第一章 二次根式 基础卷2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式核心知识，通过基础巩固、综合应用、思维拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次根式概念、性质及基本运算|选择1-8题考查取值范围、化简等基础考点，填空11-14题强化最简根式等核心技能| |提升层|综合运算与概念辨析|解答17-20题整合加减乘除运算，填空15-16题结合数轴与新定义，培养运算能力| |拓展层|数学思维与实际建模|解答21题测量问题应用勾股定理，23题引入均值不等式，发展应用意识与推理能力|

2025学年八年级数学第二学期单元测试卷 第一章 二次根式 基础卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在二次根式中，a的取值可以是（   ） A． B． C． D．2 2．已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 3．计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 4．若最简二次根式能与合并，则可以是（    ） A．4 B．5 C．7 D．14 5．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 6．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 7．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为宽为的矩形．若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（   ） A． B． C． D． 10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．化简的结果是 ． 12．实数在数轴上的位置如图，化简 ． 13．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 14．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 15．若，则 ． 16．我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．计算： (1) (2)． 18．计算： (1) (2) 19．阅读下列解题过程： 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果： ① ；② _________________ (2)求（为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）． 20．（1）【问题情境】若实数x，y满足，求的值． 下面是小明的部分解题过程： 解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则… 请你将上述过程补充完整； （2）【解决问题】已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 21．某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得． (1)如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号） (2)如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离． 22．在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填__________，_________，__________，_________． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 23．阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：当且仅当时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 (1)已知，则当 时，函数取到最小值，最小值为 ； (2)已知，则自变量x取何值时，函数有最大值，并求出最大值. 2025学年八年级数学第二学期单元测试卷 第一章 二次根式 基础卷 答案 一、选择题 1．【答案】D 解：∵二次根式中，， ∴的取值可以是， 而选项A、B、C均为负数，不满足条件． 故选：D． 2．【答案】B 解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 3．【答案】C 解： ， 故选C． 4．【答案】C 解：，是最简二次根式，且最简二次根式能与合并， ， 故选：C． 5．【答案】C 解：∵， ∴， ∴． 故选：C 6．【答案】B 解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 7．【答案】D 解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 8．【答案】A 解：A、 ，故选项符合题意； B、∵ 在实数范围内无意义，故选项不符合题意； C、∵ ，故选项不符合题意； D、∵ ，故选项不符合题意； 故选：A． 9．【答案】D 解：这根铁丝的周长为， ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为， 故选D． 10．【答案】A 解：∵，，， ∴， 则三角形的面积 ． 故选：A 二、填空题 11．【答案】 解：． 故答案为： 12. 【答案】 解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：． 13.【答案】 解： 故答案为：． 14.【答案】5 解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 15.【答案】 解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16.【答案】80 解：， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 3、 解答题 17．(1) (2)4 18．(1) (2) 19．(1)， (2) 20.【答案】(1)①；② (2) （1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：． 21．【答案】（1）见解析；（2）11或13 解：由题意得，，且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，且， ∴， ∴； ∵a，b分别为等腰三角形的两条边长， ∴①是底，则腰为． ， ∴3，5，5能组成三角形， ∴此三角形的周长为． ②是底，则腰为． ， ∴3，3，5能组成三角形， ∴此三角形的周长为． 综上所述，三角形的周长为11或13． 22．【答案】(1)人工湖两端点之间的距离为 (2)两点间的距离为． 本题考查勾股定理： （1）连接，过点作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）设，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． （1）解：连接，过点作，则由题意，可知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 答：人工湖两端点之间的距离为； （2）设，则：， 在中，， 在中，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； ∴ 答：两点间的距离为． 23.【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 （1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 24．【答案】(1)， (2)，最大值为 （1）解：由题意得：， 当且仅当时，即，函数有最小值， 故答案为． （2）解：， ， 由题意得：，即， 当且仅当时，即时，函数有最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $