精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区第二中学中考模拟预测数学试题

2026年通辽市科尔沁区第二中学中考模拟预测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，0，2，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴最小的数是． 2. 在2025赛季蒙超联赛（内蒙古足球超级联赛）中，通辽市足球队凭借出色的表现吸引了大量球迷到场支持．其中，10月18日主场对阵呼和浩特市的比赛中，现场座无虚席，经官方统计，现场观赛人数超过4万人．将数据“4万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万， 万． 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，再根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ， ． 4. 小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为 ，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 5. 若函数的图象上有点，点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式可以求出，的值，再比较大小即可． 【详解】解：将点代入中，得， 将点代入中，得， ∵， ∴． 6. 公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅的电路原理图，压力传感器的阻值随其所受压力的变化关系如图（2）所示，电流与压力传感器的阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（ ） A. 地磅所受的压力越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值是 C. 当时，检测装置会自动报警 D. 当地磅受到压力时，且的阻值小于时，检测装置不会自动报警 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用；根据函数图象与电流与压力传感器的阻值的关系式即可作出判断． 【详解】解：由图2知，地磅所受的压力越大，的阻值越小，故选项A说法正确； 由图2知，当时，的阻值是，故选项B说法正确； 当时，由图2知，，由图3知，，则检测装置会自动报警，故选项C说法正确； 由图3中，得，结合图2知，压力F增大，此时检测装置会自动报警，故选项D说法错误； 故选：D． 7. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对称性可得，点与点关于直线对称，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形为菱形， ． ，， ∴所在直线的解析式为， ∴点与点关于直线对称， ∵， ． 8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质依次排除选项即可． 【详解】解：由图象，可知，，对称轴为直线， ， 即，故②正确； ，故①正确； 由图象，可知当时，，故③错误； 若为任意实数，当时，， 当时，有最小值，最小值为， ， ， ，故④正确； 方程的两根可看作是直线与二次函数的交点横坐标， 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象也过点， ∴方程的两根分别为，， ，故⑤错误． 综上所述，正确的有①②④． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 某绘画程序根据描述生成图片，生成一张基础图片需消耗p个计算单元，生成一张高清图片消耗的计算单元数量是生成一张基础图片的3倍多2个计算单元．则生成一张高清图片和两张基础图片共消耗______________个计算单元．（用含p的式子表示） 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，得生成一张高清图片消耗个计算单元， ∴生成一张高清图片和两张基础图片共消耗个计算单元． 10. “服务社会，提升自我”，赤峰市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学(一男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是______________． 【答案】 【解析】 【详解】列表如下： 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (女，男) (女，女) 女 (女，男) (女，女) 由表格，可知共有6种等可能的结果，其中恰好是一男一女的结果有4种， ∴恰好是一男一女的概率为． 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为______________m． 【答案】 【解析】 【分析】坡比即为坡角的正切值，据此求出，再利用勾股定理求出坡面的长度． 【详解】解：在中，，， ， ． 12. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】因为，，，所以可推导和的等量关系，这是判断全等的突破口．根据已知，且两个三角形都有直角，用判定和全等．那么对应边，，再根据代入数值计算即可． 【详解】解：，， ． ， ，， ． 在和中， ， ，． ，， ，， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为零次幂、二次根式化简、绝对值运算属于实数混合运算的基本组成，所以先分别计算、化简、去掉的绝对值符号，再合并同类项得到结果． （2）因为分式混合运算需要先处理括号内的部分，所以先对括号内的​通分计算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解，最后约分化简． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 14. 为深入营造书香校园文化，激发学生的阅读兴趣与表达热情，某校开展了一系列形式多样、内容丰富的读书分享活动．某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在九年级随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此次调查中，一共抽取了______________名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“国防”的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请你估计有多少名学生最想阅读“农业”类书籍？ 【答案】（1） （2）,扇形统计图中“国防”的圆心角度数为 （3）约有名学生最想阅读“农业”类书籍 【解析】 【分析】（1）用教育类人数除以对应占比即可求出抽取总人数； （2）用总人数减去其余四类人数可得国防人数，据此补全条形图，用乘国防人数占比即可算出对应圆心角度数； （3）用样本中农业类占比乘全校总人数，即可估算全校对应人数． 【小问1详解】 解：根据题意，得（名）． 【小问2详解】 解：（名）， 补全条形统计图略 ， 答：扇形统计图中“国防”的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：（名）， 答：约有名学生最想阅读“农业”类书籍． 15. 某文具店经销甲、乙两款笔记本，今年二、三月份的销售情况如下表所示： 月份 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 30 40 960 三月份 50 20 1040 （1）求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； （2）若甲款笔记本每本进价为12元，乙款笔记本每本进价为9元，文具店预计用不多于834元且不少于828元的资金购进这两款笔记本共80本，有几种进货方案； （3）为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中购进的笔记本全部售出，且所有的方案获利相同，求的值． 【答案】（1）甲款笔记本的销售单价是16元，乙款笔记本的销售单价是12元 （2）共有3种进货方案 （3）当时，（2）中所有的方案获利相同 【解析】 【分析】（1）设甲款笔记本的销售单价是元，乙款笔记本的销售单价是元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出不等式组，即可求解； （3）设购进甲款笔记本本，根据题意，列出关于的代数式，再由总获利使（2）中所有的方案获利相同，可得到的值． 【小问1详解】 解：设甲款笔记本的销售单价是元，乙款笔记本的销售单价是元， 由题意，得，解得． 答：甲款笔记本的销售单价是16元，乙款笔记本的销售单价是12元． 【小问2详解】 解：设购进甲款笔记本本， 由题意，得， ． 为36，37，38． ∴共有3种进货方案． 【小问3详解】 解：设购进甲款笔记本本， 则总获利为， ∵要使获利相同， ∴总获利与的取值无关， 即当时，（2）中所有的方案获利相同． 16. 如图，是的外接圆，，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接并延长，交于点，连接，． ， ． 又． ∴垂直平分，即． ， ， ． ∵是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到是的切线； （2）由（1）得，，根据勾股定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 在中，由勾股定理，得， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理，得， 解得， 即的半径为． 17. 如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇到挡板后会反弹，反弹后弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度为． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由； （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E的横坐标的取值范围是______________． 【答案】（1） （2）①点A的横坐标为； ②反弹后的小球不经过点，理由如下： 由题意得，反弹后抛物线顶点的纵坐标为，二次项系数不变， ∴设反弹后抛物线的解析式为， ∵过点， ， ， ， 解得（不合题意，舍去），， ， 当时，， ∴反弹后的小球不经过点． （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式，代入原点坐标求解系数，即可得到抛物线L的解析式； （2）① 令抛物线L解析式中，解一元二次方程，舍去零解得到点A的横坐标； ② 反弹后抛物线开口方向和大小与L相同，故二次项系数相同，已知反弹后最大高度即顶点纵坐标，结合过点A，设反弹后抛物线顶点式，联立顶点纵坐标条件与过点A的条件求出解析式，代入点验证是否成立； （3）的交点得到点D坐标，利用反弹的对称性确定反弹后抛物线的开口方向、二次项系数，结合最大高度设出反弹后抛物线的解析式，联立挡板方程求出反弹后抛物线与挡板的交点，根据反弹后仍落在挡板上的条件确定​的范围． 【小问1详解】 解：设抛物线L的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴抛物线L的解析式为； 【小问2详解】 ①当时，， 即， ∴， 解得（舍去），， ∴点A的横坐标为； ②略 【小问3详解】 由题意，联立得 解得（不合题意，舍去），， ∴点D的坐标为， 设反弹后的抛物线解析式为， ∵经过点， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴， 联立 解得（不合题意，舍去），， ∴反弹后弹球落点与挡板交点的横坐标为20， ∴挡板端点E的横坐标的取值范围是． 18. 在中，，，点为直线上的一个动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）【观察猜想】如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系为______________； ②，，之间的数量关系为______________； （2）【数学思考】如图2，当点在射线上时，，，之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）【拓展延伸】如图3，当点在射线上时，延长交于点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）①；② （2），证明如下： ∵四边形是正方形， ，． ， ， ， ． 在与中， ， ， ． ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得到，证出，由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论； ②由全等三角形的性质得到，进而得出结论； （2）推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论． （3）过点作于点，过点分别作于点，于点，证，推出，，推出，，由是等腰直角三角形，推出，推出，再由勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：①， ∵四边形是正方形， ，． ， ， ， ． 在与中， ， ， ． ， ， 即． ②， ， ． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点分别作于点，于点， ，，， ，， ，， ． ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ， ． ，，， ∴四边形是矩形， ，． ， ， ． 在与中， ， ， ，， ，． ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年通辽市科尔沁区第二中学中考模拟预测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，0，2，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 在2025赛季蒙超联赛（内蒙古足球超级联赛）中，通辽市足球队凭借出色的表现吸引了大量球迷到场支持．其中，10月18日主场对阵呼和浩特市的比赛中，现场座无虚席，经官方统计，现场观赛人数超过4万人．将数据“4万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象上有点，点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 公路部门往往通过地磅检测汽车载重情况．如图（1）是某跨学科学习小组的可视化地磅的电路原理图，压力传感器的阻值随其所受压力的变化关系如图（2）所示，电流与压力传感器的阻值的关系如图（3）所示．下列说法不正确的是（ ） A. 地磅所受的压力越大，的阻值越小 B. 当时，的阻值是 C. 当时，检测装置会自动报警 D. 当地磅受到压力时，且的阻值小于时，检测装置不会自动报警 7. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ②④⑤ D. ②③④ 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 某绘画程序根据描述生成图片，生成一张基础图片需消耗p个计算单元，生成一张高清图片消耗的计算单元数量是生成一张基础图片的3倍多2个计算单元．则生成一张高清图片和两张基础图片共消耗______________个计算单元．（用含p的式子表示） 10. “服务社会，提升自我”，赤峰市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学(一男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是______________． 11. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，，则坡面的长度为______________m． 12. 如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为______________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简：． 14. 为深入营造书香校园文化，激发学生的阅读兴趣与表达热情，某校开展了一系列形式多样、内容丰富的读书分享活动．某校决定举办以“科教兴国”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在九年级随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）此次调查中，一共抽取了______________名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“国防”的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请你估计有多少名学生最想阅读“农业”类书籍？ 15. 某文具店经销甲、乙两款笔记本，今年二、三月份的销售情况如下表所示： 月份 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 30 40 960 三月份 50 20 1040 （1）求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； （2）若甲款笔记本每本进价为12元，乙款笔记本每本进价为9元，文具店预计用不多于834元且不少于828元的资金购进这两款笔记本共80本，有几种进货方案； （3）为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金元，要使（2）中购进的笔记本全部售出，且所有的方案获利相同，求的值． 16. 如图，是的外接圆，，． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 17. 如图1，弹球从原点O以一定的方向抛出，弹球抛出的路线是抛物线L的一部分，若弹球到达最高点的坐标为．弹球遇到挡板后会反弹，反弹后弹球的运动轨迹仍是抛物线的一部分，且开口大小和方向均与L相同． （1）求抛物线L的解析式； （2）如图1，弹球在x轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度为． ①求点A的横坐标； ②反弹后的小球是否经过点？请说明理由； （3）如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数刻画，弹球落到挡板上的点D处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点E的横坐标的取值范围是______________． 18. 在中，，，点为直线上的一个动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）【观察猜想】如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系为______________； ②，，之间的数量关系为______________； （2）【数学思考】如图2，当点在射线上时，，，之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）【拓展延伸】如图3，当点在射线上时，延长交于点，连接．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $