2026年江苏南通市中考数学自编模拟卷

**基本信息** 2026年南通九年级数学三模卷以氮化镓芯片、五线谱等科技文化情境为载体，覆盖代数几何统计核心知识，梯度设计适配模拟预测，凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、科学记数法、三视图、平行线性质|第2题科技情境（氮化镓芯片），第5题文化素材（五线谱）| |填空题|6/18|因式分解、扇形圆心角、方程根、三角函数|第15题生活应用（扶梯坡度），第16题菱形中点综合| |解答题|9/98|计算化简、概率、几何证明、统计分析、函数应用、折叠探究|第24题正方形折叠探究（空间观念），第25题抛物线综合（推理能力），第23题利润函数（模型意识）|

2026年江苏省南通市九年级数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列各数中最小的数是(    ) A. B. C. D. 2.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从扩展至原来的倍左右．将用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，点、、、在上，且，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 7.如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为(    ) A. B. C. D. 9.如图，将图所示的正方形纸片沿对角线图中虚线剪开，拼成如图所示的四边形，连接，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图的菱形不重叠、无缝隙，若，则的长为(    ) A. B. C. D. （第9题） （第10题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式： ______． 12.若扇形半径为，弧长为，则该扇形的圆心角为        ． 13.设，是方程的两个实数根，则的值为      ． 14.如图，在的网格中，以点为圆心作圆，点，，都在圆周上，其中，为格点，则的正弦值为        ． （第14题） （第15题） （第16题） 15.如图是某书店扶梯的示意图，扶梯的坡度，小明乘扶梯从扶梯底端以米秒的速度用时秒到达扶梯顶端，则小明上升的竖直高度为        米 16.如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为中点，点为中点． 线段的长为            ； 为中点连接，点在上，且，则的长为            ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 18.本小题分 从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． 任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是______． 请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 19.本小题分 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （2）一个角的余角小于这个角． 20.本小题10分 如图，在中，平分为的中点．求证：． 小芳同学解题过程如下： 解： 为的中点， 第一步 平分， 第二步 第三步 小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步； 写出正确的解题过程． 21.本小题分 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价，每项评价分值可为分、分、分、分和分该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款恤衫，平台为了解客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】如图是根据样本数据制作的两幅不完整的统计图，请回答问题： 平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； 【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题： 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 直接写出表中和的值，并求出的值； 小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款恤衫你认为小亮应该选择哪一家？说明你的理由． 22.本小题分 如图，是半圆的直径，点，是半圆上的三等分点，过点作半圆的切线，与射线交于点，连接． 直接写出射线与直线的位置关系______． 若，求的长； 若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则求半圆的半径长． 23.本小题分 水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为天，平均每颗榴莲的售价为元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第天的销售量，每颗榴莲的成本为元．与的函数关系如图所示．    与之间的关系如表： 第天 销售量颗 求与的函数表达式． 若每天的销售利润为元，求与的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 24.本小题13分 数学探究课上，老师让同学们以“探究正方形纸片折叠问题”为主题开展数学活动． 【操作探索】 如图，学生按以下步骤进行折纸实验： 步骤一：将正方形纸片对折，使边和边重合，得到折痕，然后将纸片展开铺平； 步骤二：将边沿翻折到的位置，连接并延长，交边于点． 【猜想验证】 根据以上操作，猜想与的数量关系，并说明理由； 探索线段与的比值，并说明理由． 【迁移探究】如图，有一张正方形纸片，上选一点，然后把正方形纸片沿折叠，使点落在正方形纸片内部的点处，连接并延长交于点，连接再过点作，分别交，，于点，，，若，且，求正方形纸片的边长． 25.本小题分 已知是抛物线上两个不同的点． 当，且抛物线关于轴对称时， 若，两点都在轴上，求线段的长； 若直线经过平面直角坐标系的原点，求的值； (2) 当且时，若点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，证明：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年江苏省南通市九年级数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.下列各数中最小的数是() A.3 B.-3 C.1 D.一π 2.在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至 原来的4倍左右.将0.0000000256用科学记数法表示应为() A.2.56×10-9 B.2.56×10-8 C.0.256×10-9D.0.256×10-8 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为() 正面 正面 正面 正面 4.下列计算正确的是() A.m(-2m)2=-4m3 B.4x2-x=3x C.2a2-a2=a2 D.(a-2)2=a2-4 5.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱 上的两条线段，点E在AB、CD之间的一条平行线上，若∠1=118°，∠2=32°，则∠BEC的度数为() A.86° B.90 C.94° D.104° 6.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且AC=BD,若∠B0D=84°，则∠ACO的度数为() A.42 B.449 C.46° D.48 A B D 7777777 7777 0 (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，一架长为6的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯 子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离A0的长为() A.6sina m B.6cosa m C.6tana m D.6 ngm 第1页，共8页 8.如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B,向左转某个角度后又沿直线前进10m到达点C,再向左 转相同的角度后沿直线前进10m到达点D.,照这样走下去，小明第一次回到出发点A时一共走了120m, 则LCBD的大小为() A.30° B.25° C.20° D.15 9.如图，将图1所示的正方形纸片沿对角线（图中虚线）剪开，拼成如图2所示的四边形ABCD,连接AC,则 tan/ACB的值为() A号 B号 c D 10.如图1，在△ABC中，∠BCA=90°，AB=10,将其分割成I、Ⅱ、三部分，然后再拼成如图2的菱形 PQMN(不重叠、无缝隙)，若NH-PG=2,则PG的长为() A.4 B.48 C.5 D.3.6 D 瓜 F 血 图1 (图1) (图2) 图2 (第9题) (第10题) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.分解因式：a2b-16b=- 12.若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为一 13.设m,n是方程x2+x-2026=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为一· 14.如图，在4×4的网格中，以点0为圆心作圆，点A,B,C都在圆周上，其中A,C为格点，则∠ABC的正 弦值为 B B (第14题) (第15题) (第16题) 15.如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=1:√3，小明乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用 时20秒到达扶梯顶端B,则小明上升的竖直高度BC为一米. 第2页，共8页 16.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，点E在边BC上，且BE=1,点G为BC中点，点F为CD中点. (1)线段AE的长为； (2)M为AF中点.连接GF,点N在GF上，且∠MNF=75°，则MN的长为 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) (1)计算：(-2)2-864+(-3)°-()2： (②先化简，再求值：m+)÷,其中m=V2-2. 18.(本小题10分) 从甲地到乙地有A1、A2、A3三条路线，从乙地到丙地有B1、B2两条路线，其中A1B2是最短路线 (1)任选一条从甲地到乙地的路线，选择A2的概率是 (②)请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概 率 19.(本小题10分) 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例： (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. (2)一个角的余角小于这个角. 第3页，共8页 20.(本小题10分) 如图，在△ABC中，AD平分LBAC,D为BC的中点.求证：AB=AC. 小芳同学解题过程如下： 解： D为BC的中点， ∴DB=DC第一步 AD平分LBAC, ∴∠BAD=∠CAD.第二步 B D .AB=AC.第三步 (1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第 步 (2)写出正确的解题过程. 21.(本小题10分) 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务” 等方面给予商家分值评价，每项评价分值可为1分、2分、3分、4分和5分.该平台上甲、乙两个商家以 相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了解客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽 取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析. “商家服务“评价分值的条形统计图 “商家服务”评价分值的扇形统计图 2分 评价分值个数/个 15 5分 5分 2分 10 3分 3分 15% 4分 40% 4分 5 评价分值/分 口甲商家口乙商家 甲商家 乙商家 【数据描述】如图是根据样本数据制作的两幅不完整的统计图，请回答问题： 第4页，共8页 (1)平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图： 【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题： 统计量 商家 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 a 心 3.5 1.05 乙商家 4 b X 1.24 (2)直接写出表中a和b的值，并求出x的值； (③)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫.你认为小亮应该选择哪一家？ 说明你的理由， 22.(本小题10分) 如图，AB是半圆O的直径，点C,D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线AC交于点E,连 接AD. (1直接写出射线AE与直线DE的位置关系一一 (2)若ED=3,求AC的长； (3)若弦AC、弦AD与弧CD所围成的封闭图形的面积是，则求半圆0的半径长。 E 0 第5页，共8页 23.(本小题12分) 水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为30天，平均每颗榴莲的售价为100元，由于榴莲需要冷藏保存， 因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量m,每颗榴莲的成本为y元.y与x的函数关系如图所示， 以元 90 70 0 10 30x/天 m与x之间的关系如表： 第x天 1≤x≤16<x≤ 销售量m/颗 15 x+10 (1)求y与x的函数表达式. (2)若每天的销售利润为W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润 是多少元？ 第6页，共8页 24.(本小题13分) 数学探究课上，老师让同学们以“探究正方形纸片折叠问题”为主题开展数学活动. 【操作探索】 A D M E M Q 图1 图2 如图1，学生按以下步骤进行折纸实验： 步骤一：将正方形纸片ABCD对折，使边AD和边BC重合，得到折痕QH,然后将纸片展开铺平； 步骤二：将BC边沿BQ翻折到BM的位置，连接QM并延长，交边AD于点P 【猜想验证】 (1)根据以上操作，猜想AP与PM的数量关系，并说明理由； (2)探索线段AP与AD的比值，并说明理由. (3)【迁移探究】如图2，有一张正方形纸片ABCD,AD上选一点P,然后把正方形纸片ABCD沿BP折叠，使 点A落在正方形纸片内部的点M处，连接PM并延长交CD于点Q,连接BQ.再过点M作EF//BC,分别交AB, CD,BP于点E,F,N,若CQ=6,且ME·MF=16,求正方形纸片ABCD的边长 第7页，共8页 25.(本小题13分) 已知M(xyNx2,2)是抛物线y=a2+bx-上两个不同的点. (1)当a=1,且抛物线关于y轴对称时， ①若M,W两点都在x轴上，求线段MN的长； ②若直线MN经过平面直角坐标系的原点0，求+的值： (2)当a>1且b=a2时，若点M,N在抛物线对称轴的左侧，其中x1<x2且x1,x2均为整数，证明：x1-x2+ y1-y2>0. 第8页，共8页答案与解析 1.【答案】D 【解析】利用“正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则即可 求解， 【详解】“正数都大于负数， :选项A的3和选项C的1都是正数，可排除A和C: 剩余两个负数为一3和一π， :-3=3,-π≈3.14，且3<3.14， ·根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得一π<一3， ·最小的数是一π. 2.【答案】B 【解析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式 a×10气其中1≤<10，n为正整数，n的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数). 确定a和n的值来用科学记数法表示0.0000000256. 【详解】科学记数法的表示形式为a×10”,对于0.0000000256，要使1≤a<10,则 a=2.56. 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以n=8, 那么0.0000000256用科学记数法表示为2.56×10-8， 故选：B· 3.【答案】D 【解析】根据四棱锥的三视图解题即可. 4.【答案】C 【解析】根据幂的混合运算、合并同类项及完全平方公式对各选项逐一计算判断即可. 【详解】解：对选项A,m(-2m)2=m·(-2)2.m2=4m3≠-4m3,所以选项A 错误： 对选项B,4x2与x不是同类项，不能合并，所以选项B错误： 对选项C,2a2-a2=(2-1)a2=a2,所以选项C正确； 对选项D,(a一2)2=a2-4a+4≠a2-4,所以选项D错误. 5.【答案】C 【解析】利用平行线间内错角相等，同旁内角互补即可解出答案. 【详解】解：如图所示， B 由题意知：AB//EF//CD, :∠1+∠BEF=1809∠2=∠CEF, 又：∠1=118。，∠2=32， ·∠BEF=62。,∠CEF=32, ·∠BEC=∠BEF+∠CEF=94。. 6.【答案】D 【解析】解：如图，连接OA: :Ac=D,∠B0D=84°， ÷∠A0C=∠B0D=84°， :∠AC0+∠CA0=180°-∠A0C=96°， :0A=0C, ·∠AC0=∠CA0, ∠AC0=支×96°=48°： 故选：D· 7.【答案】A 【解析】解：由题意得，在Rt△AB0中，AB=6m,∠A0B=90°，∠AB0=C, :A0=AB·sin∠AB0=6 sina m. 故选：A 由题意得，在Rt△AB0中，AB=6m,∠A0B=90°，∠AB0=心，通过解直角三角 形即可解答. 8.【答案】D 【解析】由题意易得该多边形为正十二边形，然后根据等腰三角形的性质及正多边形内角和 可进行求解. 【详解】解：由题意可知：该多边形的边数为120÷10=12， ·该多边形为正十二边形， :CD=BC,∠BCD=1802-2=150, 12 A∠CBD=∠CDB=180-BC2=15。 9.【答案】D 【解析】解：如图，过点A作AT⊥CB交CB的延长线于点T,设AB=BD=CD=V巨a D 7 图2 '△BCD是等腰直角三角形， ∠DBC=45°， :∠ABD=900, ·∠ABT=45°， :∠TAB=∠ABT=45°， AT=BT=a,BC=2a CT =3a atan∠ACB=ξ=青 故选：D· 10.【答案】A 【解析】解：根据题意得：NH=AC,PG=BF=CF=BC, NH-PG=2, ·AC-BC=2,即BC=2AC-4, :∠BCA=90°，AB=10,BC2+AC2=AB2, ÷(2AC-4)2+AC2=102, 解得：AC=6(负值舍去)， ÷BC=8, PG=BC=4, 故选：A: 11.【答案】b(a+4)(a-4) 【解析】解：a2b-16b=b(a2-16=b(a+4(a-4) 故答案为：b(a+4)(a-4). 12.【答案】90 【解析】解：设圆心角为°，则有 =2n, n=90, 故答案为：90°. 利用弧长公式求解即可. 本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长！=需。 13.【答案】2025 【解析】解：设m,n是方程x2+x-2026=0的两个实数根， ÷m2+m-2026=0,m+n=-1,mn=-2026, ÷m2+2m+n=m2+m+(m+n=2026-1=2025, 故答案为：2025. 根据题意得到m2+m=2026,m十n=-1,mn=-2026,将所求代数式变形得 m2+m+(m+n),代入计算即可求解， 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系的计算是关键. 14.【答案】 【解析】解：取格点D,连接AD、CD、OC, :∠A0C=90°， ·∠ADC=支∠A0C=45°， .∠ABC=∠ADC=45o, ÷sin∠ABC=si450=2, ÷∠ABC的正弦值为2， 故等案为：号 15.【答案】5 【解析】解：设BC=x米， :扶梯AB的坡度为1：5， BC:AC=1:3. ÷AC=5x米， 由题意可知：AB=0.5×20=10米， 由勾股定理得：x2+(5x2=102, 解得：x=5(负值舍去)， 则小明上升的竖直高度BC为5米， 故答案为：5。 16.【答案】V3 36-32 【解析】解：(1)连接AGAC :四边形ABCD是菱形， B AB=BC=CD=AD=4, G :∠B=60°， ·△ABC是等边三角形， :点G为BC中点， ∴AG⊥BC,BG=CG=专BC=2 :BE=1, :EG=BG-BE=1, 在Rt△ABG中，AG=VAB2-BG=V42-22=25' 在Rt△AEG中， AB=Ac2+8G2=a5+12= 故答案为： 3 (②)作NH⊥AF于点H,设NH=x, :四边形ABCD是菱形， :∠BCD=180°-∠B=120°，∠B=∠D=600, AD=CD, ·△ACD是等边三角形， :点F为CD中点， ÷CF=DF=CD=2'AF⊥CD, ·∠AFC=∠AFD=90°， 由勾股定理可得，AP=VAD2-DP=V42_-22=2V5· CG=CF=2, ·∠CFG=∠CGF=180-B8CD=30, 2 ÷∠AFG=∠AFC-∠CFG=60°， '∠MNF=75°， ÷∠NMH=180°-∠MNF-∠AFG=45°， :NH⊥AF, ÷∠NHF=∠NHM=90o, :FH=G=高=号x2NwH=45, :MH=NH=x :M为AF中点， MF=AF=V3 x+9x=5 解得x=3: 2 由勾股定理可得， MN=VNH+MF=2+x2=-V2x=36,3返， 故答案为：36-3互 2 17.【答案】解：(1)原式=4-4+1-9 =-8; (②)原式=44n世.m m 叶2 =a+2 m =m+2, 当m=2-2时，原式=2-2+2=V2 18.【答案】青合 【解析】（①）：从甲地到乙地有A1A2A3三条路线， :任选一条从甲地到乙地的路线，选择A2的概率是， 故答案为：青 (②)画树状图如下： 开始 A A2 A3 B, B2 B B2 BB 共有6种等可能的结果，其中恰好选到最短路线的结果有1种， ·恰好选到最短路线的概率为上， 19.(1)真命题 已知：b⊥a,c⊥a求证：b//c 证明如下：如图， o h h2 由条件可知∠1=∠2=90°， :b//c(同位角相等，两直线平行). (2)假命题，反例：30°角的余角是60°，而60°>30（举例不唯一） 20.【答案】(1)解：根据∠BAD=∠CAD不能推导出AB=AC, 因此出现错误的是第三步， 故答案为：三； (②)解：正确的解题过程如下： :D为BC的中点， ·DB=DC 如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, E-- B :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ÷DE=DF, 在RtA DEB和Rt△DFC中， (DE=DF DB=DC' ÷Rt DEB≌Rt DFC(HL), ·∠B=∠C, AB=AC. 21.【答案】从甲商家抽取了30个评价分值，从乙商家抽取了20个评价分值，补全条形图见 解析： ÷a=3.5,b=4,x=3.6: 小亮应该选择乙商家，理由见解析. 【解析】解：(1)从甲商家抽取了12÷40%=30个评价分值， 从乙商家抽取了3÷15%=20个评价分值， ÷甲商家4分的评价分值个数为30-2-1-12-5=10个， 乙商家4分的评价分值个数为20一1-3-3-4=9个， “商家服务“评价分值的条形统计图 ↑评价分值个数/个 15---------- 12 109 10 5评价分值分 ☐甲商家☐乙商家 (②)：甲商家共有30个数据， :数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数， a=岁-3.5 :乙商家4分的个数最多， ·众数b=4, 乙商家平均数x=1+2X3+34x9454=3.6: 20 (③)小亮应该选择乙商家， 理由：乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ·小亮应该选择乙商家. 22.【答案】垂直25π 3 4 【解析】解：(1)如图，连接0C,0D, E B 由条件可知c=D=D' :∠A0C=∠C0D=∠B0D=60°. :0C=0A, ·△OAC是等边三角形， :∠0AC=60°， ·∠OAC=∠BOD, :AE /DO- 由切线的性质得DO⊥DE, ÷AE⊥ED: 所以直线AE与直线ED的位置关系是垂直； 故答案为：垂直； (②)由条件可知∠CAD=号∠C0D=30: :AE⊥DE, :AD=2ED=6: AC=CD C0⊥AD,且AF=DF=3: 由条件可知A0=AF÷sin60°=2W5, “ 6025=25π： 180 3 (3):AE//D0' :∠CAF=∠ODF,∠ACF=∠DOF. AF=DF, ·△ACF≌△D0FAAS: :S△ACF=S△DoF1 ÷封闭图形的面积=S偏CO”=号π 360 解得C0=4, 所以半圆0的半径是4： 23.【答案】(1)解：设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)， 把(10,70)和(30,90)分别代入y=kx+b(k≠0)得： (10k+b=70 30k+b=90' (k=1 解得：{b=60' :y与x的函数表达式为y=x+60; (②)解：当1≤x≤16时，W=15(100-y)=-15x+600, :-15<0, ·W随x的增大而减小， a当x=1时，W最大=585； 当16<x≤30时， W=(x+10)(100-y)=-x2+30x+400=-(x-15)2+625, :x=15不在16<x≤30范围内，当16<x≤30时，W随x的增大而减小， 当x=17时，W最大=621； 综上述，第17天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是621元. 24.【答案】【小题1】 解：AP=PM 理由：如图，连接BP, D D H B :四边形ABCD为正方形， :AB=BC,∠BAD=∠BCD=90。, :将BC边沿BQ翻折到BM的位置，连接QM并延长交边AD于点P, ÷BC=BM,∠BCQ=∠BMQ=90。=∠BMP, .BA=BM,∠BAP=90。=∠BMP, 在Rt△BAP和RtBMP中， ∫BA=BM BP=BP' :Rt△BAP≌Rt BMP(HL), :AP=MP,即AP=PM; 【小题2】 解：线段AP与AD的比值为， 理由：设AP=PM=m,正方形ABCD的边长为a, :AB=BC=CD=AD=a,DP=a-m,∠D=90。, :将正方形纸片ABCD对折，使边AD和边BC重合，得到折痕QH;将BC边沿BQ翻折到 BM的位置，连接QM并延长交边AD于点P, :.QM=CQ=DQ=CD=7a. ÷PQ=PM+QM=m+专a, 在Rt.PDQ中，Dp2+DQ2=PQ2, (a-m+(3a)2=(m+a)2, 解得：m=专a, AP=青a, 8=号=： 【小题3】 解：设正方形ABCD的边长为a,ME=x AB=BC=CD=AD=a,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90,AD//BC, EF//BC,ME.MF=16, ·∠AEF=∠ABC=90。,∠BEF=∠A=90, :∠AEF=90。=∠A=∠D,∠BEF=90。=∠ABC=∠C, :四边形ADFE、EFCB为矩形， ·EF=AD=a,DF=AE, ÷MF=EF-ME=a-x, xa-x=16, :把正方形纸片ABCD沿BP折叠，使点A落在正方形纸片内部的点M处，连接PM并延长 交CD于点Q, ·BM=AB=a,∠BMP=∠A=90, :∠BMQ=180。-∠BMP=90, EF/BC, :∠BEF=∠A=90。=∠D=∠MFC,即∠BEM=∠MFQ, ·∠BME+∠EBM=90。=∠BME+∠FMQ, .∠EBM=∠FMQ, ·aBEM∽aMFQ, “器=器， ·BE·FQ=ME·MF=16, CQ=6,AB=CD=a, :DQ=a-6, 设BE=y,则DF=AE=AB-BE=a-y, FQ=DQ-DF=(a-6)-(a-y)=y-6, 16=BE·FQ=y(y-6, 解得：y=8或y=-2(不符合题意，舍去)， ÷BE=8,FQ=y-6=8-6=2, 在Rt BEM中，BE=8,ME=x,BM=a, ÷BE2+ME2=BM2,即82+x2=a2, ÷x2=a2-82=a2-64, :16=x(a-x)=ax-x2=ax-(a2-64), ax=超， 将x=塑代入x2=a2-64得：（塑)2=-64， 解得：a2=72, 经检验：a2=72是原方程的解且符合题意， “a=62或a=-62(不符合题意，舍去)， ·正方形ABCD的边长为62， 25.【答案】【小题1】 解：①：a=1,抛物线关于y轴对称， .b=0. y=x2- :M,N两点都在x轴上， 当y=0时，x2-=0 解得x=士 aMN=克-（-)=1， ②：直线MN经过平面直角坐标系的原点O, ·分情况讨论如下： 若MN在x轴上，则OM=ON=专. “品+六=4. 若MN不在x轴上，设直线MN为y=kx(k≠O) “x2-是=kx时，x2-kx-=0. X182=-年<0，x1十x2=k. ·X1,X2异号，不妨设X1<0<X2 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4xx2=k2+1, “x2-X1=Vk2+1(负值舍去) :0M=k12+y12=k2+kx12=V1+k21x1, 0W=k2+y2=Vk2+kx22=V1+k21x2 小成+六=十厨 1 82-81 1+k2x182 1+k 4V1+k =4 综上，品十六的值为4： 【小题2】 证明：：a>1且b=a2, y=ax2+a2x-有 “对称轴为直线x=一若=一号， :点M,N在抛物线对称轴的左侧，其中x1<X2且x1,x2均为整数， 为1<X2<-号， 1≤82-1<-是-1. x1-2+y1-y2=x1-x2+a(x-x)+a2(x1-x2) =(x1-X2)[a(x1+x2)+a2+1]. 其中X1-x2<0, x1+为2<-是-1+(-是)，即81+x2<-a-1. :a>1, a(x1+82)+a2+1<a(-a-1)+a2+1, a(xX1+x2)+a2+1<1-a<0. (1-x2)[a(x1+x2)+a2+1]>0,即x1-x2+y1-y2>0.