河南郑州市郑州中学2025-2026学年下学期九年级数学学科第四次阶段性评价

2025—2026下学期九年级数学学科第四次阶段性评价 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A． B． C． D． 2．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字余个．数据用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．正六棱柱是一种立方体，底面为正六边形且六个侧棱均与底面垂直．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 6．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，这是小宜在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为的与线段交于点，则的余弦值是（ ） A． B． C． D． 9．如图1，是等边三角形，动点从点出发，沿方向匀速运动，在运动过程中，的长度与运动时间的关系如图2所示，若的面积为，则的长为（ ） A． B． C． D． 10．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度（）与行驶时间（）是反比例函数关系（如图2）．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．代数式中的取值范围是            ． 12．如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是            ． 13．生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）：，，，，，，…若该数列中连续的三个数分别为，，，则紧接着后面的一个数是            ．（用含、的代数式表示） 14．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，点是边上的一点，且，连接，并将沿折叠，此时，点的对应点为恰好落在弧上，则图中阴影部分的面积是            ．（结果保留） 15．如图，，平分，为射线上一点，连结、作与关于直线对称，交射线于点．若，，则的最小值为            ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）（1）计算：；（2）化简：． 17．（9分）随着人工智能技术范式的演变与认知赋能的深度渗透，其已不再仅是工具意义上的“金钥匙”，而成为一种重塑学习生态的本体性力量．为了解学生从“学AI”向“用AI”的行为转化，某校抽取了九年级部分学生，统计其每周利用AI学习的时长，绘制成如下图表，已知第二组的最大值为，第三组的最小值为，根据信息，解决下列问题． 时间/小时 数据 第一组 ，，，， 第二组 ...， 第三组 ，... 第四组 ，，， （1）本次调查的总人数为            人，第三组的人数为            人； （2）补全频数分布直方图； （3）第一组所对应的圆心角的度数是            ，本次调查所得数据的中位数是            ； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少人每周利用AI学习的时间不少于小时． 18．（8分）某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性．为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统，团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据．以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） ... ... 日均生长高度（毫米） ... ... 解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； （2）观察这些点的分布情况，并推测该函数的类型为            （填“一次函数”或“正比例函数”），其解析式为            ； （3）若某天由于天气原因，温室仅能提供小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度，并说明光照对植物生长的影响趋势． 19．（10分）已知：在中，，． （1）尺规作图：求作内部的一点，使得点到的距离等于到的距离，且点在边的高线上（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 20．（9分）高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图（2）中，            ； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（3），杯托处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 21．（10分）在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若为和谐三角形，且，则            ，            ，            ．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形中，，那么的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图，和谐内接于，，直径的长为，过点的切线交的延长线于点．求的长． 22．（10分）某公司用1号，2号无人机分别在空中，投放点向平坦地面投放物资． 研究背景：1号，2号无人机和物资的落点都在同一竖直平面内，物资的运动路径近似看作抛物线的一部分． 建立方法：如图，以水平地面为轴，投放点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径分别是抛物线，．收集信息①无人机在空中投放物资时，物资与地面的垂直距离与距投放点的水平距离之间的函数解析式为，表示投放物资时无人机与地面的垂直距离（单位：米）．表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）．②1号无人机在空中以20米/秒的水平初速度投放物资，当物资距投放点的水平距离为40米时，垂直高度为60米．③2号无人机在1号无人机竖直上方100米处，以10米/秒的水平初速度同时投放物资． 建立模型：（1）求抛物线，的解析式； 应用模型：（2）求两物资落点之间的水平距离； （3）在保持1号，2号无人机在同一竖直线上，同时投放物资，且物资落点不变的前提下，通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度，来避免物资相撞．若无人机投放物资的最低飞行高度为45米，直接写出2号无人机投放物资时的水平初速度的取值范围． 23．（11分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形在该边上的“平方点”．如图1，在中，是边上一点，连接，若，则称点是在边上的“平方点”． （1）如图2，的顶点是的正方形网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，是的直径，于点，连接并延长，交于点，连接． ①求证：点是在边上的“平方点”． ②若的半径为，，求的长． （3）如图4，矩形的边在轴上，点在反比例函数（，）的图象上，连接，交反比例函数的图象于点，连接，已知，．若点是在边上的“平方点”，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $