广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末模拟卷

**基本信息** 广东省佛山市高二数学期末模拟卷，立足导数、数列、概率统计等核心知识，通过三次函数拐点探究、机器零件概率决策等综合性大题，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|导数运算、数列性质、古典概型|单选基础巩固，多选考查逻辑推理（如第10题等差数列判定）| |填空题|3题15分|排列组合、数列求和、函数恒成立|注重运算能力与抽象思维（如第14题含参不等式）| |解答题|5题77分|函数单调性、等比数列证明、概率分布与期望、三次函数拐点、排列逆序数|突出综合性与应用（如17题用柱状图数据决策，18题结合拐点与数列求和，培养创新意识与数据观念）|

广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自同一所学校的概率为（    ） A． B． C． D． 3．数列中，，，则（    ） A．510 B．1024 C．2046 D．4094 4．的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 6．已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 8．记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（    ） A．40 B．20 C．10 D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（    ） A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 10．已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 11．已知函数，则（   ） A．函数有两个极值点 B．函数在单调递增 C．，函数恰有两个零点 D．，函数在上有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 13．记为数列的前项和，已知，则___________. 14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 16．（15分） 已知数列的前项和为，，，且当时，. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 17．（15分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 18．（17分） 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： (1)求的对称中心． (2)求． (3)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列（，）满足（），（），，求， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市2025-2026学年下学期高二数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导法则及基本函数的导数，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，所以选项B正确， 对于选项C， 因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，所以选项D错误， 故选：B. 2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自同一所学校的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型概率公式结合组合数求解即可. 【详解】从6名教师中选两名共有种选法， 而2名教师来自同一所学校共有种选法，且设所求概率为， 故得，故B正确. 故选：B 3．数列中，，，则（    ） A．510 B．1024 C．2046 D．4094 【答案】C 【分析】首先根据等式求出数列是等比数列，然后根据等比数列的前项和求出. 【详解】因为，， 令，则， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为2. 所以. 故选：C. 4．的展开式中常数项为（    ） A． B．80 C． D．160 【答案】C 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中常数项为. 故选：C 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 6．已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列前n项和性质计算即可求得，代入计算可得结果. 【详解】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B 7．已知定义在区间上的奇函数，对于任意的满足（其中是的导函数），则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，再利用函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数为奇函数， 当时，， 所以，函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数， 由题意可知，函数在上连续，故函数在上为增函数. 对于A选项，，即，则，A错； 对于B选项，，即，则，B对； 对于C选项，，即，则，C错； 对于D选项，，即，则，D错. 故选：B. 8．记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（    ） A．40 B．20 C．10 D．0 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和公式及性质，整理可得，根据条件，赋值求解，可得的值，进而可得d的值，即可得通项公式，代入所求，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以，设公差为d， 则，整理得， 又，令，得， 又， 所以，则，解得，则， 所以， 所以的前20项和为 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数之比为，则（    ） A．从三个地区中任选一人，此人未患流感的概率大于0.96 B．等可能从三个地区中选取一人，此人患流感的概率为0.05 C．从三个地区中任选一人，此人选自地区且患流感的概率为0.017 D．从三个地区中任选一人，若此人患流感，则此人选自地区的概率为 【答案】AD 【分析】根据全概率公式、条件概率公式分别计算即可判断． 【详解】设事件“此人患了流感”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”，事件“此人来自地区”， 由题意可得： ， ， 对于A，由全概率公式，可得： ， 所以，故A正确； 对于B，等可能从这三个地区中选取一个人，即， 则 ，故B项错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由条件概率公式，可得，故D正确； 故选：AD． 10．已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 【答案】BCD 【分析】对A、B：利用与的关系计算后，结合等差数列定义即可得；对C：利用赋值法构造即可得；对D：借助分段函数性质计算即可得. 【详解】对A：，当时，， 则，即， ，则，故不为等差数列，故A错误； 对B：当时，，则， 即，即对任意的，有，此时， 即数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对C：令，则对，有， 故数列是以为公差的等差数列，故C正确； 对D：， 则，故数列是以为公差的等差数列，故D正确. 故选：BCD. 11．已知函数，则（   ） A．函数有两个极值点 B．函数在单调递增 C．，函数恰有两个零点 D．，函数在上有最大值 【答案】ACD 【分析】利用导函数分析函数的极值点及单调性可判断A，B；取特殊值，可解得函数的零点个数，从而判断C；利用函数单调性求得极大值，再与端点值比较大小确定最大值，可判断D. 【详解】由求导可得， 令， 则， 所以方程有两个不相等的实数根，设为，不妨令； 对于A，则时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以函数有两个极值点，故A正确； 对于B，根据韦达定理，， 若，则，则， 所以，时，，单调递减； 时，，单调递增，故B错误； 对于C，取时，， 令，解得或， 此时，函数恰有两个零点，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 所以，时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，函数在处取得极大值， 又，则， 又因为， 所以， ， 所以，即， 则函数在处取得极大值就是在上的最大值， 故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答） 【答案】 【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位， 然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位， 共有种排法. 13．记为数列的前项和，已知，则___________. 【答案】12 【详解】当时，，所以，又，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 所以. 14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，其中，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为．单调递减区间为． (2)最大值为3，最小值为． 【分析】（1）直接求导，再令和，解出即可； （2）求出端点值和极值，再比较大小即可. 【详解】（1）函数的定义域为． 由可得或，由可得． 所以函数的单调递增区间为．单调递减区间为． （2）函数在区间端点和极值点处的取值：． 极大值． 极小值． ， 比较以上函数值，可得函数在区间上的最大值为3，最小值为． 16．（15分） 已知数列的前项和为，，，且当时，. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）借助与的关系结合等比数列的定义与通项公式计算即可得； （2）借助错位相减法求和即可得. 【详解】（1）由当时，，即， 即，则，又，则有，， 又，则，则对任意，都有， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则； （2）由，则，则， 故， ， 则 ， 即. 17．（15分） 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（1）见解析. （2）见解析. （3）见解析. 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为19． （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 18．（17分） 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： (1)求的对称中心． (2)求． (3)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“拐点”定义对函数求导即可求出对称中心； （2）利用函数对称性可得，再结合倒序相加法即可求得； （3）利用等差数列前n项和公式以及裂项求和可得对恒成立，再利用换元法和对勾函数性质求得即可满足题意. 【详解】（1）由可得， 所以， 令，可得， 易知， 所以的对称中心为 （2）由（1）中的对称中心为，可得， 因为， 所以,， 两式相加可得 ， 可得， （3）由（2）可得数列为等差数列，且， 所以； 可得； 因此 ； 若对恒成立，可得， 即， 令，可得恒成立，所以； 令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增， 因此，可得， 即的取值范围为. 19．（17分） 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)设排列（，）满足（），（），，求， 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数， 从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）利用逆序数的定义，结合等差数列的求和公式得到，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个， 与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个， 所以. （2）由（1）中的方法，同理可得， 又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为， 所以数列是首项为1，公比为5的等比数列， 所以，则. （3）因为（）， 所以， 所以， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $