ， 设， 则. 因为，所以 ， 所以，当且仅当时取面积的最大值.    19．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0，1； (2)； (3) 【分析】（1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； （2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可； （3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，则有， 所以， 即， 解得或， 经检验，和均满足题意； 所以函数的不动点为：0，1； （2）由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得， 所以实数的取值范围为； （3）因为在上单调递减， 所以， 原不等式可化为， 即， 所以，即， 所以， 所以在上恒成立； 令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增， 所以； 在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期 数学期末测试卷（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1．已知2025年月全国房地产开发景气指数依次为，则这7个数据的中位数是（    ） A．93.92 B．93.87 C．93.82 D．93.70 2．若是的重心，且（为实数），则（   ） A． B． C．1 D． 3．已知集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 6．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列为等差数列，，，则（   ） A． B． C． D． 8．飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 10．在正三棱锥中，，分别为的中点，，点在底面上的投影为，在侧面内的投影为，则（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．为的四等分点 D．三棱锥的外接球的表面积为 11．已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为( B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_____. 13．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 14．一质点在数轴上每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若本次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若本次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次质点向左跳动的概率为，则______；记前次跳动中，质点累计向左跳动次，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在正方体中，F，P分别为棱，的中点. (1)设平面平面，求证：． (2)棱上是否存在一点M，使平面DBF?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 16．在中，． (1)求B； (2)若，的面积为，求AC． 17．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表，若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．    (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 18．已知椭圆：的右焦点，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)记O为坐标原点，直线与椭圆C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D. （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值. 19．对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $