考点05 复数及其运算 能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，通过多题型分层训练提升运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/3|纯虚数判断、充要条件分析|从复数定义出发，构建实部虚部与概念属性的关联| |几何意义|单选2/填空9|复平面位置判断、模的计算|建立复数与复平面点的对应关系，体现数形结合| |运算应用|单选4/6、多选7/8|复数四则运算、共轭复数应用|以代数运算为核心，延伸至模与共轭的性质推导| |综合解答|解答11/12|复数方程、参数范围问题|整合概念、运算与几何意义，形成问题解决逻辑链|

考点05 复数及其运算·能力提升 一、单选题 1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 5．设虚数和是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 二、多选题 7．记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为实数或纯虚数 三、填空题 9．已知复数满足，则______. 10．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 四、解答题 11．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 12．已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 复数及其运算·能力提升 一、单选题 1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】先根据复数的乘法及除法化简，再结合纯虚数定义列式求出复数，最后应用复数的模长公式计算求解. 【详解】依题意，， 由是纯虚数，得所以， 所以，所以. 故选：C. 2．若，则复数在复平面上的对应点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的除法运算 【详解】根据题意知，得， 则复数的对应点为，位于第三象限． 3．设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的模、判断命题的必要不充分条件 【分析】首先根据复数代数形式的运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，整理得，解得或； 因为是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．若复数的实部大于0，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】设出的代数形式，再利用复数乘法运算及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得， 则，因此，而，解得， 所以. 故选：A 5．设虚数和是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】根据实系数的一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，得，设虚数，且，利用复数相等求得，再利用根与系数的关系，即可求出结果． 【详解】因为方程的两根互为共轭复数， 设虚数，且， 所以． 所以，所以， 所以方程的两根为， 所以， 所以． 故选：D． 6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】借助复数运算法则先计算出后利用复数模长公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 则，故，故. 二、多选题 7．记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】A选项，根据模长公式求出A正确；B选项，利用复数乘方运算法则得到，利用加法法则得到；C选项，计算出，得到；D选项，在B基础上，得到，D错误. 【详解】A选项，，A正确； B选项，， 故，B正确； C选项，， 故，C正确； D选项，，，D错误. 故选：ABC 8．关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为实数或纯虚数 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】对于A，举反例说明即可；对于B，假设，根据复数的乘法运算及共轭复数判断即可；对于C，举反例说明即可；对于D，根据复数的模的求法列出方程，化简判断即可. 【详解】对于A，当时，，因为，所以，故A错误； 设，且， 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，取，满足0，但不满足，故C错误； 对于D，因为，，， 所以，化简可得，则且， 此时为实数或纯虚数，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．已知复数满足，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的相等 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，故. 10．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 _____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模 【分析】令，代入方程，利用复数相等，求出，即可求得. 【详解】由题意，令， 则， 展开并整理得， 所以，解得或， 则或， 当时，；当时，, 所以. 故答案为： 四、解答题 11．已知复数. (1)求z的共轭复数； (2)求的实部和虚部； (3)若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)实部为 ，虚部为 (3) 【难度】0.83 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）先根据虚数单位的幂次规律化简 ，再根据共轭复数的定义求出 ； （2）先求出 ，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部； （3）先求出 的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解 的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 所以 . 所以 . （2）由（1）知 ，则 ， 所以 的实部为 ，虚部为 . （3）已知 ，则， 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ， 因为该点位于第四象限，则， 所以不等式组的解集为 ，即 的取值范围是 . 12．已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的相等 【分析】（1）根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【详解】（1）因为，则，所以. （2）将代入方程得，整理得到， 则，得． （3）设，则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $