考点06 空间几何体的表面积与体积 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何体表面积与体积计算，覆盖基本几何体与组合体，通过多样题型构建从单一计算到综合应用的知识逻辑，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|6|单一几何体表面积体积计算（圆台、圆锥、正方体、正四棱台等）|从基本几何体（柱锥台）到特殊关系（内切球外接球），构建概念应用链| |多选|2|综合考查几何体性质（如圆锥侧面展开与球半径关系）|整合表面积、体积、空间几何关系，强化推理意识| |填空|2|截割与体积比问题|体现几何体分割转化思想，深化体积计算逻辑| |解答|2|组合体（圆锥与圆柱、正六棱柱与圆锥）表面积体积综合|从简单到复杂，培养数学建模与综合运算能力|

考点06 空间几何体的表面积与体积·基础通关 1、 单选题 1. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2. 若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 3. 已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 5. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 6. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为4的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（    ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为3 8. 如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 三、填空题 9. 底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为3，高为4的正四棱锥，则剩余几何体的体积为_____. 10. 在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为______ 四、解答题 11．如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 12．一个组合体由下部的正六棱柱和上部的圆锥拼接而成，圆锥的底面圆恰好是正六棱柱上底面的内切圆.其中正六棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的高为3. (1)求圆锥的底面半径及母线长； (2)求该组合体的体积； (3)求该组合体的表面积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点06 空间几何体的表面积与体积·基础通关 1、 单选题 1. 某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】圆台表面积的有关计算 【详解】已知圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则母线. 所以圆台侧面积为. 2. 若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】计算出圆锥的母线长和底面半径，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由， 设圆锥的底面半径为，则， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 3. 已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，即可求解. 【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为． 设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为． 故选：B. 4. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为，依题意列方程组可解得，然后可得棱台体积. 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形， 设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为， 由题知，可得，， 所以棱台的体积. 5. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（   ） A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1:8 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】已知是AB的中点，是的中点， ， 又， ， ， 即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 6. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不完全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，二十四等边体就是一种半正多面体，如图，棱长为4的正方体截去八个一样的四面体就得到二十四等边体，则该二十四等边体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】先计算正方体体积公式，再计算一个四面体体积，最后用正方体体积减去八个一样的四面体体积，即可得该二十四等边体的体积. 【详解】， ， , 故选：A 二、多选题 7. 已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（    ） A．底面半径为1 B．表面积为 C．体积为 D．外接球与内切球半径比值为3 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据已知有圆锥的母线长为2，底面周长为，进而求得底面半径，再结合圆锥的结构特征、表面积、体积的求法依次判断各项的正误. 【详解】由题意，圆锥的母线长为2，底面周长为， 若底面半径为，则，A对， 表面积为，B错， 由上，圆锥的高，则圆锥体积为，C对， 由上，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接球和内切球半径， 所以圆锥的外接球半径为，内切球半径为， 所以外接球与内切球半径比值为2，D错. 故选：AC 8. 如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】对于A，正三角形，其内切圆半径可根据边长通过特定关系求得；对于B，圆柱的侧面积、体积有相应的计算公式；对于C，组合体的表面积是正三棱柱表面积减去两个圆面积再加上圆柱侧面积，对于D，体积是正三棱柱体积减去圆柱体积.分别计算各选项中涉及的量，然后判断选项的正确性. 【详解】对于A，已知正三棱柱的侧面为边长为的正方形，则正三棱柱底面正三角形的边长. 设正三角形内切圆半径为，根据正三角形内切圆半径公式， 把代入，得，所以A选项错误.   对于B，由A可知圆柱底面半径，正三棱柱的高（即圆柱的高）. 根据圆柱侧面积公式（其中为底面半径，为高）. 把，代入公式，得，所以B选项正确.   对于C，先求正三棱柱两个底面正三角形的面积，把代入得. 正三棱柱三个侧面的面积，两个内切圆的面积，圆柱侧面积（已在B中求出）. 则该几何体的表面积，所以C选项错误.   对于D，正三棱柱的体积，把，代入得. 圆柱的体积，把，代入得. 该几何体的体积，所以D选项正确.   故选：BD. 三、填空题 9. 底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为3，高为4的正四棱锥，则剩余几何体的体积为_____. 【答案】 【难度】0.72 【知识点】台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】由题意知截去的正四棱锥与原正四棱锥的底面边长的比， 而截去的正四棱锥的高为4，所以原正四棱锥的高为8， 所以原正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为， 所以剩余几何体的体积为. 10. 在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】连接，根据题意利用割补法分析求解． 【详解】连接， 由题意可知：，， 则， 所以． 故答案为：． 四、解答题 11．如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. (1)当时，求该艺术品的体积； (2)当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.59 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积. （2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】（1）当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. （2）设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 12．一个组合体由下部的正六棱柱和上部的圆锥拼接而成，圆锥的底面圆恰好是正六棱柱上底面的内切圆.其中正六棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的高为3. (1)求圆锥的底面半径及母线长； (2)求该组合体的体积； (3)求该组合体的表面积. 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.67 【知识点】求组合体的体积、柱体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、棱柱的结构特征和分类 【分析】（1）根据正六边形的内切圆半径即可求得圆锥的底面半径，再利用圆锥的高求得母线即可； （2）分别利用棱柱和圆锥的体积公式计算正六棱柱和圆锥的体积即可； （3）分别利用面积公式计算组合体每个面的面积即可. 【详解】（1）正六边形的内切圆半径（边心距）为， 即圆锥的底面半径为， 圆锥的高，则母线长. （2）该组合体的体积＝正六棱柱的体积+圆锥的体积， ①正六棱柱的体积； ②圆锥的体积. 该组合体的体积. （3）该组合体的表面积=正六棱柱的侧面积+正六棱柱的下底面面积+圆锥的侧面积+正六边形的面积与内切圆的面积之差， ①正六棱柱的侧面积； ②正六棱柱的下底面面积； ③圆锥的侧面积. ④； 该组合体的表面积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $