2026年中考数学复习《相似三角形的应用》综合复习训练题

**基本信息** 以相似三角形判定与性质为核心，通过20道题构建"原理-模型-应用"三层训练体系，强化实际问题数学化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|14题（单选7+填空7）|构造"A型""X型"相似模型，利用对应边成比例列方程|从相似三角形判定（两角相等）到性质（比例线段），结合矩形、坐标等知识解决测量、投影问题| |综合应用|6解答题|中心投影/平行投影分类建模，古代算题（《九章算术》）转化，双相似比联立方程|通过杠杆、土圭、遮阳篷等真实情境，实现从数学思维（推理）到数学语言（模型表达）的迁移|

2026年九年级数学中考复习《相似三角形的应用》综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 2．一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 3．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 4．如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 6．如图是凸透镜成像的示意图，是蜡烛通过透镜所成的实像．已知蜡烛的高度，．若，则实像的高度是（　　） A． B． C． D． 7．左、右并排的两棵大树AB和CD如图所示，，两树底部的距离．小红眼睛F处距地面，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进．当前进到距离大树时，她发现恰好看不到右边较高的树的顶端C了，则大树CD的高为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆C处时，另一端D处就会撬动石头．已知动力臂米，阻力臂米，如果杠杆D端被向上撬起米，那么此时要将杠杆的C点向下压的长度是_______米． 9．“今有邑，东西六里，南北八里，各开中门，出东门五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形，东边城墙长8里，南边城墙长6里，东门点E、南门点F分别是的中点，，，里,经过A点，则__________里 10．如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长为______． 11．我国的雅鲁藏布大峡谷是地球上最大、最深的峡谷．为了研究在峡谷上架设桥梁的可行性，需要测量大峡谷某处的宽度．研究人员在对面的岩石上观察到一个特殊明显的标志点，再在他们所在的这一侧选三个点，，（点，，，在同一平面内），使得，，然后从点处观察点，确定视线与的交点为点（如图）．测得，，，则研究人员可算出峡谷的宽为 ________． 12．如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______． 13．土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为______尺． 14．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 三、解答题 15．如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 16．在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，． (1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)求路灯的高度． 17．四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 18．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 19．结合相似三角形和投影等知识，完成下面的任务1~3： (1)任务1：如图1，教室中老师放映幻灯片时，通过光源，把上的图形放大到屏幕上，点A为光源位置，若，，幻灯片中图形高为，则屏幕上的高度为___________． (2)任务2：如图2，花丛中有一路灯杆，在灯光下，小燕在D点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小燕的影长米．如果小燕的身高为2米，求路灯杆的高度． (3)任务3：用皮尺测量一旗杆高度，方案如下：当小明站在旗杆正前方地面上的点D处时，小李在地面上找到一点，使得点、小明的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得；小明再向前移动到达点处，小李同样在地面上找到一点，使得点、小明头顶以及旗杆的顶部A三点在同一直线上，并测得，已知图中的所有点均在同一平面内，，，小明的身高．求旗杆高度． 20．为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 参考答案 1．A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，先根据凸透镜成像原理确定物体与像的相似关系，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知的物高、物距和像距计算像高． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是从问题中抽象出相似三角形，由相似三角形的性质来解决问题． 当小红的眼睛的位置到点时，点共线，此时小红恰好看不到树的顶端了．此时由得到，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，当小红的眼睛的位置到点时，点C，A，共线，此时小红恰好看不到树的顶端了． ． 由题意可知，四边形是矩形， ． ，， ． 故选：C． 8．/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 证明，得到，代入求出的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据矩形的直角特性和线段垂直关系，识别出直角三角形的相似关系，利用相似三角形对应边成比例的性质建立等式，求解的长度． 先根据矩形边长及中点定义，求出的一半，4里）和的一半，3里）；再由、及矩形的直角性质，推出，结合“同角的余角相等”得，判定；最后根据相似三角形对应边成比例，代入、、的数值计算． 【详解】解：∵四边形是矩形，里，里，、分别是、的中点， ∴里，里，且 ∵，， ∴，， ∴ ∵，， ∴（同角的余角相等）． ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知里，代入得， 交叉相乘得， 解得． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了中心投影，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，过轴于点，交于点，由两端的坐标分别为，，所以轴，，则有，，然后证明，则有，再代入求值即可，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过轴于点，交于点， ∵两端的坐标分别为，， ∴轴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用了相似三角形对应边成比例的性质，构造出相似三角形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 又（对顶角相等）， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 即峡谷的宽是． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，根据题意可构造简图，利用相似三角形的判定及性质即可求得答案． 【详解】根据题意，可得简图如下，可知，，，，求的长度． ∵，， ∴，． ∴ ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 13．24 【分析】本题考查平行投影以及相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 由，，得∽，知，故尺，即第二时刻的影长为24尺． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意得：尺，尺， （尺）， 第二时刻的影长为24尺. 故答案为： 14．10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 15．(1)变短 (2)小亮的影长是米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定及性质，解题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答． （1）根据题意可得他在地面上的影子的变化情况为变短； （2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】（1）解：在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为变短， 故答案为：变短； （2）解：设米，则当米时，米， ， 即， ； 当米时，设小亮的影长是米， ， ， ． 即小亮的影长是米． 16．(1)中心投影 (2)路灯的高度为4.5米 【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键． （1）根据由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影解答即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵路灯是点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影． 故答案为：中心投影； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为4.5米． 17．． 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为， ∴， 解得：， ∴． 18．遮阳篷的宽是米 【分析】延长交于，则米，米，米，先证明，则根据相似三角形的性质得，再证明，则利用相似比得到，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：延长交于，如图， 则米，米，米， ∵， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得（米）． ∴遮阳篷的宽是米． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得出，根据题意代入即可求出； （2）由，，得出，，根据已知求出，代入已知数值即可求解： （3）由，，得出，，求出，即可求出，再代入原式即可求出． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， ，， ， ，； （2）由题意得，，，， ， ，， ，， ，，，， ，， ， ， ，解得， ，解得； 答：路灯杆的高度是． （3）由题意得，，，，，，， ，， ，， ，， ，即， 解得，， ，解得， 答：旗杆高度． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，利用相似比列出方程即可求出． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由投影可得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （2）由题意得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （3）直线与，，分别交于点R，T，W，可得矩形，，，，由此求出相关线段长度，证明，，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解： 为的影子，为的影子， ， ， 又 ， ， ， ， 即旗杆的高度为， 故答案为：； （2）解：如图2， 由题意知，， ， ，即， ， 即旗杆的高度为； （3）解：如图，直线与，，分别交于点R，T，W， 由题意得，四边形，，，均为矩形， ，，，，， ， 设，， ，， ， ，即， 解得， 同理可证， ，即， ， 解得， ， 即阿炳像的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $