考点08 立体几何中的空间角与空间距离 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何空间角与距离计算，通过正方体、三棱锥等多样化几何体情境系统考查核心概念，强化空间观念与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|正方体/三棱锥/折叠/正四棱台中的角与距离计算|从基础几何体到空间角（异面直线角、线面角）与距离（点面距）的概念应用| |多选题|2题|正方体截面判断、长方体中角与体积计算|结合空间位置关系深化对几何量的综合推理| |填空题|2题|点面距、正四面体中直线成角|聚焦特殊几何体中距离与角的精准计算| |解答题|2题|正方体综合角、梯形折叠中距离及存在性问题|从单一几何量到多量综合，体现问题解决的推理能力|

考点08 立体几何中的空间角与空间距离·基础通关 一、单选题 1．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质即可求解. 【详解】连接， 由于分别为的中点，故，又，因此, 因此或其补角即为所成角， 由于，故， 因此， 故选：A 2．三棱锥中， PA与面ABC所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、由线面角的大小求值 【分析】根据给定条件，求出三棱锥的高及底面积，再利用锥体体积公式计算即得. 【详解】由，，得，则， 的面积，由PA与平面所成角的余弦值为， 得PA与平面所成角的正弦值为，又， 三棱锥的高，所以三棱锥的体积. 故选：D 3．将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据二面角的几何定义可得为二面角的平面角，进而根据三角形的边角关系求解. 【详解】取中点，连接, 则有， 则为二面角的平面角， 即，则为等边三角形， 故, 过作， 由于，故, 因此， 故, 故选：B 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面距离的概念及性质、求点面距离、证明线面平行 【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点到平面的距离分别转化点到平面的距离求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，平面，平面， 则，由，得， 在中，，则，即点为中点， 又平面，平面，因此平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离，同理点到平面的距离 等于点到平面的距离，连接，过分作的垂线，垂足分别为，如图，    由，得，解得， 在中，，则， 所以点到平面的距离之和为. 故选：B 5．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【难度】0.74 【知识点】求线面角、台体体积的有关计算、正棱台及其有关计算 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 6．如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行、求异面直线的距离 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以    又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 二、多选题 7．正方体的棱长为4，P，Q分别为棱，的中点，F为棱上的动点．设过点P，Q，F的平面截该正方体所得的截面为，则下列命题是真命题的是（    ） A．当时，为四边形 B．当F与D重合时，为五边形 C．当时，的面积为 D．当时，为六边形 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】通过作图，找出截面，根据截面形状可判定选项. 【详解】当时，F与重合，如图①所示，延长交的延长线于M， 连接PM交于N，连接QN，则为四边形，A正确． 当F与D重合时，如图②所示，延长DP交的延长线于G，连接GQ交于H， 延长GQ交的延长线于T，连接DT交于I，连接QI，PH，则为五边形PHQID，B正确． 当时，F为的中点，如图③所示，连接，， 易得为矩形，，则的面积为，C错误． 当时，如图④所示，延长PF交的延长线于R，连接RQ交于V， 延长RQ交的延长线于S，连接PS交于K，连接QK，FV，则为五边形PFVQK，D错误． 故选：AB 8．在长方体中，，，，则（   ） A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、锥体体积的有关计算 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；利用线面角的定义可判断BC选项；利用可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，在长方体中，由题意可知， 故矩形为正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，A对； 对于B选项，因为平面，所以直线与平面所成的角为， 由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，且， 故与平面所成的角为，B对； 对于C选项，过点在平面内作， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，故， 所以与平面所成的角不是，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 三、填空题 9．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点．则 点 到平面的距离为______，到平面的距离为______.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、求直线与平面的距离、求点面距离、证明线面垂直 【分析】取的中点，连接，则为点到平面的距离；先证明平面，则点到平面的距离等于直线到平面的距离；再证明平面平面，然后过点作交直线于点，则为直线到平面的距离，从而可得答案. 【详解】取的中点，连接，则且，又平面， 所以平面，所以为点到平面的距离， 、分别是、的中点，则 又，则， 又平面， 平面，所以平面， 则点到平面的距离等于直线到平面的距离. 由平面，则平面， 又平面，所以平面平面，且平面平面， 则过点作交直线于点，则平面， 即为直线到平面的距离， 由，则， 所以到平面的距离为. 故答案为：；    10．已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求线面角、线面角的概念及辨析 【分析】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心.在正三角形BCD中，根据正三角形中心的性质，可求得当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小.此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角，进而通过计算可求得结果 【详解】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 故答案为：. 四、解答题 11．如图所示，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.61 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】（1）根据正方体的性质，利用几何法求异面直线所成角； （2）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求线面角； （3）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求面面角． 【详解】（1）由题意得， 或其补角即为与所成的角， 在正方体中，平面， 平面，， 又，且， 平面， 平面， ， 在中，，， ， ， 即与所成角的度数为． （2）如图所示，过点O作于点E，连接， 平面平面，且交线为， 平面，从而即为与平面所成的角， 在中，，， ， 即与平面所成角的正切值为． （3）由(1)知，平面， 又平面， 平面平面， 即平面与平面所成二面角的大小为． 12．如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在 【难度】0.4 【知识点】求直线与平面的距离、求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由线面垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （2）利用垂直找到距离，解直角三角形求得距离； （3）设，由线面垂直得到距离，由距离为求得的值. 【详解】（1）作于，由平面，得， ，，平面，则， 又，平面，即的长为点到平面的距离， 也即直线到平面的距离，在等腰直角三角形中，， 直线到平面的距离为； （2） 作于，则的长即为点到的距离， 在中，，，， ， 即点到直线的距离为； （3） 在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. 证明如下: 假设在线段上存在一点，使点到平面的距离为， 设， 过于，在中，， 可得，，则， 由（2）知，，若存在满足题意的，则只需平面即可， ，，在中，由余弦定理可得， 若，在中， 即，解得， 即在上存在一点，当时，， 又，，平面，得， 又，，平面， 即点到平面的距离为，满足条件. 故在线段上存在一点，满足，使点到平面的距离为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 立体几何中的空间角与空间距离·基础通关 一、单选题 1．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．三棱锥中， PA与面ABC所成角的余弦值为，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 3．将边长为1的正方形，沿对角线折成的二面角，则此时顶点到的距离是（   ） A．1 B． C． D． 4．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 5．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 6．如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．正方体的棱长为4，P，Q分别为棱，的中点，F为棱上的动点．设过点P，Q，F的平面截该正方体所得的截面为，则下列命题是真命题的是（    ） A．当时，为四边形 B．当F与D重合时，为五边形 C．当时，的面积为 D．当时，为六边形 8．在长方体中，，，，则（   ） A． B．与平面所成的角为 C．与平面所成的角为 D．三棱锥的体积为 三、填空题 9．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点．则 点 到平面的距离为______，到平面的距离为______.    10．已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 四、解答题 11．如图所示，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成二面角的大小． 12．如图，在梯形中，，平面，且. (1)求直线到平面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $