广东广州十六中学2025-2026学年高一下学期期中教学质量反馈数学试题

**基本信息** 广州市第十六中学高一年级数学中段试卷，覆盖复数、向量、立体几何、解三角形等核心知识，通过基础辨析与综合应用梯度设计，如向量推导正弦定理（解答题17）、翻折问题空间论证（解答题18），体现数学思维与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、重心向量、空间线面关系|基础概念辨析，如第3题空间命题真假判断| |多选题|3/18|复数性质、解三角形公式、正四棱柱结构|多选项分层考查，如第11题结合中点与距离最值| |填空题|3/15|解三角形、圆锥体积比、正六边形向量最值|实际情境应用，如第13题陀螺体积比问题| |解答题|5/77|立体几何共面与线面平行、向量运算、翻折问题、垂心应用|综合能力提升，如第17题向量推导定理，第19题垂心与锐角三角形综合|

广州市第十六中学2025学年第二学期高中中段教学质量反馈 高一年级数学试卷 命题人：高二备课组 审核人：李意梅 第I卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．下列命题中正确的是（   ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 D．如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 4．已知为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（    ） A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里 6．已知非零向量，满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 7．直三棱柱的所有棱长均为3，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分. 9．已知都是复数，下列选项中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 10．在中，三个内角对边分别为，，则（ ） A． B． C． D．的范围为 11．如图，在正四棱柱中，，E，F，N分别是棱，，的中点，P是上一点，Q在平面内，则（    ） A．平面 B．直线与是异面直线 C．当取得最小值时，的最小值为 D．多面体BDEN的外接球与内切球的半径之比为3:1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则___________． 13．某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1：2．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为___________． 14．设是边长为1的正六边形所在平面上的一点，若点满足，则的最小值是___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点. (1)求证：A1，B，N，P四点共面； (2)点Q为的中点，求证：平面. 16．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）. (1)若， ①求； ②求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 17．如图1，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. (3)用向量方法推导正弦定理采取如下操作： 如图2，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即． 请用上述向量方法探究证明：． 18．如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面. (1)求证：平面； (2)已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求三棱锥的体积； ②过点作平面，使平面平面，求平面截三棱锥所得截面的面积. 19．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 4 5 6 2 8 9 10 答案 0 8 A A 9 0 ABC AC 题号 11 答案 ACD 12.3 13.10:5 14.35-3 15.【详解】14N=B+4,因此AB,水P四点共面： (2)当Q为AD的中点时，PQ∥AC,而四边形AC,NM为平行四边形， 则MNIIA,C,PQ//MN,PQ文平面MBN,MNc平面MBN,则PQ/平面MBN. 16.【详解】(1)①由图知：AC=AD+DC，CB=AB-AC=AB-AD-DC, AD.AB=DC.AD=0,AC=AD+DC, 因为D正=DC,所以E是DC的中点， E厨列0列-+面-5 2 ②法：f=c+F=Dc+C丽=6-0， 所以AC乎=(D+DCaB-D列 -(D.B+Dc孤-D-Dc.D) 2-0 所以cos AC,EF= AC.EF 2 0 ACEFx510 法二：以A为原点，AB、AD所在的直线为分别为xy轴建立 如图所示的平面直角坐标系， 则40o.c,EF32》 则ac=,亚-1》 答案第1页，共2页 所以cos AC,EF= AC.EF 11 2 V10 aCEF2×1+ 1109 4 B (2)由(1)中的法二，设Ex,1,x∈[0，]， a-(x小，F-}x》 所以aF=x引片（6 医为xe小，所ua乐(-亡6引 17.【详解】(1)由正弦定理得cos0(sin4cosB+cosBsinA)=二sinC cos0sin(4+B)=sinc, 2 又：sin(4+8=sinCco0= 2, 得0-号 (2SE3D DEsin-3D.DE-12. 根据余弦定理可得AE2=AD2+DE2-2 AD.DEcos即AD2+DE2-ADDE=13, 则AD2+DE2=25,所以(AD+DE)2=25+24=49,得ADE的周长为7+√13 D园，则阿=1，且m与AC的夹角为π-(0+A,m与CB的夹角为-8-9 D (3)设m ，m与AB的夹角为π-， 因为AC+CB=AB,所以mAC+CB=m·AB, 即m·AC+m.CB=m·AB,即 ACcos[元-(0+A]+m,CBcos[x-(B-0)]=园·ABcos(π-0)， 答案第1页，共2页 所以-ACcos(0+A)-CBcos(B-0)=-ABcose0,即 acos(B-0)+bcos(A+0)=ccos0 18.【详解】(1)因为AD1/BC,BC=2AB=2AD=2√2，AB⊥AD, 所以AD=AB=√2，BD=2,∠DBC=∠ADB=45°， CD=22+22-2x2x2V2cos45=2, 所以BD2+AC2=BC2, 所以CD⊥BD, 因为平面PBD⊥平面BDC,平面PBD∩平面BDC=BD,CDC平面BDC, 所以CD⊥平面PBD,因为PBC平面PBD, 所以CD⊥PB, 又PB⊥PD,CD∩PD=D,CDc平面PDC,PDc平面PDC, 所以PB⊥平面PDC; (2)①连接PM,由(1)知PB⊥平面PDC, 所以∠PMB为直线BM与平面PCD所成的角， 所以PB2V34 又PB=2,所以BM= BM 17 2 在R6BDW,DM=Bn-B0- 因为CD⊥平面PBD,PDc平面PBD,所以CD⊥PD, 所以△PDM为直角三角形， w=mmpB-分分ix5=君 1 322 D ②过点M作MN IIPD交PC于N,MQ/IBD交BC于Q, 则平面截三棱锥P-BCD所得截面图形为△MWQ, 由平面//平面MNQ, 答案第1页，共2页 所以2 CM 12 CD) 出0aCW=c0-w-子Sm-PB0=, 2 、9 所以S,MoF16 所以平面截三棱锥P-BCD所得截面的面积为 9 6 19.【详解】（1)因为sinsin4sin8=lcos2B=1-sim2B,cosC=1-sinC, cos2B-cos2C 所以sin2A-sinAsinB=sinC-sinB, 由正弦定理得a2-ab=c2-b2, 则cosC=a+b2-c21 2ab2' 因为C∈(0，，所以C= 3 (2)因为c=√5，a+b=V6,c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(V3=(6-3ab,解得ab=1, 设边AB上的角平分线CD长为x, 则5bsnC-a+创xsm号，即absn子-a+创s 6, 即55，解得=巨，即边8上的角平分俊CD长为5 22 2 D (3)延长AF交BC于M,延长BF交AC于E, 设∠BCF=6,0∈0， 03所以∠ACF=-0, 3 在Rt△CMF中MF=CF sin0=6sin0, 在△CEB中LECB=T, ∠EC-所以∠EBC 6 在Rt△BMF中 BF=MF =12sin0 π ,同理可得AF=2EF=12sin sin 6 答案第1页，共2页 所以V3CF-AF 63-12sin0 3-2 sin cos0-cossin0 (3 BF 12sin0 2sin0 3-3 cos0+sine 2sin0 -51-cos01 23sin 21-5n01 2sin0 2 4sin in O tan 2c082 22 因为0e0》 所以0》 0 0 即5CC的取组范围为[) BF M 答案第1页，共2页