第1章 反比例函数全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）新九年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版新教材反比例函数单元提高卷，24题覆盖图像性质、几何综合、实际应用，融合各地模拟题，适配暑假能力提升，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/40|图像象限与参数（题1）、函数表达式判断（题2）|基础巩固，中考模拟题梯度设计| |填空|6/30|矩形中点与面积（题12）、等腰三角形与双曲线（题13）|几何直观与空间观念，综合应用突出| |解答|8/80|压强反比例关系（题17）、消毒药物含药量模型（题22）|实际情境建模，运算推理能力，关联真题趋势|

第1章 反比例函数全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．反比例函数的图像在第二，四象限，则m的值是（   ） A． B．1 C．或1 D．或 2．（2026·浙江舟山·二模）已知某函数图象经过，，三个点，则该函数表达式可能为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·二模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 4．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，已知的边在轴上，，点A落在反比例函数的图象上，斜边上的中线交y轴于点E，若的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B．6 C． D．8 5．（2026·安徽六安·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点．若点是的中点，则的值等于多少？（    ） A． B． C．1 D． 6．（25-26八年级下·河南开封·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，线段两端点分别在轴负半轴、轴负半轴上，的面积为2，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上．若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点，C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点E，交边于点D，连接并延长，交的图象于点F，连接，，，若，，则k的值等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 10．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，线段是直线的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标是8，曲线是双曲线的一部分，已知点C的横坐标为4，由点C开始不断重复的过程，形成新的函数图像，若点在新的函数图像上，则符合条件的点P共有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 12．（2026·江苏盐城·二模）如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是_____． 14．（25-26九年级上·江西南昌·期末）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 15．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 16．（2026·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 三、解答题 17．（8分）（25-26八年级下·河南周口·期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：）是它的受力面积S（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)求p关于S的函数关系式． (2)当时，求受力面积S的变化范围． 18．（8分）（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为． (1)求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标； (2)若点B与点D关于原点对称，求的面积． 19．（8分）（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 20．（10分）（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 21．（10分）（2026·甘肃定西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 22．（12分）（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 23．（12分）（2026·江西抚州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标满足，以为边在的下方作正方形，直线与交于点，将沿折叠，点的对应点为．连接，并延长交于点，连接． (1)求的度数． (2)若的面积是，求的值． 24．（12分）（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． (1)m与n的关系是_________； (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．反比例函数的图像在第二，四象限，则m的值是（   ） A． B．1 C．或1 D．或 【答案】A 【分析】根据反比例函数定义，得到，求得，再根据反比例函数图形性质，得到，即可确定m的值． 【详解】解：为反比例函数， ， ，， 又反比例函数的图像在第二，四象限， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，解题关键是掌握：反比例函数的一般形式为或，，图像过一、三象限，，图像过二、四象限． 2．（2026·浙江舟山·二模）已知某函数图象经过，，三个点，则该函数表达式可能为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三个点的坐标特征，得出函数图象关于原点对称，且当，y随x的增大而增大． 【详解】解：根据函数图象经过，， 可以得到，此函数图象关于原点对称， 根据函数图象经过， 及， 可以得到，此函数图象，当，y随x的增大而增大， 对于选项A，的图象，当，y随x的增大而减小，函数图象关于原点对称，故选项A不符合题意； 对于选项B，的图象，当，y随x的增大而减小，函数图象关于原点对称，故选项B不符合题意； 对于选项C，的图象，当，y随x的增大而增大，函数图象关于原点对称，故选项C符合题意； 对于选项D，的图象，当，y随x的增大而增大，函数图象关于y轴对称，故选项D不符合题意． 3．（2026·河南周口·二模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】利用反比例函数的性质，时图象在第二、四象限，每个象限内y随x增大而增大，结合两点横坐标的大小关系，分象限讨论求解a的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且每个象限内y随x的增大而增大， ∵，即， 若两点在同一象限，根据y随x增大而增大，可得，与已知矛盾， ∴两点不在同一象限，即点P在第二象限，点Q在第四象限， 可得不等式组，， 解得， 故选：C． 4．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，已知的边在轴上，，点A落在反比例函数的图象上，斜边上的中线交y轴于点E，若的面积为4，则k的值是（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】连接、，根据题意证得，即可根据反比例函数系数k的几何意义求得． 【详解】解：连接、， ∵为的斜边上的中线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 5．（2026·安徽六安·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点．若点是的中点，则的值等于多少？（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由反比例函数的图象经过点得到反比例函数的解析式，再根据由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点得到点的坐标，从而即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 反比例函数的解析式为，的中点坐标为． ∵由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点， 点的横坐标为1，则点的坐标为． 线段向上平移了个单位，即的值为． 6．（25-26八年级下·河南开封·期中）一次函数和在同一平面直角坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式得到其函数图象一定过定点，再根据中的k与的一次项系数相同，结合图象解答即可． 【详解】解：∵解析式， ∴的图象一定过定点， ∴排除C，D选项； 对于A、B，双曲线都经过第一、三象限，，对于直线，只有选项A满足，符合题意． 7．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出矩形边界上的整点（含矩形顶点）共10个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形边界上的整点有，共10个， 把每个点代入得到k的值从小到大分别为： ， ∵反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分， ∴图象下方有5个整点，图象上方有5个整点， ∴大于第5个值3，小于第6个值4， ∴． 8．（2026·河北邢台·模拟预测）如图，线段两端点分别在轴负半轴、轴负半轴上，的面积为2，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上．若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，设点，则，由旋转得到，，，结合图形面积的计算列式求解即可． 【详解】解：将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，点的横坐标是点的横坐标的倍， ∴设点，则， 如图所示，过点F作轴，过点E作轴交于点D， ∴，， 根据旋转得到，，， ∵的面积为2， ∴， 解得，． 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在原点，C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象交边于点E，交边于点D，连接并延长，交的图象于点F，连接，，，若，，则k的值等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质、正方形的性质、三角形与梯形面积的计算，解题的关键是利用线段比例设出边长，结合反比例函数的几何意义，通过割补法求三角形面积，建立关于的方程求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ， ，，则． 将代入，得． 在上，横坐标为，代入，得， ． 与关于原点对称， ， ． 由割补法， ． ， ，解得， ． 故选：． 10．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，线段是直线的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标是8，曲线是双曲线的一部分，已知点C的横坐标为4，由点C开始不断重复的过程，形成新的函数图像，若点在新的函数图像上，则符合条件的点P共有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先求出点，，即可求出双曲线的解析式为，从而求出，即可得出新的函数图像是周期为4的分段函数，由图像的平移可得，，根据点，得出所有P都在直线上，且直线过点，由此得出直线在上方，画出图像，根据图像可得直线与新的函数图像有6个交点，即可求解． 【详解】解：在直线中， 令得，即， ∵B在直线上，纵坐标为8， 代入得，解得：，即， ∵B在上， 则， 故双曲线为， ∵C横坐标为4，代入双曲线得，即， ∵函数重复， ∴新的函数图像是周期为4的分段函数， 由图像的平移可得， ， ∵点， 令，则， 代入得， 即所有P都在直线上， 令得， ∴直线过点， 当时，， ∵， 故直线在上方， 画出图像如图： 根据图像可得直线与新的函数图像有6个交点， 即若点在新的函数图像上，则符合条件的点P共有6个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）在反比例函数中，若，则y的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，结合x的取值范围，通过不等式变形求出y的取值范围． 【详解】∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， 又∵当时，，当时，， ∴当时，． 12．（2026·江苏盐城·二模）如图，反比例函数经过矩形的边中点，则矩形面积为________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，因为在反比例函数上，根据反比例函数性质可得．因为是矩形边的中点，所以矩形的，．根据矩形面积公式计算面积即可． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵在反比例函数上， ∴． ∵是矩形边的中点， ∴，． ∵矩形面积， ∴代入，得． 13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4），四边形ABCO为矩形，点P为线段BC上的一动点，若△POA为等腰三角形，且点P在双曲线y=上，则k值可以是_____． 【答案】10或12或8． 【分析】当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标，然后把P的坐标代入线y=，即可求得k的值． 【详解】∵点A的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，4）， ∴当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）； 当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP==3，P的坐标是（3，4）； 当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，P的坐标是（2，4）． ∵点P在双曲线y=上， ∴k=2.5×4=10或k=3×4=12或k=2×4=8， 故答案为10或12或8． 【点睛】本题考查了对矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及反比例图象上点点坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出所有符合条件的P的坐标是解题的关键． 14．（25-26九年级上·江西南昌·期末）某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 15．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 【答案】 【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象和性质以及经过原点，得到点的坐标，根据为线段中点，得到点的坐标，以及，根据建立关于的等式，得到的值． 【详解】解：如图，连接， 设点， ∵均在反比例函数的图象上，且经过原点， ∴关于原点对称，且， ∴， ∵， ∴为线段中点， 设，则，且，即， 又∵均在上， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点到线段和线段的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得：，即． 16．（2026·广东深圳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，先求出，所以，则，则有，得出，所以反比例函数解析式为，同理可得：，，即，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵直线向上平移得到直线， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴的值为． 三、解答题 17．（8分）（25-26八年级下·河南周口·期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：）是它的受力面积S（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)求p关于S的函数关系式． (2)当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，依据图象上点的坐标可以求得p与S之间的函数关系式； （2）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【详解】（1）解：设， ∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴， ∴p与S的函数关系式为． （2）解：令，则， 令，则， ∴当时，受力面积S的变化范围为． 18．（8分）（25-26九年级下·江西赣州·期中）已知反比例函数与一次函数交于A，B两点，点B的纵坐标为． (1)求一次函数解析式及与y轴交点C的坐标； (2)若点B与点D关于原点对称，求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）由点B的纵坐标为，求得点B的坐标为，再代入，求得一次函数解析式，令，则，即可求得点C的坐标； （2）根据点B与点D关于原点对称，得到，推出即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得， 把代入中，得， ∴， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∴． 19．（8分）（2026·安徽合肥·二模）设函数，（），当时，函数的最大值是，函数的最小值是． (1)求和的值； (2)直线与函数，的图象交于两点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）利用反比例函数的性质解答即可求解； （）求出点的坐标，即得到线段的长，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在每个象限内，随着的增大而减小，随着的增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ∴，， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：如图， 由（）可得，，， 当时， ，， ∴，， ∴， ∴． 20．（10分）（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 21．（10分）（2026·甘肃定西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)y轴上有一点 P，当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时，求点 P 的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）由B的坐标，求出反比例函数解析式，再求出A点坐标，最后待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出M，N的坐标，再分和两种情况（当时，不能构成四边形；当时，O、P、A、B为顶点的四边形是凹四边形，均不符合题意），表示出四边形面积，计算即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：设， 由得，当时，，当时，， ， 当时， ， ， ， 点的坐标为， 如下图， 当时， ， ， 点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 22．（12分）（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3)此次消毒有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； （3）解：此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 23．（12分）（2026·江西抚州·一模）如图，点在反比例函数的图象上，且点的横坐标满足，以为边在的下方作正方形，直线与交于点，将沿折叠，点的对应点为．连接，并延长交于点，连接． (1)求的度数． (2)若的面积是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用折叠性质得、垂直平分，结合正方形得,推出,通过角度等量代换，结合等腰三角形内角关系推导； （2）设，构造全等，利用正方形坐标变换得坐标，根据垂直平分线段求坐标，结合已知条件求解． 【详解】（1）解：折叠性质：沿折叠得到， ，垂直平分线段，即， 四边形是正方形， ，， 由、，得， 为等腰三角形，， 设，则， 在等腰中：， 由折叠，平分， ， ， ，， 代入：． （2）解：设点坐标：设， 过点作轴，过点作轴， ， ， 又， ， ， ， 设， 又垂直平分线段，直线与交于点， 则中点在上， 有，解得满足要求的为， 则，， 即轴， ， 又的面积是， ． 24．（12分）（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点． (1)m与n的关系是_________； (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)；反比例函数表达 (3)存在， 【分析】（1）将点，代入，可得，从而得到m与n的关系； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，得到，然后结合点的坐标，可以得到，结合（1）可得，从而推出点，最后求得答案； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据对称，可得，此时的值最小，最小值为，接着利用待定系数法求得直线的表达式，然后求得其与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，）的图象经过点，两点， ， ， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：     点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴反比例函数的解析式为：； （3）解：存在，，理由如下： 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示： ∴， ∴，此时的值最小，最小值为， 由（2）可知，， ∴， 设直线的表达式为代入点，， ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，三角形全等的判定与性质，轴对称图形的特征，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $