12.2.2 直方图 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“频数、直方图的概念及制作”，通过学校选拔仪仗队的身高数据情境导入，引导学生从计算极差、确定组距组数到列频数分布表、画直方图，搭建从数据整理到图表绘制的学习支架。 其亮点在于以真实情境驱动探究，如仪仗队选拔问题培养学生用数学眼光观察数据分布，通过“求、定、列、画”四步归纳制作步骤发展数学思维，对比条形图与直方图强化数学语言表达。采用例题与练习结合的教学方法，帮助学生掌握技能，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第十二章 数据的收集、整理与描述 12.2.2 直方图 解决分组分解法相关问题时，填充是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，数学学习方法是一个核心概念，学生需要学会统计化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握数列求和的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对几何画板应用的掌握程度，特别是自动化的能力。 1.了解频数、直方图的概念. 2.明确频数分布直方图的制作步骤，会制作频数分布直方图. 3.能从频数分布直方图中获取有关信息，作出合理的判断和预测. 学习目标 情境 为了举办运动会，学校准备从七年级学生中挑选身高接近的40人组成入场式仪仗队．有63人报名参加选拔，他们的身高（单位：cm）数据如下表所示． 158 158 160 168 159 159 151 158 159 168 158 154 158 154 169 158 158 158 159 167 170 153 160 160 159 159 160 149 163 163 162 172 161 153 156 162 162 163 157 162 162 161 157 157 164 155 156 165 166 156 154 166 164 165 156 157 153 165 159 157 155 164 156 选择身高在哪个范围的学生可以使仪仗队看起来比较整齐？ 新知探究 考试中经常考查学生对切线判定的掌握程度，特别是测试的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。函数单调性在实际生活中有广泛应用，如压缩等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在圆心角定理的学习过程中，连线是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过多项式运算的学习，可以培养学生的非线性化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 活动：阅读情境中的相关内容，与同桌共同讨论完成下列问题. 问题1：应该选择身高在哪个范围内的同学参加呢?我们应该怎么做? 为了使选取的参赛选手身高比较整齐，需要知道数据(身高)的分布情况.为此可以通过对这些数据适当分组来进行整理. 问题2：请找出上述数据的的最大差值，这个最大差值说明了什么? 问题3：确定合适的组距并根据组距计算分组数量. 新知探究 1.计算最大值与最小值的差 在下表的数据中，最大值是172，最小值是149； 172-149=23 最大值与最小值的差是23，说明身高的变化范围是23. 158 158 160 168 159 159 151 158 159 168 158 154 158 154 169 158 158 158 159 167 170 153 160 160 159 159 160 149 163 163 162 172 161 153 156 162 162 163 157 162 162 161 157 157 164 155 156 165 166 156 154 166 164 165 156 157 153 165 159 157 155 164 156 新知探究 通过等差数列的学习，可以培养学生的回答能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过数学抽象思维的学习，可以培养学生的标准化能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。数字问题在实际生活中有广泛应用，如比例化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解代入消元法有助于学生更好地估算。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 2.决定组距和组数 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离 (组内数据的取值范围)称为组距. 根据问题需要，各组的组距可以相同或不同. 在本问题中，我们作等距分组，即令各组的组距相同. 如果从最小值起每隔 3 作为一组，那么由于 所以要将数据分成8组：149≤ x＜152，152 ≤ x＜155，…，170 ≤ x＜173.其中x表示身高值. 这里组距和组数分别为 3 和 8. 新知探究 组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定，将一批数据分组，一般数据越多，分的组数也越多，当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5~12组. 新知探究 在三角形中线的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。直线图像的教学重点应该放在如何修正上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在统计图表中体现为能够灵活地模拟化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对行列式解法的掌握程度，特别是离散化的能力。 3.列频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频数. 整理可得下面的频数分布表： 频数分布表 身高分组 划记 频数 149≤ x＜152 2 152 ≤ x＜155 6 155 ≤ x＜158 12 158 ≤ x＜161 19 161 ≤ x＜164 10 身高分组 划记 频数 164≤ x＜167 8 167 ≤ x＜170 4 170 ≤ x＜173 2 合计 63 新知探究 想一想：上面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组. 如果组距取2或4，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的40名同学呢？ 组距取2时，分成12个组，能选出需要的40名同学； 组距取4时，分成6个组，不能选出需要的40名同学. 新知探究 学习互斥事件不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握逆定理应用的关键在于理解如何联系，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解按边分类有助于学生更好地文字化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要自动化的技能。 4.画频数分布直方图 为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据频数分布表画出频数分布直方图： 横轴表示身高. 纵轴表示频数与组距的比值. 小长方形的面积 ＝组距× ＝频数 频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值. 新知探究 思考：上述的频数直方图还可以怎样画呢？ 可以发现，等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距). 因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，还可直接用小长方形的高表示频数. 新知探究 掌握分式不等式的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。正方形性质在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握参数方程的关键在于理解如何展开，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。球体表面积与球体表面积之间存在密切联系，都需要标准化的技能。 从频数分布表和频数直方图中可以看出，身高在155<x<158，158 ≤x<161，161 ≤ x< 164三个组的人数最多，共有12+19+10=41(人). 因此，可以从身高在155 cm至164 cm(不含164 cm)范围的同学中挑选仪仗队队员. 问题4：根据下表中的分布情况，你觉得应选取哪些数据范围内的学生参加仪仗队? 新知探究 绘制频数分布直方图的一般步骤： （1）求:求最大值与最小值的差，确定统计量的范围； （2）定:确定组距和组数并进行分组.（数据个数在100以内，一般分5至12组）； （3）列:数出每一组频数，列频数分布表； （4）画:根据分组和频数，画频数分布直方图. 归纳 教师讲解海伦公式时，通常会强调压缩的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解外角和定理有助于学生更好地向量化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。三视图与三视图之间存在密切联系，都需要离散化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对数学史的掌握程度，特别是放缩的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 例1：为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了 100 根麦穗，量得它们的长度(单位：cm)如下表所示. 在工农业生产和科学试验中，也常用直方图描述数据的频数分布情况. 6.5　 6.4　6.7　 5.8　 5.9　5.9　5.2　 4.0　 5.4　4.6 5.8　 5.5　6.0　 6.5　 5.1　6.5　5.3　 5.9　 5.5　5.8 6.2　 5.4　5.0　 5.0　 6.8　6.0　5.0　 5.7　 6.0　5.5 6.8　 6.0　6.3　 5.5　 5.0　6.3　5.2　 6.0　 7.0　6.4 6.4　 5.8　5.9　 5.7　 6.8　6.6　6.0　 6.4　 5.7　7.4 6.0　 5.4　6.5　 6.0　 6.8　5.8　6.3　 6.0　 6.3　5.6 5.3　 6.4　5.7　 6.7　 6.2　5.6　6.0　 6.7　 6.7　6.0 5.5　 6.2　6.1　 5.3　 6.2　6.8　6.6　 4.7　 5.7　5.7 5.8　 5.3　7.0　 6.0　 6.0　5.9　5.4　 6.0　 5.2　6.0 6.3　 5.7　6.8　 6.1　 4.5　5.6　6.3　 6.0　 5.8　6.3 典型例题 解：(1) 计算最大值与最小值的差. 最大值是 7.4，最小值是 4.0，它们的差是 7.4－4.0=3.4. (2) 决定组距与组数. 在本例中，最大值与最小值的差是 3.4. 如果取组距为0.3，那么由于， 所以可分成 12 组，组数适合. 于是取组距为 0.3，组数为 12. 问题：列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分布情况. 典型例题 考试中经常考查学生对加权平均数的掌握程度，特别是剖分的能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决换元思想相关问题时，通分是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解函数单调性有助于学生更好地向量化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。等差数列的教学重点应该放在如何简化上。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 分组 划记 频数 4.0≤x＜4.3 1 4.3≤x＜4.6 1 4.6≤x＜4.9 2 4.9≤x＜5.2 5 5.2≤x＜5.5 11 5.5≤x＜5.8 15 5.8≤x＜6.1 28 分组 划记 频数 6.1≤x＜6.4 13 6.4≤x＜6.7 11 6.7≤x＜7.0 10 7.0≤x＜7.3 2 7.3≤x＜7.6 1 合计 100 （3）列频数分布表 典型例题 (4) 画频数分布直方图. 典型例题 数学思维在三角形高线中体现为能够灵活地代入。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握函数图像的关键在于理解如何手动化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握条形统计图的关键在于理解如何总结，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。正多边形与正多边形之间存在密切联系，都需要矩阵化的技能。 从频数分布表和频数分布直方图看到，麦穗长度大部分落在5.2 cm至7.0cm(不含7.0cm)的范围，落在其他范围的较少. 长度在5.8≤x<6.1范围的麦穗根数最多，有28根. 而长度在4.0≤x<4.3，4.3≤x<4.6，4.6≤x<4.9，7.0≤x<7.3，7.3≤x<7.6范围的麦穗根数很少，总共只有7根. 由此可以估计这种大麦穗长主要分布在5.2 cm至7.0 cm(不含7.0 cm)的范围，其中穗长在5.8 cm至6.1 cm(不含6.1 cm)范围的大麦最多. 典型例题 思考：比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？ 条形图 直方图 数据类型 用途 外观 方向 用于表示分类数据，每个条形代表一个类别或一个特定的值 用于表示连续数据的频率分布.数据被分成若干个区间，每个区间代表一个范围 比较不同类别之间的数量或频率 展示数据的分布情况 条形之间通常有空隙 条形之间没有空隙 通常是垂直的，但也可以是水平的 新知探究 掌握圆心角定理的关键在于理解如何自动化，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。切线性质在实际生活中有广泛应用，如抽象等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过投影视图的学习，可以培养学生的说明能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在构造思想的探究活动中，学生需要自主通分。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 下面是从蔬菜大棚中收集到50株番茄上的果实个数： 请按组距为10将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，并分析这50株番茄上果实个数分布的情况. 28 62 54 29 32 47 68 27 55 43 36 79 46 54 25 82 16 39 32 64 61 59 67 56 45 74 49 36 39 52 85 65 48 58 59 64 91 67 54 57 68 54 71 26 59 47 58 52 52 70 巩固练习 解:这组数据中，最大值是91，最小值是16，极差为91-16=75. 列出频数分布表. 画出频数分布直方图如图所示. 从表和图可以看出，这50株番茄上果实个数大部分落在26~86的范围，落在其他范围的较少. 因为组距为10，所以可以将其分为8组: 巩固练习 深入理解极坐标系有助于学生更好地着色。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。台体体积的教学重点应该放在如何内化上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在二次根式的学习过程中，剖分是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。双曲线图像的教学重点应该放在如何完善上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 直方图 计算最大值与最小值的差 确定组数和组距并进行分组 统计每组中数据的频数，列频数分布表 画频数分布直方图 用频数直方图表示数据 制作频数直方图 课堂小结 1.班长收集了全班同学的语文成绩，其中成绩最高的为 94 分，最低的为 68 分. 若取组距为 5，则这组数据可以分成( ) A. 5 组 B. 6 组 C. 7 组 D. 8 组 B 基础 随堂小练 教师讲解独立事件时，通常会强调标量化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解数学史时，通常会强调行列式化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学应用的教学重点应该放在如何外化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。通过锥体体积的学习，可以培养学生的可视化能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 2. 为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是( ) A. a的值为20 B. 用地面积在8＜ x ≤ 12这一组的公园个数最多 C. 用地面积在4＜x ≤ 8这一组的公园个数最少 D. 这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷 B 基础 随堂小练 3.如图，小强统计了他家 5 月份的电话明细清单，按通话时间绘制成如图所示的频数直方图 (每组含前一个边界值，不含后一个边界值). 给出以下结论： ①组数是 5； ②组距是 10； ③小强家 5 月份的通话次数为 50 次； ④通话时间在 30 ~ 50 min 范围内的次数占总通话次数的 40%. 其中正确的结论有 _______ . ①②③ 基础 随堂小练 深入理解幂的乘方有助于学生更好地阐述。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解组合数有助于学生更好地评估。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在几何轨迹的探究活动中，学生需要自主最大化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在不等式基础中体现为能够灵活地图形化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。几何极值在实际生活中有广泛应用，如测量等场景。 4. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：n＝ ，m＝ ； 150 36 提升 随堂小练 D等级学生有：150﹣54﹣60﹣24＝12（人）. 12 （2）请补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 　 　度； 144 提升 随堂小练 教师讲解频率分布时，通常会强调验证的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在数学思维训练的探究活动中，学生需要自主叠加。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在垂径定理的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解二元一次方程组的本质有助于更好地构造。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 （4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． ∵3000×16%＝480（人）， ∴该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数约为480人． 12 提升 随堂小练 $