山东泰安市2026年中考数学自编模拟卷

**基本信息** 本试卷聚焦中考高频考点，以“二十四节气”“新能源汽车”等真实情境为载体，融合代数、几何、统计知识，通过梯度化问题设计考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|相反数、三视图、概率等基础概念|第4题以节气邮票抽卡考概率，渗透文化传承| |填空题|5/15|分式意义、根的判别式、解直角三角形|第13题河堤坡比计算，联系工程实际| |解答题|8/75|函数综合、圆的切线、统计分析、几何探究|22题体操抛物线模型（数学建模），23题菱形动态探究（推理能力），19题体育成绩统计（数据意识）|

山东省泰安市2026年中考考前最后一练 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图是某种榫构件的示意图，其左视图为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小明．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），将邮票洗匀后，让小明从中随机抽取两张，则小明恰好抽到“立夏”和“秋分”的概率是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，的顶点在直线上，，，直线，且与边，分别交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）随着生活水平的提高和环保意识的增强，小安家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了20分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的3倍，小安家到学校的距离为10千米．若设公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，已知内接于，，平分，则（     ）    A． B． C． D． 9．（本题3分）某中学组织甲、乙两个生态兴趣小队在公园进行自然寻宝徒步，由出发点步行前往6公里远的集合点．学校安排两队在不同时刻出发，已知乙队始终以5公里/小时的速度匀速前进，甲队匀速前进0.5小时后，速度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达集合点．甲、乙两队前进的路程（单位：）与甲队出发时间（单位：）的函数图象如图所示，当甲出发时间时，甲乙两队相距（     ） A． B． C．1.5 km D．2 km 10．（本题3分）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ） A．①②④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②③④ 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是______． 12．（本题3分）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________． 13．（本题3分）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为______________m． 14．（本题3分）如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，，若，则的面积为__________． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）计算及化简 (1)计算：； (2)化简：． 17．（本题8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 18．（本题8分）【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲．因湖水较深，无法直接测量沙洲的长度． 【方案设计】某课外活动小组在湖岸上选定测绘点A，用某手机测量软件测得点C，D都在A的南偏西方向上．从测绘点A沿正西方向行走米到测绘点B，测得点C恰好在点B的正南方向，点D在点B的南偏东方向上．（参考数据：，，） 【解决问题】 (1)求的度数； (2)求沙洲的长度． 19．（本题9分）九年级（2）班对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数）．成绩满分为10分，达到9分及以上为优秀，6分及以上为合格．根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下： 九年级（2）班体育模拟成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率 男生 7.9 1.990 a 7 95% 40% 女生 7.92 1.994 8 b 96% 36% 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，该班女生得10分的有______人； (2)九年级（2）班体育模拟成绩分析表中，______，______； (3)体育老师说，从整体看，九年级（2）班的体育成绩在合格率方面基本达标，但在优秀率方面还不够理想，因此他建议全班同学继续加强体育锻炼，争取在期末考试中，全班的优秀率达到60%．若男生优秀的人数再增加7，则女生优秀的人数再增加多少才能达到老师提出的目标？ 20．（本题9分）如图，是的直径，是的弦，点是外一点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)连接，交于点，若，的半径为，求的长． 21．（本题9分）绿色出行是践行生态文明理念、推动低碳发展的重要举措，而骑行则是践行这一理念的最佳选择．某自行车店抓住机遇，计划同时购进甲、乙两种型号的自行车，若购进3辆甲型号自行车和4辆乙型号自行车，共需要资金6200元；若购进4辆甲型号自行车和5辆乙型号自行车，共需要资金8000元． (1)求甲、乙两种型号的自行车每辆进价各为多少元； (2)该店预计用不少于1.8万元且不多于1.9万元的资金购进这两种型号的自行车共20辆，请问共有多少种进货方案？ 22．（本题12分）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，和线段分别为跳板和跳马面．取地面为轴，跳板边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．已知一名体操运动员在跳板边上的点起跳，第一次腾空的路线为抛物线：，双手撑跳马面后第二次腾空的路线为抛物线：（，为正数）． (1)跳马面的宽为________，求所在直线的表达式； (2)运动员在距离地面的点处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上； (3)运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为，越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为，直接写出当时，的取值范围． 23．（本题12分）如图，四边形是菱形，点E在边上，点F在边的延长线上，，连接并延长，交线段于点G． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点E是的中点，时，求的长； (3)如图3，连接，交于点H． ①求证：； ②当G是的中点时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2026年中考考前最后一练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D D A A D A B A 1．A 【详解】解：的相反数是． 2．A 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，重难点在于理解左视图的观察角度以及不可见轮廓线的画法，左视图是从几何体的左面向右面投射所得的图形，能够反映物体的高和宽，在画三视图时，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线． 【详解】选项：中间是一条实线，这表示分界线是看得见的，符合上部长方体与下部长方体前后宽度相等的情况，符合题意； 选项：中间是一条虚线，这表示分界线存在但不可见，通常出现在上部长方体比下部长方体窄(前后宽度小)的情况，与题意不符； 选项：形状呈“凸”字形，这是从正面看得到的主视图，不是左视图； 选项：形状呈长条状且有两条虚线，这是从上面看得到的俯视图，不是左视图． 3．D 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意． 4．D 【分析】先得到所有等可能的抽取结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记“立春”为A，“立夏”为B，“秋分”为C，“大寒”为D， 列表： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C ∵共有种等可能的抽取结果，其中恰好抽到“立夏”B和“秋分”C的结果有种， ∴所求概率． 5．A 【分析】由等腰三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，结合平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．A 【分析】由勾股定理求出，由O为矩形的对称中心，得，再根据推出，是的中位线，则，最后计算四边形的周长． 【详解】解： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵O为矩形的对称中心， ∴O为矩形对角线的交点， ∴， ∵，O为的中点， ∴E为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为：． 7．D 【详解】解：20分钟小时， 设公交车平均每小时走x千米，则电动汽车平均每小时走千米， 根据题意得，． 8．A 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，利用等边对等角求出的度数，进而求出的度数，利用圆周角定理求出的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，   平分， ， ， ， ， ， ． 9．B 【分析】根据速度=路程÷时间求出甲队前0.5小时的速度，从而求出其0.5小时后的速度；根据时间=路程÷速度求出乙到达集合点所用的时间，从而求出甲队出发后多久乙队才出发，分别计算甲、乙两队当甲出发时前进的路程，进而求出这时两队之间的距离． 【详解】解：∵甲队前0.5小时的速度为， ∴甲队0.5小时后的速度为， ∵乙到达集合点所用的时间为（小时）， ∴甲队出发后（小时）乙队才出发， 当甲出发时间时，甲队前进的路程为，乙队前进的路程为， ∴当甲出发时间时，甲乙两队相距． 10．A 【分析】根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象，可知，，对称轴为直线， ， 即，故②正确； ，故①正确； 由图象，可知当时，，故③错误； 若为任意实数，当时，， 当时，有最小值，最小值为， ， ， ，故④正确； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点横坐标， 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象也过点， ∴方程的两根分别为，， ，故⑤错误． 综上所述，正确的有①②④． 11． 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，据此列不等式求解，即可得到答案． 【详解】解：代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12． 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，得到根的判别式小于0，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， ∵该一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 代入得， 解得． 13． 【分析】坡比即为坡角的正切值，据此求出，再利用勾股定理求出坡面的长度． 【详解】解：在中，，， ， ． 14． 【分析】利用三角函数求出的长，由作图得，由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知平分， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， ∴阴影部分面积为． 15． 【分析】根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，过点A作轴，结合图形，利用即可求解． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， 过点A作轴，如图所示： ∴， ∵点C坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴ ∴ 16．(1) (2) 【分析】（1）因为零次幂、二次根式化简、绝对值运算属于实数混合运算的基本组成，所以先分别计算、化简、去掉的绝对值符号，再合并同类项得到结果． （2）因为分式混合运算需要先处理括号内的部分，所以先对括号内的通分计算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解，最后约分化简． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（）代入点求反比例函数解析式，求出点坐标，再代入两点求解一次函数解析式； （）求出直线与轴交点，分割三角形，利用纵坐标为高计算两小三角形面积之和． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， ， 把点代入，得， 解得， ∴， 把点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（）可知一次函数 令，则， 解得， ∵一次函数与轴交于点， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴ ． 18．(1) (2)沙洲的长度约为192米 【分析】（1）由求出的大小，再由三角形外角的性质求出的度数； （2）先求出的大小，由的余弦值求出的长，再由的正切值求出的长． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）在中，， （米）， 在中，， （米）， 答：沙洲的长度约为192米． 19．(1)4 (2)8；8 (3)女生优秀的人数再增加3人才能达到老师提出的目标 【分析】（1）先根据男生条形统计图算出男生人数，再结合全班45人得到女生总人数，利用扇形百分比求各分数段女生人数； （2）根据中位数、众数定义求a，b； （3）先算出原有优秀人数，结合目标优秀率列式求解增加女生优秀人数． 【详解】（1）解：在这次测试中，该班女生有（人）， 所以该班女生得10分的有（人）． （2）解：:男生中位数 男生共20个成绩，中位数是排序后第10、11个数的平均数． 分数从小到大累加： 5（1）、6（2，累计3）、7（6，累计9）、8（3，累计12） 第10、11个分数都是8分； :女生众数 女生各分数占比：5分4%、6分16%、7分16%、8分28%、9分20%、10分16%， 8分占比28%最高，即女生8分人数最多，． （3）解：由题意，可得女生需增加的人数为（人），即女生优秀的人数再增加3人才能达到老师提出的目标． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由直径的性质得出，得出，再由，得出，等量代换得到，即可得出结论； （2）由勾股定理即可求的长． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．(1)甲型号自行车每辆进价为1000元，乙型号自行车每辆进价为800元 (2)共有6种进货方案 【分析】（1）设甲型号自行车每辆进价为x元，乙型号自行车每辆进价为y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进m辆甲型号自行车，则购进辆乙型号自行车，根据题意列一元一次不等式组求m的解集． 【详解】（1）解：设甲型号自行车每辆进价为x元，乙型号自行车每辆进价为y元， 根据题意，得， 解得， 所以甲型号自行车每辆进价为1000元，乙型号自行车每辆进价为800元． （2）解：设购进m辆甲型号自行车，则购进辆乙型号自行车， 根据题意，得， 解得， 又m为正整数， m可以为10，11，12，13，14，15， 共有6种进货方案． 22．(1)； (2)双手会撑在跳马面上 (3) 【分析】（1）根据，的坐标求出；再根据，坐标用待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出坐标，再求出抛物线解析式，令解方程求出的值与和比较即可； （3）根据抛物线解析式求出顶点坐标，再根据判定出抛物线顶点坐标的取值范围，再把代入抛物线的解析式求出即可． 【详解】（1）解：，， ， 设所在直线的表达式为， 把，，代入表达式得：， 解得， 所在直线的表达式为； （2） 解：当时，代入，解得， ， 抛物线可化为， 将代入 得， 解得，， 为正数， ， 抛物线， 当时，，解得（舍去），， ， 双手会撑在跳马面上； （3）解：， 顶点坐标为， ， 的顶点纵坐标大于等于小于等于， 在上， ， 当顶点纵坐标为2.1时，则，解得（舍去）或； 当顶点纵坐标为3.35时，则，解得（舍去）或； 的取值范围为． 23．(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2)2 (3)①证明：如图3，连接， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ② 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，则，再利用证明即可； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，由得到，，证明，得到，求出，，再利用线段的和差以及等量代换即可求解； （3）①连接，利用菱形的性质证明，得到，再证明得到，利用比例的性质得出，再证明得到，结合即可证明结论；②设，结合①可知，推出，，得到，，根据中点的定义列出关于的方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）①略 ②解：由①中的结论得，， 设，则，， ∴，， 由①得，， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $