第04讲 因式分解法解一元二次方程（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第04讲 因式分解法解一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 因式分解法解一元二次方程 在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为90 m，测量人员说：“正方形土地的面积是矩形土地面积的.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？ 【知识点1 因式分解法解一元二次方程】 1. 定义：对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的__乘积__等于0的形式，再使这两个一次式分别等于__0__，从而实现__降次__，这种解法叫做因式分解法． 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程右边化为__0__； ②将方程左边分解成两个一次因式的__乘积__； ③令每个因式分别为__0__，得两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 3. 用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？ 配方法要先__配方__，再__降次__，公式法直接利用__求根公式__解方程；因式分解法要先将方程一边化为__两个一次因式相乘__，另一边为__0__，再分别使各一次因式等于__0__．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为__一次方程__，即__降次__． 【题型1 不因式分解法解一元二次方程】 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； 【变式1-1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-3】用因式分解法解一元二次方程： (1)； (2)． 【题型2 因式分解法的理解】 【例2】用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．5 C． D．1 【变式2-1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-2】关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【变式2-3】已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【题型3 用指定方法解下列方程】 【例3】按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【变式3-1】用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【变式3-2】用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 【变式3-3】用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【题型4 选择合适方法解一元二次方程】 【例4】用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【变式4-1】用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-2】解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【变式4-3】用适当的方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5 换元法解一元二次方程】 【例5】已知实数满足，则代数式的值是____． 【变式5-1】若x、y为实数，且，则___________． 【变式5-2】关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【变式5-3】关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是____________． 模块三 课后作业 1．解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 2．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 3．已知方程，则的值为（    ） A．1 B． C．0或 D．0或 4．关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 6．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 7．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 8．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．解方程： (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程一定有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为1，当是等腰三角形时，求的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 因式分解法解一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 因式分解法解一元二次方程 在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为90 m，测量人员说：“正方形土地的面积是矩形土地面积的.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？ 【知识点1 因式分解法解一元二次方程】 1. 定义：对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的__乘积__等于0的形式，再使这两个一次式分别等于__0__，从而实现__降次__，这种解法叫做因式分解法． 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程右边化为__0__； ②将方程左边分解成两个一次因式的__乘积__； ③令每个因式分别为__0__，得两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 3. 用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？ 配方法要先__配方__，再__降次__，公式法直接利用__求根公式__解方程；因式分解法要先将方程一边化为__两个一次因式相乘__，另一边为__0__，再分别使各一次因式等于__0__．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为__一次方程__，即__降次__． 【题型1 不因式分解法解一元二次方程】 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； 【变式1-1】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，关键是解题步骤的应用．因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． （）直接通过提取公因式即可分解，是因式分解法的基础应用； （）需要先移项，再将多项式看作整体提取公因式，考察对“整体思想”的运用； （）通过移项构造平方差形式，再利用公式分解，考察公式法与移项技巧的结合； 【详解】（1）解：因式分解，得， ∴，或， ∴，． （2）原方程可变形为， ， ，或， ∴，． （3）原方程可变形为， ， ， ，或， ∴，． 【变式1-2】用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． （1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 【变式1-3】用因式分解法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，即， 则或， 解得，； （2）解：， 因式分解得，即， 则或， 解得，． 【题型2 因式分解法的理解】 【例2】用分解因式法解方程，将左边分解后有一个因式是，则的值是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由于方程左边分解因式后有一个因式是，则是方程的一个根，代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵将方程左边分解后有一个因式是， ∴是方程的一个根， 代入得，， 解得， 故选：D． 【变式2-1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】用因式分解法解方程得出或，再根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得出，进而可求出m的值． 【详解】解：， 解得或． 由题可知， ． 【变式2-2】关于x的一元二次方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为（     ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】C 【分析】先利用因式分解法求得方程的两个根，再根据根为整数、m为正整数的条件即可确定m的值． 【详解】解：， ， ，． ∵ 原方程是关于x的一元二次方程，m为正整数， ∴ ． ∵ 两个实数根都是整数，是整数， ∴为整数，m是正整数， ∴或． 【变式2-3】已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【题型3 用指定方法解下列方程】 【例3】按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 【变式3-1】用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【变式3-2】用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法是解题的关键. （1）开平方法需要转化成的形式，再根据平方根的定义求解，若则方程无解； （2）配方法的关键是要把二次项系数化为以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解; （3）公式法的核心是利用二次公式：，适用于所有有实数根的一元二次方程求解； （4）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为的形式再求解. 【详解】（1）解： 移项，得， ∴ ， 解得． （2） 移项，得， 配方，得，即， ， ∴． （3） ， ， ∴． （4） 把方程左边因式分解，得， 或， ∴． 【变式3-3】用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【题型4 选择合适方法解一元二次方程】 【例4】用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【变式4-1】用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （3）解： 直接开平方得，， ∴或， 解得：，． （4）解： 整理得，， ∴， 解得：，． 【变式4-2】解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：∵， 整理得：， ∴， ∴， ∴，. 【变式4-3】用适当的方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)无实数根 (4)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （3）解：∵，，， ∴， ∴原方程无实数根； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【题型5 换元法解一元二次方程】 【例5】已知实数满足，则代数式的值是____． 【答案】 【分析】将看作整体，利用因式分解法得到的可能取值，再利用一元二次方程根的判别式判断符合题意的取值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 【变式5-1】若x、y为实数，且，则___________． 【答案】3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 【变式5-2】关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 【变式5-3】关于的方程的解是（为常数，），则方程的解是____________． 【答案】 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则方程可转化为，则可得关于的方程的解是，由此即可得． 【详解】解：令，则方程可转化为， ∵关于的方程的解是（为常数，）， ∴关于的方程的解是， ∴或， ∴或， ∴方程的解是， 故答案为：． 模块三 课后作业 1．解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【答案】C 【分析】根据每个一元二次方程的结构特征，判断其最简便的解法。不含一次项的方程优先用直接开平方法；不易因式分解且系数无特殊关系的方程优先用公式法；含相同整体因式的方程优先用因式分解法． 【详解】解：A、直接开平方法，配方法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； B、因式分解法，配方法，直接开平方法三个方程的解法对应均错误，不符合题意； C、直接开平方法，公式法，因式分解法： ① 方程可整理为，直接开平方即可求解，适合直接开平方法； ② 方程，各项系数无明显因式分解特征，用公式法求解更高效，适合公式法； ③ 方程，移项后可提取公因式，适合因式分解法。 该选项完全匹配，符合题意； D、配方法，公式法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； 故选：C． 2．已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 3．已知方程，则的值为（    ） A．1 B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，因式分解法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 解方程得到的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 此时； 当时，， 此时， ∴的值为0或， 故选：D． 4．关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程两根为，则 ，代入已知条件即可得到结果． 【详解】∵关于的一元二次方程的两根为， ∴根据一元二次方程根与因式分解的关系可得 因此代数式因式分解的结果对应选项D． 5．已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 6．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（   ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和方程根的应用．熟练掌握一元二次方程的解法和方程根的应用是解题的关键． 先对给定的方程进行因式分解，求出方程的两个根，再结合已知条件求出的值． 【详解】解： 根据完全平方公式变形为， 根据平方差公式变形为， ∵， ∴，， ， ， 解得， 验证，，满足 ， 故选D． 7．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 8．解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握直接开平方法，因式分解法以及公式法是解题的关键． （1）根据直接开平方法求解一元二次方程即可； （2）先移项，再提取公因式求解即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可； （4）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，； （3）解：， ， ，，， ， ， 解得，； （4）解：， ，，， ， ， 解得，． 9．解方程： (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ，即 或 ∴； （2）解： 或 ∴； （3）解： ∴． 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程一定有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为1，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）根据因式分解法解方程，结合三角形的三边关系解题即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 此方程一定有两个实数根； （2）解：， ， 或， ，； 当时，， 此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去； 当时，即，此情况不成立， 综上，的值为3． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $