2026年河南省平顶山市鲁山县第九教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 A注意事项： 1.本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟 2本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上答在试卷上的答案 无效 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 A B D 2.2026年2月2日，全国春运正式启动，交通部门提前准备，应对未来40天约95亿人次的跨区 域人员流动.数据95亿用科学记数法可表示为 A.0.95×1010 B.9.5×108 C.9.5×109 D.95×108 3.下图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是 正面 (第3题) (第5题) 4.下列运算正确的是 () A.3b-2b=1 B.a6÷a2=a3 C.(a-b)2=a2-b2 D.(-a23)2=a6 5.已知AB∥CD,一个含30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1=50°，则∠2的度 数为 A.109° B.115° C.110° D.105° 6.不等式组代-1>4， 的解集为 () 1-2x-1≤3 A.x≥-2 B.x>5 C.2≤x<5 D.无解 7.如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图.已知AB∥CD,BC与AD相交 于点O,MN为△COD的中位线，若CD=3AB,OB=1,则OM的长为 A多 c D.2 B B M D (第7题) (第9题) 8.数学课上，王老师拿出正面分别写有“E”“”“0”“K”的四张不透明卡片，它们除正面字母不同 外其他完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀后，再从中随机 抽取一张，两次抽取的卡片均是元音字母(E,I,0)的概率为 （) B分 c号 n号 9.如图，AB是⊙0的直径，AB=2,⊙O上的点C,D分别在直径AB的两侧，若CD平分∠ACB,则 图中阴影部分的面积为 () A+号 B+开 c+号 D.1+平 10.如图1，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D的方向匀 速运动至点D停止.若点P的运动速度为1c/s,设点P的运动时间为t(单位：s),AP的长 度为)（单位：6m),y与：的函数图象如图2所示当△C0P的面积为’c时，：的值为 图 图2 A.1 B.3 C.23 D.4 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作+380元，那么购买劳 动工具支出290元，记作 12.关于x的一元二次方程mx2-x-1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是 13.某校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹任、园艺、电工、木工、 缝纫”五大类劳动课程.学校需要招聘一位烹饪教师，小李笔试得10分，实际烹饪操作得8分， 若按笔试占40%，实际烹饪操作占60%的比例计算总成绩，则他的总成绩是 分 14.如图，在平面直角坐标系中，将菱形AB0C绕点0顺时针旋转45°得到菱形A,B,0C1,再将菱 形A1B,0C,绕点0顺时针旋转45得到菱形A2B20C2…按此方式连续旋转2026次得到菱 形A226B2260C226·已知菱形AB0C的边长为1，∠B0C=60°，则点A226的坐标为 D B (第14题) (第15题) 15.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=8,点D是BC的中点，点M是AB的中点， 点E在BM上运动（点E不与点B重合，可与点M重合），将△BDE沿DE所在直线翻折到 △B'DE的位置，B'D交AB于点F.当△DEF为等腰三角形时，则BE= 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：-）"+52÷5-(2-万)9 (2)化简(a2+日)÷ad4 17.(9分)某中学为了解该校学生对航天知识的掌握情况，举行了航天知识测试，并从七、八年级 各随机抽取了20名学生的测试成绩x(百分制)，进行了整理、描述和分析，信息如下： 【数据收集】 七年级20名学生的测试成绩：998188908510086879279909394 88878875888498 八年级20名学生的测试成绩在85≤x<90这一组的是858586878787. 【数据整理】 年级 75≤x<80 80≤x<85 85≤x<90 90≤x<95 95≤x≤100 七年级 2 2 a 5 3 八年级 3 5 6 4 2 【数据分析】 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88.6 b 88 38.64 八年级 86 87 c 52.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a= ,b= ,C (2)在这次测试活动中，小东的测试成绩是87分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么 小东是 年级的学生 (3)请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由.（写出一条理由即可） 18.(9分)如图，在△40B中，∠AB0=90°，点B在x轴的正半轴上，反比例函数y=左(x>0)的 图象经过斜边OA的中点D(2m-1,2m),与直角边AB相交于点C(4,m),连接CD (1)求反比例函数的表达式 (2)求△ACD的面积 9.(9分)隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物一天堂，它在紫微城遗址上修建，是 昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点.某数学兴趣 小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度” 作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告. 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 F D ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆CD; ②测量B,D两点间的距离； 实施过程 ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D,F两，点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF ①CD=2m; ②BD=347m; 测量数据 ③DF=2m; ④EF=l.5m ①图上所有点均在同一平面内； 说明 ②AB,CD,EF均与地面垂直 根据活动报告，求天堂AB的高度.（结果精确到0.1m) 20.（9分)图1是1970年6月在洛阳市关林钢厂出土的唐代文物一金银平脱鸾凤花鸟纹铜镜 的图片.铜镜为八瓣葵花形，淇淇同学为找到最接近它外接圆的圆心，在其边缘标注了A,B,C 三点 (1)请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心0.（不写作法，保留作图痕迹) (2)如图3，淇淇同学正确地画出了圆心O,连接AB,AC,BC,过点C作AB的平行线交过点A 的切线于点D,量得BC=24cm,AC=28cm,AB=CD. ①求证：AB=AC; ②求铜镜的半径.（结果精确到0.1cm.参考数据：√10≈3.16) 图2 图3 21.(9分)开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A,B两款纪念品深受广大游客们的喜爱， 已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独 购买B款纪念品要少10件 (1)求A,B两款纪念品的单价分别为多少元 (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A,B两款纪念品 共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品 数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在(2)的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 22.(10分)网球是国际球类竞技比赛项目之一，在水平地面上空的某一高度处设有一网球发射 器向空中发射网球，发球后网球的飞行轨迹可视为抛物线的一部分 【发现问题】 在探究实践活动中，爱思考的小东发现发球后网球的竖直高度y(单位：)随网球的水平距离 x(单位：m)的变化而变化 【提出问题】 网球的竖直高度y与网球的水平距离x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小东经过测量和计算，得到某次发球后网球的水平距离x与竖直高度y的部分数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 8 10 12 竖直高度y/m 3 19 6 27 7 27 6 5 20 5 20 20 5 建立如图所示的平面直角坐标系，网球从发出到落地的过程中竖直高度y与水平距离x近似 满足函数关系式y=a(x-h)2+k(a≠0) 球 ⑩ 球网 边界 0 812 24x 【解决问题】 (1)根据上述数据，求y与x之间的函数关系式 (2)已知球网与0点的水平距离为12m,高度为0.91m,球场的边界与0点的水平距离为24m. 判断此次发球后球能否越过球网，球会不会出界.请说明理由： 23.（10分)综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“矩形”为研究对象，结合旋转开展探究 【问题情境】 如图1，在矩形ABCD中，M为直线AB上的点（不与点B重合），连接CM,将线段CM绕点C 逆时针旋转90得到线段CV,点P为线段BM上一点，连接DN和CP,CP,DN交于点H. 【初步探究】 （①)奋进小组提出的问题：如图2，若A8=AD,点M与点A重合，P为BM的中点，则器的值 是 ,CP与DN的位置关系是 【深入探究】 【②)智慧☑小组提H的向题如图3者CD=4,BC3.BM=BC,且靴=子，写出状的值及： 与DN的位置关系，并就图3的情形，说明理由. 【拓展延伸】 (3)创新小组突发奇想提出的问题：将问题迁移到在平面直角坐标系中，使得正方形ABCD的 边AB在x轴上，如图4若P为BM的中点，BC=25,0B=2,MP=DN,请直接写出点 M的坐标 D D A M P B A(M)P B N 图1 图2 图3 图4 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．2026年2月2日，全国春运正式启动，交通部门提前准备，应对未来40天约95亿人次的跨区域人员流动．数据95亿用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 3．下图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，一个含30°角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，则∠2的度数为（ ） A．109° B．115° C．110° D．105° 6．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D．无解 7．如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，BC与AD相交于点O，MN为△COD的中位线，若，，则OM的长为（ ） A． B． C． D．2 8．数学课上，王老师拿出正面分别写有“E”“I”“O”“K”的四张不透明卡片，它们除正面字母不同外其他完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片均是元音字母（E，I，O）的概率为（ ） A． B． C． D． 9．如图，AB是⊙O的直径，，⊙O上的点C，D分别在直径AB的两侧，若CD平分∠ACB，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 10．如图1，在平行四边形ABCD中，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→D的方向匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（单位：s），AP的长度为y（单位：cm），y与t的函数图象如图2所示．当△CDP的面积为时，t的值为（ ） A．1 B． C． D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作＋380元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 12．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是___________． 13．某校为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开设了“烹饪、园艺、电工、木工、缝纫”五大类劳动课程．学校需要招聘一位烹饪教师，小李笔试得10分，实际烹饪操作得8分，若按笔试占40％，实际烹饪操作占60％的比例计算总成绩，则他的总成绩是_______分． 14．如图，在平面直角坐标系中，将菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形，再将菱形绕点O顺时针旋转得到菱形按此方式连续旋转2026次得到菱形．已知菱形ABOC的边长为1，，则点的坐标为_______． 15．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点D是BC的中点，点M是AB的中点，点E在BM上运动（点E不与点B重合，可与点M重合），将△BDE沿DE所在直线翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．当△DEF为等腰三角形时，则__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：． （2）化简：． 17．（9分）某中学为了解该校学生对航天知识的掌握情况，举行了航天知识测试，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的测试成绩x（百分制），进行了整理、描述和分析，信息如下： 【数据收集】 七年级20名学生的测试成绩：99 81 88 90 85 100 86 87 92 79 90 93 94 88 87 88 75 88 84 98 八年级20名学生的测试成绩在85≤x＜90这一组的是85 85 86 87 87 87． 【数据整理】 年级 七年级 2 2 a 5 3 八年级 3 5 6 4 2 【数据分析】 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88.6 b 88 38.64 八年级 86 87 c 52.2 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________． （2）在这次测试活动中，小东的测试成绩是87分，在他所属的样本中位于中等偏上水平，那么小东是_______年级的学生． （3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可） 18．（9分）如图，在△AOB中，，点B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点，与直角边AB相交于点，连接CD． （1）求反比例函数的表达式． （2）求△ACD的面积． 19．（9分）隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——天堂，它在紫微城遗址上修建，是昔日女皇武则天理政、礼佛、生活的重要场所，如今成为洛阳旅游必打卡的景点．某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，于是把“测量天堂的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告． 活动项目 测量天堂的高度 活动方案 “标杆”方案 方案示意图 实施过程 ①在与天堂B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③小组成员站在F处时，眼睛E、标杆顶点C和天堂顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF 测量数据 ①； ②； ③； ④ 说明 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD，EF均与地面垂直 根据活动报告，求天堂AB的高度．（结果精确到0.1m） 20．（9分）图1是1970年6月在洛阳市关林钢厂出土的唐代文物——金银平脱鸾凤花鸟纹铜镜的图片．铜镜为八瓣葵花形，淇淇同学为找到最接近它外接圆的圆心，在其边缘标注了A，B，C三点． （1）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中画出圆心O．（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图3，淇淇同学正确地画出了圆心O，连接AB，AC，BC，过点C作AB的平行线交过点A的切线于点D，量得．，，． ①求证：； ②求铜镜的半径．（结果精确到0.1cm．参考数据：） 21．（9分）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． （1）求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． （2）某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 22．（10分）网球是国际球类竞技比赛项目之一，在水平地面上空的某一高度处设有一网球发射器向空中发射网球，发球后网球的飞行轨迹可视为抛物线的一部分． 【发现问题】 在探究实践活动中，爱思考的小东发现发球后网球的竖直高度y（单位：m）随网球的水平距离x（单位：m）的变化而变化． 【提出问题】 网球的竖直高度y与网球的水平距离x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小东经过测量和计算，得到某次发球后网球的水平距离x与竖直高度y的部分数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8 10 12 … 竖直高度y/m … 建立如图所示的平面直角坐标系，网球从发出到落地的过程中竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系式． 【解决问题】 （1）根据上述数据，求y与x之间的函数关系式． （2）已知球网与O点的水平距离为12m，高度为0.91m，球场的边界与O点的水平距离为24m．判断此次发球后球能否越过球网，球会不会出界．请说明理由． 23．（10分）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“矩形”为研究对象，结合旋转开展探究． 【问题情境】 如图1，在矩形ABCD中，M为直线AB上的点（不与点B重合），连接CM，将线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，点P为线段BM上一点，连接DN和CP，CP，DN交于点H． 【初步探究】 （1）奋进小组提出的问题：如图2，若，点M与点A重合，P为BM的中点，则的值是________，CP与DN的位置关系是_______． 【深入探究】 （2）智慧小组提出的问题：如图3，若，，，且，写出的值及CP与DN的位置关系，并就图3的情形，说明理由． 【拓展延伸】 （3）创新小组突发奇想提出的问题：将问题迁移到在平面直角坐标系中，使得正方形ABCD的边AB在x轴上，如图4．若P为BM的中点，，，，请直接写出点M的坐标． 数学 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．C 解析 只有C选项中的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，如图：，∴是轴对称图形．故选C． 2．C 解析 ．故选C． 技法点拨 科学记数法（大数的表示） 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中，n为正整数）． 1．若给定的数带计数单位，先化成原数． 2．n值的确定． 方法一：n的值等于原数中整数部分的位数减去1； 方法二：将原数的小数点移动到左起第一个非零数字后面，移动几位，n就是几． 注：常考大数的计数单位有千、万、亿、万亿，其中1千，1万，1亿，1万亿． 3．D 解析 从上面看到的图形即俯视图，如图：．故选D． 4．D 解析 逐项分析如下． 选项 分析 判断 A × B × C × D √ 故选D． 技法点拨 幂的有关计算和乘法公式 同底数幂的乘法 （m，n都是正整数） 幂的乘方 （m，n都是正整数） 积的乘方 （n为正整数） 同底数幂的除法 （，m，n都是正整数，且） 零指数幂 （） 负整数指数幂 （，p为正整数） 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 5．C 解析 标记三角尺，如图，易知，∵，∴，∴．故选C． 6．B 解析 解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为．故选B． 技法点拨 不等式组的解集的表示 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小找不到 7．A 解析 ∵MN为△COD的中位线，∴，．又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选A． 8．B 解析 如表． E I O K E ——— （E，I） （E，O） （E，K） I （I，E） —— （I，O） （I，K） O （O，E） （O，I） —— （O，K） K （K，E） （K，I） （K，O） —— 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片均是元音字母（E，I，O）的有6种可能的结果，∴P（两次抽取的卡片均是元音字母）．故选B． 9．B 解析 ∵AB是⊙O的直径，∴，∵CD平分∠ACB，∴，如图，连接OD，由圆周角定理可知，，∵，∴，，∴．故选B． 名师点拨 不规则图形面积的计算方法 1．分割求和法：把图形适当分割，将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和． 2．等积转化法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算． 3．整体作差法：用整个图形的面积减去几个规则图形的面积之和，从而得到要求的不规则图形的面积． 10．D 解析 由题图2可知，点P从点A运动至点B时，，∵点P的运动速度为1cm/s，∴．当点P运动到点C时，，∴．∴．如图，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，．∴．在Rt△CDH中，，∴．∴．∴当点P在AB边上运动时，△CDP的面积始终为平行四边形ABCD面积的一半，即．∵，∴点P在BC边上时，△CDP的面积为，．令，∴．∴．∴．∴．故选D． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11．－290元 解析 ∵收入380元记作＋380元，∴支出290元记作－290元． 12．1（答案不唯一） 解析 ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，，解得．∴m的取值范围是且，∴m的值可以是1（答案不唯一）． 技法点拨 一元二次方程的根 1．求根公式：． 2．根的判别式： 当时，有两个不相等的实数根； 当时，有两个相等的实数根（）； 当时，无实数根． 3．根与系数的关系：，（前提：）． 13．8.8 解析 小李的总成绩：（分）． 名师点拨 平均数的计算公式 1．算术平均数：若有n个数，则这n个数的算术平均数为． 2．加权平均数：若n个数的权分别是，则这n个数的加权平均数为． 14． 解析 如图，过点C作轴，垂足为点D，过点作轴，垂足为点M．∵四边形ABOC是菱形，，∴，．∵，∴，∴．∵将菱形ABOC绕点O顺时针旋转45°得到菱形，∴，，∴，∴，∴点的坐标为．依次可求得点，，，，，，，易发现旋转8次为一个循环．∵，∴点的坐标为． 15．或 解析 ∵△DEF是等腰三角形，∴有，，三种情况．①当时，则．由折叠的性质，可知．设，则．∵△ABC是等腰直角三角形，∴．∴． ∵，∴此情况不成立．②当时，有．由折叠的性质，可知．设，则，∴．在△DEF中，，∴．如图1，过点E作于点G．在Rt△DEG中，，．在Rt△BGE中，，．∵点D是BC的中点，，∴．∴．∴．∴．③当时，有．由折叠的性质，可知．设，则，∴．在∠DEF中，．∴．∴．此时点E与点M重合，如图2．∵△ABC是等腰直角三角形，，，∴．∵点M是AB的中点，∴．∴．综上所述，BE的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17．解：（1）8 88 85.5 【解法提示】由题意知；七年级学生测试成绩88出现的次数最多，∴．由表格知，八年级20名学生的测试成绩从小到大排列后，第10，11位数分别是85，86，故中位数． （2）八 【解法提示】由题意知，七年级学生测试成绩的中位数为88，八年级学生测试成绩的中位数为85.5，小东的测试成绩是87分，，∵在他所属的样本中位于中等偏上水平，∴小东是八年级的学生． （3）七年级的成绩更好． 理由如下： 七年级学生测试成绩的平均数、中位数和众数均大于八年级，且方差比八年级小，成绩更稳定，所以七年级的成绩更好（理由不唯一）． 18．解：（1）∵点和点都是反比例函数图象上的点， ∴， 解得，（舍去）． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）过点D分别作于点E，于点F，如图． 由（1）易知点，点D（2，3）， ∴，，． ∵D为OA的中点， 易得DE，DF均为△AOB的中位线． ∴，． ∴． ∴． 19．解：如图，过点E作EN⊥AB，交AB于点N，交CD于点M，则四边形EFDM和四边形BDMN均为矩形， ∴，，， 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：天堂AB的高度约为88.8m． 20．解：（1）如图所示，点O即为所求作的圆心． 【画法提示】如图，①连接AB，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN．②连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线PQ，PQ与MN交于点O，点O即为所求作的圆心O． （2）①证明：如图，连接AO并延长交BC于点E． ∵AD与⊙O相切， ∴． ∵，， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴． ∴． ∴． ∴AE垂直平分BC． ∴． ②∵，， ∴． 在Rt△ACE中，． 连接OC，如图，设铜镜的半径为rcm， 则， 在Rt△COE中，， ∴，整理得，， ∴，解得． 答：铜镜的半径约为15.5cm． 技法点拨 中考新宠实操类——尺规作图 尺规作图 图示 作图步骤 作一个角的平分线 1．以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； 2．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； 3．作射线OP，射线OP即为所求角的平分线 作线段的垂直平分线 1．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N； 2．作直线MN，MN即为所求线段的垂直平分线 作一个角等于已知角 1．以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交α的两边于点P，Q； 2．作射线； 3．以点为圆心，OP长为半径作弧，交于点M； 4．以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前面的弧于点N； 5．过点N作射线，即为所求角 21．解：（1）设B款纪念品的单价为x元，则A款纪念品的单价为1.5x元， 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意。 则． 答：A款纪念品的单价为30元，B款纪念品的单价为20元。 （2）设购进A款纪念品a件，则购进B款纪念品件， 根据题意，得， 解得． ∵A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半， ∴， 解得． ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有3种购买方案。 （3）在（2）的条件下，令y表示总费用，则． ∵， ∴y随着a的增大而增大。 当时，y取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件A款纪念品，16件B款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元。 22．解：（1）由表格中数据分析知，抛物线的顶点坐标为， ∴可设二次函数的表达式为． 又∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴y与x之间的函数关系式是． （2）球能越过球网，且球不会出界． 【评分标准】若没写出结果，但后续说理正确，不扣分． 理由：当时，， ∴球能过球网． 当时，， ∴球不会出界． 23．解：（1） 【解法提示】∵，∴四边形ABCD为正方形．如图，设BC与DN交于点E，∵点M与点A重合，线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，∴点M，B，N共线，BC垂直平分MN，∴，∵，∴，易证，∴，，∵P为BM的中点，∴，易证，∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴．∴．∴． （2），． 【评分标准】若没写出结果，但后续说理正确，不扣分． 理由：∵， ∴△MBC为等腰直角三角形． 如图，设BC与DN交于点E， ∵线段CM绕点C逆时针旋转90°得到线段CN， ∴点M，B，N共线，BC垂直平分MN. ∴． 易证． ∵． 又∵，， ∴． 易证． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）或 【解法提示】分两种情况：①如图1，当点M在点B的左边时，由（1）知，，且，∵，P为BM的中点，∴，在中，，∴，此时点P与原点重合，∴点M的坐标为；②如图2，当点M在点B的右侧时，同理可得，∴，∴．∴点M的坐标为．综上可知，点M的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $