高频考点12 二次函数的图象、性质及综合应用(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 聚焦二次函数图象性质、方程与几何综合三大必考考点，通过易错突破-中考对点-创新应用三阶训练，系统构建“性质理解-错误规避-综合迁移”的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错易混练|4题|针对对称轴求解、二次项系数限制等4类易错点，提炼“定义辨析+性质应用”规避策略|从概念本质（如对称轴公式）到常见错误归因，强化性质理解的准确性| |中考对点练|7题（含2022/2025真题）|综合运用配方求顶点、根的判别式、分类讨论最值等方法，结合几何图形（平行四边形、正方形）构建模型|从单一性质判断到方程与几何综合，形成“性质-方程-几何”递进应用逻辑| |考法创新练|1题（新定义）|通过“平衡函数”新情境，训练知识迁移与阅读理解能力，渗透数形结合思想|以新定义为载体，拓展二次函数与坐标变换的关联，提升创新意识|

高频考点12 二次函数的图象、性质及综合应用 二次函数的图象和性质（必考），二次函数与方程的综合（必考）， 二次函数与几何图形的综合（必考） 易错易混练 （弄错抛物线的对称轴） 1. 抛物线的对称轴是_____． （忽略二次函数的二次项系数不为0的条件） 2. 拋物线与x轴有交点，则k的取值范围是______． （混淆抛物线的平移规律与点的平移规律） 3. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为________． （求二次函数的最值时，忽略自变量的取值范围） 4. 已知二次函数，当时，y的最小值是________． 中考对点练 5. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 （新情境） 6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向右平移1个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象经过点．若，则之间的大小关系是（） A. B. C. D. （2025，第10题，考法对点） 8. 二次函数部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x 轴的一个交点的坐标为．有下列结论：①；②；③；④ 关于x 的一元二次方程无实数根．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ （最值问题） 9. 已知抛物线，若当时，的最大值是，则的值为_______． （2022，第24题，考点对点） 10. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PFAB交BC于点F． （1）求抛物线和直线BC的函数表达式， （2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长． （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． （2025，第24题，考查方式对点） 11. 抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）直接写出结果a=___________，b=___________； （2）如图，过点A的直线与y．轴交于点D，与抛物线交于另一点E，若，求的值； （3）如图，点，是抛物线上异于点的动点，线段与轴交于点H，且是的中点．以点N为中心，将线段MN顺时针旋转90°，得到线段，以，为边作正方形．设点的横坐标为m． ①当正方形的面积为18时，求的值； ②点M，N在运动的过程中，当抛物线在正方形内的部分对应的函数y随x的增大而减小时，请直接写出的取值范围． 考法创新练 （新考法・新定义试题） 12. 已知是自变量函数，当时，称函数为函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“平衡函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的平衡点”，点在函数的“平衡函数”的图象上． （1）求函数的“平衡函数”的函数表达式； （2）如图，点在函数的图象上，点“关于的平衡点”在点的下方，当时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的平衡点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在轴的右侧，且点与点不重合时，设三角形的面积为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有个时，从左到右依次记为，当为的中点时，请直接写出的值． 高频考点12 二次函数的图象、性质及综合应用 二次函数的图象和性质（必考），二次函数与方程的综合（必考）， 二次函数与几何图形的综合（必考） 易错易混练 （弄错抛物线的对称轴） 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】∵抛物线为：， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答时要注意抛物线的对称轴是直线． （忽略二次函数的二次项系数不为0的条件） 【2题答案】 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，用根的判别式解题即可．根据拋物线与x轴有交点，则，且，再求解即可． 【详解】拋物线与x轴有交点， 且， 解得：且． 故答案为：且． （混淆抛物线的平移规律与点的平移规律） 【3题答案】 【答案】（写成“”也可） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 先将原抛物线配方化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求解即可. 【详解】解：将原抛物线配方化为顶点式. ∵将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：（写成“”也可）． （求二次函数的最值时，忽略自变量的取值范围） 【4题答案】 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，关键是确定二次函数的开口方向与对称轴． 将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围，根据函数增减性求解最小值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式 可得二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而增大 已知自变量取值范围为，该区间在对称轴的右侧，函数在此区间内单调递增 因此当取最小值时，取得最小值． 将代入解析式得： . 故答案为： 中考对点练 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 将一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意， ∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标为，B，C选项说法正确，不符合题意， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意， 故选：D． （新情境） 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴平移，掌握坐标轴平移等价于函数图像向相反方向平移，以及左加右减自变量，上加下减常数项的平移规律是解题的关键． 坐标轴平移等价于抛物线向相反方向平移，将原抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位，根据二次函数平移规律计算新解析式． 【详解】解：∵轴向上平移个单位长度，轴向右平移个单位长度，等价于将原抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位． 原抛物线解析式为，根据平移规律，向左平移个单位，自变量，向下平移个单位，常数项减， ∴平移后解析式为： 整理得 ． 故选：D． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过确定二次函数的对称轴和开口方向，结合各点横坐标的范围，计算关键点的函数值，从而比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为． ∵，且函数在时随的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴． ∵，且函数在时随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． ∵，且函数在时随的增大而减小， 当时，； ∴． 综上，，即． 故选：C． （2025，第10题，考法对点） 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由题图可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，抛物线的对称轴为直线，得到，可判断①②，将代入，得，将代入，得，可判断③，直线与抛物线有两个交点，可判断④，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由题图可知，抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ，， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ∴，故①符合题意，②不符合题意， 将代入， 得：， 将代入， 得，故③符合题意， ∵抛物线开口向上，顶点在x轴下方， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④符合题意， ∴符合题意的有①③， 故选：A． （最值问题） 【9题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，由， 当时，当时，抛物线取得最大值，即， 解得：； 当时，抛物线开口向下，当时，抛物线取得最大值，即， 解得：； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． （2022，第24题，考点对点） 【10题答案】 【答案】（1）抛物线函数表达式为，直线BC的函数表达式为 （2）点P的坐标为 (,)，△PEF的周长为 （3）存在，(2，3)或(-2，-5)或(4，-5) 【解析】 【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数即可求解析式； （2）利用直线和抛物线的位置关系相切时对应的等腰直角三角形PEF周长最大，二次函数与一次函数联立方程，根的判别式，从而找出对应点P坐标，进而求出周长； （3）根据平行四边形对角线性质和中点公式，把BC是否为对角线分情况进行分析，设出点G的横坐标，利用中点公式列方程计算即可求解． 【小问1详解】 解：将点A(-1,0)，B(3,0)代入，得： ，解得 ， 所以抛物线解析式为，C(0，3) 设直线BC的函数表达式 ，将B(3，0)，C(0，3)代入得： ，解得 ， 所以直线BC的函数表达式为 【小问2详解】 解：如图，设将直线BC平移到与抛物线相切时的解析式为 ，与抛物线联立得： 整理得 ，解得 ， 将代入，解得， 将代入得， 即△PEF的周长为最大值时，点P的坐标为 (,) 将代入得， 则此时， 因为△PEF为等腰直角三角形， 则△PEF的周长最大为 【小问3详解】 答：存在． 已知B(3，0)，C(0，3)，设点Ｇ(， )，N(1，n)， 当BC为平行四边形对角线时，根据中点公式得： ，，则G点坐标为(2，3)； 当BC为平行四边形的边时，由题意可知： 或 ，解得 或 则G点坐标为(-2，-5)或(4，-5) 故点G坐标为(2，3)或(-2，-5)或(4，-5) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、直线与抛物线的位置关系、根的判别式，等腰直角三角形性质，平行四边形的性质，解题的关键（1）根据点的坐标利用待定系数求解析式；（2利用直线和抛物线的位置关系，巧妙利用判别式；（3）熟悉平行四边形对角线性质，结合中点公式分情况展开讨论． （2025，第24题，考查方式对点） 【11题答案】 【答案】（1），； （2） （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）把，代入，得到关于、的二元一次方程组，求得和即可； （2）作轴，垂足为点，则，可得，根据，可求出点的横坐标为，进而求出，再根据正切定义求解即可； （3）① 是的中点，可知、的横坐标互为相反数， 可得， ，构造直角三角形，可得是等腰直角三角形，，由正方形面积可知，由此即可的取值， ②先根据函数图象的增减性确定正方形内的函数图像在对称轴左侧，再根据M点的位置，结合图象画图，确定的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图1，作轴，垂足为点，则， ∴ ∴ ∴点的横坐标为4， ∴点的横坐标为． 当时， ∴， ∴ 【小问3详解】 ①如图2，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作x轴的垂线，与交于点． 由题意有， ∵， ， ∴ ∴， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴ ∴； ②由①可知是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴与轴夹角为，即与第二四象限的角平分线平行， 又∵， ∴与轴夹角为，即、与第一三象限的角平分线平行， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵当抛物线在正方形内的部分对应的函数y随x的增大而减小时， ∴抛物线在正方形内的部分对应图象在对称轴左侧， 当在轴右侧时，在对称轴左侧（含顶点），由图可知，此时，图象满足条件， 如图4，当在对称轴右侧（含顶点），由图可知，顶点在直线的下方或直线上，当经过点时，直线为， 联立直线与抛物线得，解得：，， ∴此时，图象满足条件， 如图5，当在对称轴左侧，由图可知，对称轴左侧图象不可能在正方形内部， 综上所述：或时，点M，N在运动的过程中，当抛物线在正方形内的部分对应的函数y随x的增大而减小， 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，求二次函数的解析式，数形结合，分类讨论是解题的关键． 考法创新练 （新考法・新定义试题） 【12题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（）根据“平衡函数”的定义解答即可； （）设点，则点，根据题意可得，解方程即可求解； （）①由题意得点的坐标为，点的坐标为，即得，解方程即可求解；②分和两种情况根据三角形的面积公式解答即可求解；③画出函数图象，求出点的横坐标，再根据中点坐标公式列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：设点，则点， ∵，点在点的下方， ∴， 整理得，， 解得，， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①由题意得点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点重合， ∴， 解得； ②当，即时，点在点的上方， ∴， ∴； 当，即时，点在点的下方， ∴， ∴； 综上，； ③如图，把代入得，， 解得，， 即点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， 解得，， ∴点的横坐标为， ∵点为的中点， ∴， 整理得，， 解得． 【点睛】本题考查了新定义函数，求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，理解函数的新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $