精品解析：陕西西安市第一中学2026届高三下学期第八次模拟自测数学试题

2025-2026学年第二学期高三第八次模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（ ） A若，则 B．若，，则 C．对于线性相关系数，越接近1，相关性越强；越接近0，相关性越弱 D．已知为离散型随机变量，则 5. 用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ） A. 8个 B. 12个 C. 18个 D. 24个 6. 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 7. 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 11. 已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是（ ） A. 直线与、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为 C. 的轨迹与底面围成几何体的体积为 D. 记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则的值为__________. 13. 的展开式中的系数为______． 14. 在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表： 分组区间(单位：克) 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品. （1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率； （2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列. 16. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，是与的交点． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 17. 已知数列中，，且满足（）． （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前n项和，证明：． 18. 已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）（i）已知点，若在上存在一点，使的值最小，求这个最小值； （ii）已知双曲线，点是曲线上的动点、过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，是线段的中点．求出动点的轨迹方程及面积的最大值． 19. 已知函数 （，e为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值点的个数； （3）若有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高三第八次模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．选择题的作答，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，，而， 所以. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】复数，其共轭复数， 则． 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 4. 下列说法中错误的是（ ） A若，则 B．若，，则 C．对于线性相关系数，越接近1，相关性越强；越接近0，相关性越弱 D．已知为离散型随机变量，则 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质判断A，B；由相关系数的意义判断C；由方差的性质判断D. 【详解】对于A，由正态分布的性质可知： 当时，则，故A正确； 对于B，由正态分布的性质可知： 当，时，则，故B错误； 对于C，由相关系数的性质可知： 越接近1，相关性越强；越接近0，相关性越弱，故C正确； 对于D，由方差的性质可知，， 所以，故D正确. 5. 用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ） A. 8个 B. 12个 C. 18个 D. 24个 【答案】C 【解析】 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【详解】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 6. 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 7. 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小. 【详解】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 8. 如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【详解】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象 【答案】BD 【解析】 【详解】由图象知，，所以，故错误； 函数形式为，代入零点得 ， 由得，故正确； 因为， 所以 ，故错误； ，故正确． 10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确. 故选：BCD 11. 已知正四棱锥中，底面边长为，侧面与底面所成二面角的大小为，记为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，线段的中点为，下列结论正确的是（ ） A. 直线与、与所成的角相等 B. 侧棱与底面所成角的正切值为 C. 的轨迹与底面围成几何体的体积为 D. 记为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：通过平移异面直线，将与与的夹角转化为与与的夹角，结合正四棱锥的性质判断；选项B：结合图形确定侧棱与底面所成角，再用比上底面中心到顶点的距离得到正切值即可；选项C：建立坐标系，设出的坐标，结合长度为的条件，推导点坐标满足的方程，进而确定轨迹形状，再计算对应几何体的体积； 选项D：首先找到过BM的截面与棱锥其余棱的交点，确定截面形状，然后利用体积分割表示出上部分的体积，再结合基本不等式求的最小值. 【详解】正四棱锥底面边长为，是底面中心， 设高，到侧面底边的投影长为，侧面与底面二面角为， 因此，到顶点距离. 选项A，由正四棱锥可得、，可得直线与、与所成的角为， 由正四棱锥对称性，可得，即直线与、与所成的角相等，A正确； 选项B，如图所示，设侧棱与底面所成角，满足，B错误； 选项C，如图所示，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 设，，由得，是中点， 坐标满足，代入得，且， 即轨迹是半径为的上半球，体积为：，C正确； 选项D，记正四棱锥的体积为，的最小值，由为定值知，只需求的最小值. 如图所示，设过的截面分别交和于、，平面与平面的交线为，与相交于，则，令，， 则，即有， ， 当且仅当时取等号，此时 ，所以的最小值是. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数先求，再求即可. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】中，任意一个因式选取，该项式的中的指数必为负数，不可能得出， 求展开式中的系数等价于求中的系数， 的通项公式为， 令，，故展开式中的系数为． 14. 在中，若，，平分交于，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的定义可求，再利用面积关系和基本不等式可求的最大值. 【详解】设中所对的边为， 因为，且，故，故. 而， 所以， 故， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表： 分组区间(单位：克) 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品. （1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率； （2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列； （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列. 【答案】（1）； （2）分布列见解析； （3）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列； （3）依题意，即可求出的分布列. 【小问1详解】 样本中一共有件产品， 包装质量在克的产品有件， 故从该流水线任取一件产品为一等品的概率. 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、； ，， 故的分布列为： 【小问3详解】依题意，则的可能取值为，， ，， 故的分布列为： 16. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，是与的交点． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）连结，在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 中，，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在四边形中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）存在；. 【解析】 【分析】（1）连接，由线面垂直的判定定理可证得平面，则，由已知条件可得四边形为正方形，则，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得； （2）当时，延长交于H，连结BH、、，可证得，平面，从而可得平面平面，进而可得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，有平面． 证明如下：因为，，故， 故，故，故为的重心. 延长交于H，连结BH、、，则为的中点. 在正方形中，M为AB的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面， 在正方形中，为的中点，为中点，所以． 因为且，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面 所以平面平面，而平面，所以平面， 所以存在点且时，有平面． 17. 已知数列中，，且满足（）． （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造等比数列求通项公式； （2）利用裂项相消求出，并判断的正负性. 【小问1详解】 由得，， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 【小问2详解】 由（1）得，所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 18. 已知平面内的动点到点的距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）（i）已知点，若在上存在一点，使的值最小，求这个最小值； （ii）已知双曲线，点是曲线上的动点、过作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，是线段的中点．求出动点的轨迹方程及面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i），的最小值为. （ii）， 【解析】 【分析】（1）因为已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比，结合两点间距离公式、点到直线距离公式列出等式，化简得到轨迹的方程。 （2）（i）因为轨迹是椭圆，先根据椭圆的第二定义，将转化为点到相应准线的距离，再将进行变形，利用几何意义找到最小值的取得条件，进而确定点的位置； （ii）把直线和渐近线联立，利用中点坐标公式得到点的轨迹，最后应用面积公式及点到直线距离公式结合二倍角公式计算最大值. 【小问1详解】 由题意知，P到直线的距离， ，整理得. ∴轨迹的方程为. 【小问2详解】 （i）过点作，垂足为.    由题意知，得； . 为定点，为直线上的动点，当，即，，三点共线时取得最小值，即； 的最小值. 此时点的纵坐标为1，则，解得. 点在第一象限，. 因此，，的最小值为； （ii）  设点，满足方程为， 过作的垂线，垂足为， 联立，计算得； 过作的垂线，垂足为， 联立，计算得； 因为是的中点，所以，所以， 所以动点的轨迹方程为. 先计算， 设斜率为正的渐近线倾斜角为， . 得； ，且，所以， 所以当时取的最大值. 19. 已知函数 （，e为自然对数的底数）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的极值点的个数； （3）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）2 （3）因为，是的两个极值点，所以， 即， 所以. 要证， 即证， 即证，即证. 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）分三种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，进而得到极值点的个数； （3）由极值点得到，代入要证的不等式，化简，构造，得证. 【小问1详解】 由题可知，， 又，所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，(即)在上单调递增， 所以故(即)在上单调递增，即， 所以在上单调递增； 当时，，，又， 所以，所以在上单调递增； 当时，，所以， 所以在上单调递增，又， ， 所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又在和处有意义，所以是连续函数，端点不断开， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以有一个极大值点，一个极小值点，共两个极值点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $