第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学新教材苏科版

第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘法 同学们，今天我们来观察一只在枯井里的小蜗牛.我们规定：向上爬为正，向下滑为负.第一阶段：这只蜗牛很努力，它每天向上爬 2 厘米（记作 +2）.那么，3 天后（记作 +3），它的位置发生了什么变化？ 很明显，它向上爬了 6 厘米.算式是： 第二阶段：可是，井壁太滑了.如果蜗牛每天向下滑 2 厘米（记作 -2）.那么，3 天后（记作 +3），它的位置变化是怎样的？它肯定是在更下面了，低了 6 厘米.算式是： 第三阶段：时光倒流,现在，最烧脑的来了！假设蜗牛依然是每天向下滑 2 厘米（-2）.请问：3 天前（记作 ），它在哪里？ 大家想一想：它一直在往下滑，那么"3天前"，它肯定在比现在更高的地方，对吧？高多少呢？高 6 厘米！也就是 +6.这时候算式就是： 总结发现： 向下滑（负）乘以 过去（负），结果竟然是在上方（正）！ 这就是有理数乘法中神奇的"负负得正"！ 【知识点1 有理数的乘法】 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．0与任何数相乘都得0． 2. 符号法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶数时，积为正数． 【知识点2 有理数乘法运算律】 1. 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示： 2. 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示：． 乘法交换律和结合律可以推广为三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中任意几个数相乘，积都不变． 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示：． 乘法分配律对于两个以上的数相加的情形仍然成立，如． 【知识点3 倒数】 一般地，如果1，那么ɑ和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）计算：（　　） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】解：． 【变式1-1】如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（    ） A．都是负数 B．都是正数 C．一正一负，且负数的绝对值大 D．一正一负，且正数的绝对值大 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘法和加法，根据有理数乘法法则可得这两数一正一负，再根据有理数的加法法则即可得出答案．关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数． 【详解】解：∵两个数的积为负数， ∴这两数一正一负， ∵它们的和为负数， ∴负数的绝对值大． 故选：C． 【变式1-2】若，，且则的值为（    ） A．5或-5 B．-1或1 C．5或-1 D．1或-5 【答案】B 【详解】根据绝对值的意义和性质可知x、y的值，代入即可求出x＋y的值． 解：因为|x|＝2，|y|＝3， 所以x＝±2，y＝±3，又xy＜0， 所以当x＝2，y＝−3时，x＋y＝−1； 当x＝−2，y＝3时，x＋y＝1． 则x＋y＝-1或1， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记绝对值具有非负性，绝对值是正数的数有两个，且互为相反数． 【变式1-3】，3，4，这四个数中，任取三个数相乘，所得的积最小是 ________，所得的积最大是 _______． 【答案】 40 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较大小．四个数中有2个正数，2个负数，2个正数和负数中较小的数相乘，所得的积最小；两个负数和正数中较大的数相乘，所得的积最大，由此求解即可． 【详解】解：，3，4，这四个数中： 3，4，相乘时，所得的积最小：， ，4，相乘时，所得的积最大：， 故答案为：，40． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【变式2-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2-2】（25-26七年级上·青海海南·期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的性质，若多个有理数的积为0，则至少有一个因数为0，据此即可解答． 【详解】解：∵2025个有理数相乘所得的积为0， ∴这2025个数中至少有一个数为0． 故选：B． 【变式2-3】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）绝对值不大于3.5的所有负整数的积是___________． 【答案】 【分析】根据题意得绝对值不大于的所有负整数有，然后再根据有理数的乘法运算法则计算即可． 本题主要考查了绝对值，有理数的大小比较，有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的大小比较方法和有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：绝对值不大于的所有负整数有， 它们的积为：． 故答案为： ． 【题型3 有理数的乘法运算律】 【例3】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）在计算时，运用下列哪种运算律可以避免通分（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查了乘法分配律，根据乘法分配律即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故运用乘法分配律可以避免通分， 故选：C ． 【变式3-1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 【变式3-2】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·暑假作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 【题型4 倒数】 【例4】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和互为倒数， 故选：C． 【变式4-1】若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是__________． 【答案】-8 【分析】根据互为负倒数的定义可知，用-1÷0.125即可得到0.125的负倒数． 【详解】解：0.125的负倒数为：-1÷0.125=-8． 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键． 【变式4-2】（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，则的值是______． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 根据相反数和倒数的定义，可得 和，代入表达式计算即可． 【详解】解： ，互为相反数， ， ，互为倒数， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知、互为相反数且，、互为倒数，是最小的正整数，求的值________． 【答案】1或 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义及代数式求值，关键是根据相关定义求出、、的取值，再分情况代入计算．首先根据相反数的定义得到，倒数的定义得到，绝对值的性质结合最小正整数的概念得到，然后分和两种情况代入代数式计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数且， ∴； ∵、互为倒数， ∴； ∵是最小的正整数， ∴，即或． 当时，； 当时，； 故答案为：1或． 【题型5 有理数乘法的应用】 【例5】某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 【答案】C 【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为（元），进而可求； 【详解】解：假设取暖器原价为100元， 则现价为（元）， ∵， ∴取暖器的现价比原来涨了． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键． 【变式5-1】班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ） A．45元 B．90元 C．10元 D．100元 【答案】B 【详解】试题分析：根据九折可以知道实际售价为2×0.9=1.8元，一共买50张，则需付款1.8×50=90元． 解：班长应付款为：2×0.9×50=90（元）． 故选B． 【变式5-2】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为________元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【详解】解：， （元）； 故答案为： 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是___________． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴翻折问题，两点之间的距离，分类讨论是解题的关键． 由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为11，这三条线段的长度之比为， ， ∴这三条线段的长度分别为， 若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度也为， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度为， 则折痕表示的数为：； 若剪下的第一条线段长为，第2条线段长度为， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为或或， 故答案为：或或． 模块三 有理数的除法 同学们，今天我们来玩个分糖果的游戏.
我们规定：拿到糖果是正数（+），交出糖果是负数（-）. 第一种情况：你有 12颗 糖果（+12），要平均分给 3个 小朋友（+3）.每个人能分到几颗？ 第二种情况：现在反过来，你欠了别人 12颗 糖果（-12），这笔“债”要平均分给 3个 小朋友（+3）来背.每个人要背多少债？ 第三种情况：你总共欠了 12颗 糖果（）.如果每个人帮你承担 颗的债务（也就是每人帮你还3颗）.请问需要几个人才能帮你把债还清？ 【知识点4 有理数除法法则】 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【题型6 有理数的除法法则】 【例6】若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【答案】D 【分析】本题考查相反数、绝对值、有理数的除法等知识，根据“两个数的商为”逐项判断即可． 【详解】解：A．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，故正确； B．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，故正确； C．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，∴这两个数的绝对值一定相等，故正确； D．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，∴这两个数不可能相等，故不正确． 故选D． 【变式6-1】的计算结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，运用有理数除法的规则解决此题，按正常除法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：A． 【变式6-2】有下列运算：①；②；③0.75÷；④，其中运算正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据有理数混合运算的运算规则，逐一验证四个等式的正误，由此即可得出结论． 【详解】解：①，故①运算正确； ②，故②运算正确； ③，故③运算正确； ④，故④运算正确． ∴正确的共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，牢记有理数除法运算的运算法则是解题的关键． 【变式6-3】要使算式的运算结果最大，则“”内分别填入，，，中的一个符号不重复使用，使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为______ ． 【答案】2 【分析】根据题意，可以分别计算出，，，的结果，然后比较大小，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 这个最大的结果为． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减乘除四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型7 有理数除法的应用】 【例7】（25-26七年级上·北京海淀·期末）海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为工程问题，考查了有理数的混合运算，将总工作量看作单位“”，先求出甲、乙两队的工作效率，再计算两队合作的工作效率，最后根据“工作时间总工作量合作工作效率”求解所需天数即可． 【详解】解：∵设总工作量为，甲工程队单独施工需天完成， ∴甲的工作效率为； ∵乙工程队单独施工需天完成， ∴乙的工作效率为； ∴两队合作的工作效率为， 故两队合作完成工程所需天数为（天）． 故选：A． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期末）喜迎国庆，学校在操场上悬挂了七彩气球，按照红橙黄绿蓝靛紫排列，请问第2025个气球的颜色是（   ） A．红 B．橙 C．黄 D．绿 【答案】B 【分析】本题考查规律探索，熟练掌握具有周期性的规律探索的方法是解题的关键．由题意，气球是按颜色按照红橙黄绿蓝靛紫依次循环，每7个一循环，利用，得出2025是289个循环之后的第2个气球，即可解决． 【详解】解：由题意，气球是按颜色按照红橙黄绿蓝靛紫依次循环，每7个一循环， ， 则第2025个气球的颜色是橙， 故选：B． 【变式7-2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法，根据有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】解：. 故答案为 ： 【变式7-3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 【答案】6 【分析】本题考查了除法的应用．先把一箱啤酒共12瓶喝完，共得到12个空瓶，可以换瓶啤酒，再喝完，可以得4个空瓶，可以换，即得到1瓶啤酒余1个空瓶，喝完1瓶啤酒再加原来的1个空瓶，这时候剩2个空瓶，可以再借一个瓶子，换完啤酒后，喝掉一瓶，再还回去，由此即可求解． 【详解】解： (瓶) (瓶)…1(个) (瓶) (瓶) (瓶) 他们还可以再兑换6瓶啤酒． 故答案为：6． 【题型8 有理数的乘除混合运算】 【例8】（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算的结果是（   ） A．7 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【变式8-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加、减、乘、除法则，依次对各个选项进行计算，注意运算顺序，即可解题． 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】（1）； （2）. 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式8-3】计算：． 佳佳的计算过程如下： 解：原式 ． 请问佳佳的计算过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并且给出正确的计算过程． 【答案】不正确，理由及正确的计算过程见解析 【分析】不正确，因为分配律不适用于有理数的除法，再写出正确的计算过程即可． 【详解】佳佳的计算过程不正确．理由：分配律不适用于有理数的除法． 正确的计算过程： 原式 ． 【点睛】本题错解的原因是误把分配律用在了除法中，注意分配律的使用条件是在乘法中，若是除法，可以先转化为乘法，再运用分配律．若除法无法直接转化为乘法，则不能运用分配律． 模块四 课后作业 1．（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 2．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 3．（2026·山东临沂·模拟预测）的相反数的倒数是（    ） A． B． C．2026 D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是2026，2026的倒数是． 4．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 5．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 6．（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·河南漯河·期末）在0，，1，这四个数中，最小数与最大数的积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较及有理数的乘法．在0，，1，这四个数中，最小数是，最大数是1，相乘即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8．（2025·江西南昌·一模）计算：__________. 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，核心在于理解零乘以任何数的结果都是零.本题的关键点在于识别乘数中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出结果，无需计算具体数值的乘积. 【详解】解：. 故答案为：0. 9．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 【答案】10 【分析】本题主要考查了握手问题．根据每个人需要与其他4个人握手，解答即可． 【详解】解：∵每个人需要与其他4个人握手， ∴总握手次数为次． 故答案为10 10．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 11．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确；原因是同级运算的运算顺序错误，见解析 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，核心知识点是同级运算的运算顺序及有理数乘除法法则． 【详解】解：小李的解法不正确．错误原因：有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，小李错误运用除法结合律改变了运算顺序，导致结果错误； 正确解答： 原式 ． 13．小明骑摩托车去城里，去时每小时行驶45km，用去6小时．后来接到电话，让他4小时回来，他回来时每小时要行驶多少千米？ 【答案】67.5千米 【分析】根据题意求得路程，根据速度等于路程除以时间即可求解． 【详解】解：45×6÷4 =270÷4 =67.5（千米/时）； 答：返回时每小时行驶67.5千米． 【点睛】本题考查了有理数乘除法的实际应用，掌握关系式：速度×时间=路程，路程÷时间=速度是解题的关键． 14．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 【答案】(1) (2)1890元 【分析】（1）根据平移性质得到地毯的长度至少为的长，求得的长度即可解答； （2）求得地毯的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵为，， ∴，则， 由平移性质，地毯的长度至少为； （2）解：（元）， 答：至少需要1890元钱去购买地毯． 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）促销问题某商场店庆促销，全部商品打八折，直播设备在八折基础上又推出以下三种优惠结算方式． 现金支付：八五折 A平台支付：每实付500元返100元 B平台支付：随机减免金额（元） 小涵购买了一台原价1000元的直播设备，选择用B平台支付，随机减免了104元．小涵选用的结算方式是最划算的吗？请通过计算进行说明． 【答案】小涵选用的不是最划算的，应选择现金支付 【分析】分别计算出现金支付、A平台支付、B平台支付的实际金额，比较即可． 【详解】解：（元）， 现金支付：（元）； A平台支付：余300，（元）； B平台支付：（元）， ， 答：小涵选用的不是最划算的，应选择现金支付． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘法与除法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+4个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘法 同学们，今天我们来观察一只在枯井里的小蜗牛.我们规定：向上爬为正，向下滑为负.第一阶段：这只蜗牛很努力，它每天向上爬 2 厘米（记作 +2）.那么，3 天后（记作 +3），它的位置发生了什么变化？ 很明显，它向上爬了 6 厘米.算式是： 第二阶段：可是，井壁太滑了.如果蜗牛每天向下滑 2 厘米（记作 -2）.那么，3 天后（记作 +3），它的位置变化是怎样的？它肯定是在更下面了，低了 6 厘米.算式是： 第三阶段：时光倒流,现在，最烧脑的来了！假设蜗牛依然是每天向下滑 2 厘米（-2）.请问：3 天前（记作 ），它在哪里？ 大家想一想：它一直在往下滑，那么"3天前"，它肯定在比现在更高的地方，对吧？高多少呢？高 6 厘米！也就是 +6.这时候算式就是： 总结发现： 向下滑（负）乘以 过去（负），结果竟然是在上方（正）！ 这就是有理数乘法中神奇的"负负得正"！ 【知识点1 有理数的乘法】 1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．0与任何数相乘都得0． 2. 符号法则：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负数；当负因数的个数是偶数时，积为正数． 【知识点2 有理数乘法运算律】 1. 交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 用字母表示： 2. 结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示：． 乘法交换律和结合律可以推广为三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中任意几个数相乘，积都不变． 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． 用字母表示：． 乘法分配律对于两个以上的数相加的情形仍然成立，如． 【知识点3 倒数】 一般地，如果1，那么ɑ和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）计算：（　　） A． B．6 C． D．9 【变式1-1】如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（    ） A．都是负数 B．都是正数 C．一正一负，且负数的绝对值大 D．一正一负，且正数的绝对值大 【变式1-2】若，，且则的值为（    ） A．5或-5 B．-1或1 C．5或-1 D．1或-5 【变式1-3】，3，4，这四个数中，任取三个数相乘，所得的积最小是 ________，所得的积最大是 _______． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 【例2】（25-26七年级上·河北衡水·期末）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【变式2-1】（25-26七年级上·广西梧州·期末）计算的结果是（   ） A．10800 B．-2700 C．-432 D．1080 【变式2-2】（25-26七年级上·青海海南·期末）如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【变式2-3】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）绝对值不大于3.5的所有负整数的积是___________． 【题型3 有理数的乘法运算律】 【例3】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）在计算时，运用下列哪种运算律可以避免通分（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【变式3-1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·暑假作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【题型4 倒数】 【例4】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【变式4-1】若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是__________． 【变式4-2】（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）若，互为相反数，，互为倒数，则的值是______． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知、互为相反数且，、互为倒数，是最小的正整数，求的值________． 【题型5 有理数乘法的应用】 【例5】某商店将一种取暖器先提价，然后宣传打八五折销售，取暖器的现价（    ） A．和原来一样 B．比原来降了 C．比原来涨了 D．无法判断 【变式5-1】班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ） A．45元 B．90元 C．10元 D．100元 【变式5-2】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为________元． 【变式5-3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是___________． 模块三 有理数的除法 同学们，今天我们来玩个分糖果的游戏.
我们规定：拿到糖果是正数（+），交出糖果是负数（-）. 第一种情况：你有 12颗 糖果（+12），要平均分给 3个 小朋友（+3）.每个人能分到几颗？ 第二种情况：现在反过来，你欠了别人 12颗 糖果（-12），这笔“债”要平均分给 3个 小朋友（+3）来背.每个人要背多少债？ 第三种情况：你总共欠了 12颗 糖果（）.如果每个人帮你承担 颗的债务（也就是每人帮你还3颗）.请问需要几个人才能帮你把债还清？ 【知识点4 有理数除法法则】 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． 法则2：两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【题型6 有理数的除法法则】 【例6】若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【变式6-1】的计算结果是（   ） A． B． C． D．1 【变式6-2】有下列运算：①；②；③0.75÷；④，其中运算正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】要使算式的运算结果最大，则“”内分别填入，，，中的一个符号不重复使用，使计算所得的结果最大，则这个最大的结果为______ ． 【题型7 有理数除法的应用】 【例7】（25-26七年级上·北京海淀·期末）海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期末）喜迎国庆，学校在操场上悬挂了七彩气球，按照红橙黄绿蓝靛紫排列，请问第2025个气球的颜色是（   ） A．红 B．橙 C．黄 D．绿 【变式7-2】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）升的牛奶能平均装在个瓶子里，则每个瓶子装_____升． 【变式7-3】（24-25七年级上·江苏镇江·期末）丹阳某一个啤酒厂为了回收空啤酒瓶，规定每3个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，李琛3人一共买了一箱（共12瓶），可以借1个空瓶，那么他们还可以再兑换_____瓶啤酒． 【题型8 有理数的乘除混合运算】 【例8】（24-25六年级上·山东淄博·期中）计算的结果是（   ） A．7 B．49 C． D． 【变式8-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式8-3】计算：． 佳佳的计算过程如下： 解：原式 ． 请问佳佳的计算过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并且给出正确的计算过程． 模块四 课后作业 1．（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 2．（2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 3．（2026·山东临沂·模拟预测）的相反数的倒数是（    ） A． B． C．2026 D． 4．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 5．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 7．（25-26七年级上·河南漯河·期末）在0，，1，这四个数中，最小数与最大数的积是_____． 8．（2025·江西南昌·一模）计算：__________. 9．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 10．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 11．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2). (3)． (4)． 12．（25-26七年级上·广东茂名·期末）在计算时，小李的解题过程如下： 解：原式 ． 小李解法是否正确，若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 13．小明骑摩托车去城里，去时每小时行驶45km，用去6小时．后来接到电话，让他4小时回来，他回来时每小时要行驶多少千米？ 14．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 15．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）促销问题某商场店庆促销，全部商品打八折，直播设备在八折基础上又推出以下三种优惠结算方式． 现金支付：八五折 A平台支付：每实付500元返100元 B平台支付：随机减免金额（元） 小涵购买了一台原价1000元的直播设备，选择用B平台支付，随机减免了104元．小涵选用的结算方式是最划算的吗？请通过计算进行说明． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $