陕西西安市第一中学2026届高三考前测试数学试题

参考答案 题号 1 2 3 6 7 9 10 答案 B B C ABD ABD 题号 11 答案 AC 12.-1或3 13.-9 14.①③ 15.(1)2 (2)6-35 1 【详解】(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC.cosA=22+42-2×2×4×二=12， 解得8C=25,所以4B+BC2=4C,则B=乃C-=名 6 在△ADE中，由正弦定理得，AD DE,所以∠AED=AD-sin2 sin∠AED sinA 2=1， 即∠AED=元，则∠ADE=T 6 因为∠4DF=∠DE+∠BDF-名+骨子所以∠C0r-受 在RiACDF，中c=S2-495,则BF=C-Cr-26 cosC 3 3 又CF=1FB,所以1=2. ②设40=8,9e[0引 则∠AED=2r-6,∠CDF=2m-0,∠DFC=+9, 3 3 6 在△ADE中，由正弦定理得DE AD 整理得DE= √5 sinA sin.∠AED (2元-0 sin 3 在△CDF中，由正弦定理得DP CD 整理得DF= 1 sinC sin∠CFD sin +0 6 3 1 1 则S)DE:DF:sin/EDF=x X- 4 sin sin (3 6 小go+na马aga0,o 所mgjo儿到25， 31 所以5a小-4*2+52+56-35 4 B 16.(1)x-4,h8=2F-4 (2)P(4,0);x+2W5y=4和x-23y=4 【详解】1)设过点P0)的切袋方程为：1，与桶图方程写+广=1联立。 得(my+t)+4y2=4①，整理为m2+4)y2+2my+2-4=0, 其中△=4m212-4m2+42-4=0,得m2=-4, 代回①得'y2+2my+m2=0,即(+m2=0,得y=-m x=my+t=- -m2_4 4)2 因此两个切点A,B的横坐标均为4，故切点弦AB的方程为x=4.又切点在椭圆上，所以 t -+y2=1 4 即+护=1.薇=小-±，因为>2所以h网=2.4.2P4 2》点P0到直线AB:x4的距离为1-4-，4.所以Sw=H!-)】 tt 即5a=)2F4.-4-4 2 tt 12 由题意 t-4235 22 当1=4时，16-4-2224535 16 1616 2 又画我巴，乎-补在2上山号为统且足嘴猛板为正藏，1是期统质过 仁4--小F-4院所送胜 故P4,0).当1=4时，切点横坐标为x,=1.代入椭圆方程得}+乃=1， 4 所以= 2 当网宜为号，线方程为+9，-1，年+25,4 2 当切点为}切装方程为 42y=1, 即x-2V3y=4. B 17.(1)0.029: (2)10 (3)最小值为68，最大值为102. 【详解】(1)设A表示“零件来自第i条生产线”(i=1,2,3,对应甲、乙、丙)，B表示“零件为次品”. 由题意，P(A)=0.5,P(4)=0.3,P(4)=0.2,P(B|A)=0.02,P(B|A)=0.03,PB|4)=0.05. 由全概率公式， P(B=P(4)P(B4+P(4P(B4+P(4 P(BI4 =0.5×0.02+0.3×0.03+0.2×0.05=0.029. (2)由贝叶斯公式，P41B=P4)PB14-0.5×0.0210 PB 0.02929 (3)由题意，X~B(n,0.029,，故P(X=k)=C(0.029)(0.971)”-(k=0,1,2,,n). 要使P(X-2)最大，需满足P(X=2≥P(X=1)且P(X=2)≥P(X=3). 由P(X=2≥PX=1,得C0.0292(0.971-2≥C.(0.029)(0.971)-, 化简得”1x0.029≥0.971，解得m≥2x0971+167.97,故m268. 2 0.029 由P(X=2)≥P(X=3),得C(0.0292(0.971-2≥C(0.029)°(0.971-3， 化简得0.971≥”，2x0.029,解得n≤3X0971+2≈102.45，故m5102. 3 0.029 综上，正整数的最小值为68，最大值为102. 18.(1)取AB的中点F,连接CF,MF, B M E 由条件可得MF为△ABE的中位线，即MFI∥AE, 又MFd平面ADE,AEc平面ADE,故MF∥平面ADE, 由题意可知四边形ABCD是直角梯形，且AB=2AF=2DC, 则AFIIDC,AF=DC,即四边形AFCD是平行四边形，所以CF IIAD, 又CFa平面ADE,ADC平面ADE,故CF∥平面ADE, 而CF∩MF=F,CF,MFc平面CMF,所以平面CMF∥平面ADE, 由CMc平面CMF,显然CM∥平面ADE. (2) 3V14 14 (3) 2 12 【详解】(1)略 (2)由(1)可知，直线AD与直线CM所成角为∠MCF, 又平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,且AB⊥BC,则BC⊥平面ABE, 又BMc平面ABE,则BC⊥BM, AB =2BC =2CD=2,AE=BE=3, 所c=40--or+sc-,Mr-4E9.cw-c传旺 则在△CMF中，由余弦定理有cos∠MCF=CF+MC2-MF2-34 2CF.MC 14 所以直线AD与直线CM所成角的余弦值为34 14 (3)连接DF,EF, 结合(1)，(2)有BCDF是正方形，则DFICB,且DF=CB=1, 又BC⊥底面ABE,则DF⊥底面ABE, 又AE=BE,则EF⊥AB,所以EF=√AE2-AF2=V2, 所以以F为原点，分别以FE,FB,FD所在直线为x,y,z轴，建立如下图空间直角坐标系， Z D 53 则Faao.Ei.o0叭：40-1o,c4o,p10al,w5}0 则DC=(0,1,0)，DM AD=(0,1,1 又线段AD上存在一点N,则设AN=2AD=(0,2,2)(0≤元≤1)， 则N=(0,元-1,2)，所以E=（-√2,2-1,2， i.DC=y=0 设平面MCD的一个法向量为i=(x,y,z,则有 n.DM=2.1 x+2y-2=0 2 令x=V2,则y=0,z=1,即i=2,0,1), i.EN -2+2 设直线EN与平面MCD所成的角为au,则sina= .V30 E网2+2-12+22×510 整理程+2以-13=2以-钱+13=0.解行2=或2=-星（会去， 4 所以N是线段AD的中点， 所以，ae=ro.cn×EF-×CDxCE=x5xIx5×N5- 32 2 32 12 19.(1)a=e” (2)若0<a<1或a=e”,f(x)零点的个数为1；若a>1且a≠e",f(x)零点的个数为2 【详解】(1)由f(x)≥0恒成立，即a≥ax恒成立， 即xna≥lna+nlnx恒成立，即xlna-nlnx-lna≥0恒成立， 令g(y=xna-nlnx-lna,则g'(x)=lna-”, 当0<a<1时，na-”<0恒成立，则g(x<0恒成立， 汇 故gx在(0，+o上单调递减，又g(1)=na-nlnl-lna=0, 故当x∈(1，+∞时，gx)<0,不符合题意，故舍去； 当a>1时，令g'(x)=0,解得x=n Ina 则当x∈0，”时，gx)<0,当x∈ n ，+00 时，g'x>0, Ina Ina 故gx在0，n 上单调递减，在 n ,+00 上单调递增， Ina 则g(x)≥gma ≥0，又g1=0, 故要使得g(x)≥0恒成立，则有”=1，即a=e”; Ina (2)函数f(x)零点的个数等价于函数gx)=xna-nlnr-na零点的个数， 由(1)知，当0<a<1时，gx在(0，+0上单调递减， 且g1=0,故fx)零点的个数为1； 当a>1时，8纠在0品》 上单调递减，在 上单调递增； Ina 若a=e”,有且仅有g1=0,故f(x)零点的个数为l; 若1<a<e,则”>1，由g)=0,则g n <0, Ina Ina 又x→+m时，gx)→+n,故存在品 n —,十00， 使得g（x)=0, 此时g(x)有两个零点1、x,故f(x)零点的个数为2； 若a>e,则0<品1.由8=0，则8品0， 又→0时，8→+w,故存在50品)， 使得gx2)=0, 此时gx)有两个零点x2、1,故f(x)零点的个数为2； 综上所述：若0<a<1或a=e”,f(x)零点的个数为l; 若a>1且a≠e”,f(x)零点的个数为2. 姓名 准考证号 座位号 绝密★本科目考试启用前 陕西省西安第一中学2026届第三次模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知的外接圆半径为2，若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影数量为（ ） A． B． C． D． 4．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则（ ） A． B． C． D． 5．已知一圆台上底面直径为4，下底面半径为5，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线在处的切线与圆：交于，两点，则（ ） A． B． C． D． 7．已知~，则（ ） A．1000 B．1150 C．1300 D．1350 8．已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（ ） A．-66 B．-56 C．-38 D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移（）个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 10．空间中，平面上的动点满足方程：，（），则称为平面的方程．同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量．已知方程分别为：，：的平面，的交线为，则下列结论正确的是（ ） A．经过点，，的平面的方程为 B．若平面的方程为：：，则坐标原点到平面的距离为 C．交线为的一个方向向量为 D．与方程为：的平面所成角的正弦值为 11．甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等．每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球．已知甲、乙每次点球射中的概率分别为，，且每次点球是否射中相互独立，则（ ） A．第2个球是甲射门的概率为 B．在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C．前4个球中甲、乙各射2个的概率为 D．在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为_____． 13．的展开式中，的系数为_____． 14．已知正项数列满足：，，数列的前项和．给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，（，）；④当时，，都有成立．其中正确结论的序号是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．在中，，，，为的中点，，分别在边，上，．（13分） （1）若，，求的值； （2）求面积的最小值． 16．已知椭圆：，点，其中．过点作椭圆的两条切线，切点分别为，B（15分）（1）求直线的方程，并用表示； （2）若，求点的坐标及两条切线的方程． 17．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的50%，乙占30%，丙占20%；三条生产线的次品率分别为2%、3%、5%，所有零件外观无差异，随机混装入库．（15分） （1）随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； （2）若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； （3）现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，，1，…，，求正整数的最大值与最小值． 18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点．（17分） （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 19．已知函数（且，，）．（17分） （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $