几何压轴题期末强化训练1 2025-2026学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦八年级几何核心难点，以动态问题为载体，系统整合全等变换、模型应用与最值探究，构建"问题情境-模型识别-策略选择"的解题闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等与旋转|5题（如1/5/9题）|SAS证全等、旋转构全等、分类讨论位置关系|从静态全等过渡到动态旋转，建立"等角夹等边"的模型认知| |动态几何与最值|6题（如2/4/18题）|对称转化、轨迹分析、垂线段最短|结合图形运动轨迹，渗透转化思想，培养空间观念| |坐标系综合|7题（如7/12/13题）|一线三直角、坐标变换、参数表示|融合代数工具与几何推理，发展数形结合能力|

八年级上册几何压轴题强化训练1 1．（2023秋•广州期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝　 　 ． （2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β，当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由． 2．（2024秋•黄埔区期末）如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上运动，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是 　 　 ． 3．（2024秋•越秀区期末）如图，∠BAC＝∠ABC＝∠ADC＝45°，∠ACD＝α（0°＜α＜90°），连接BD．给出下列四个结论： ①当α＝20°时，∠BCE＝70°； ②当∠DAC＝2∠ACD时，BD平分AC； ③点P为直线DE上一点，当PA+PB最小时，∠CAP＝α﹣45°； ④若CD＝9，△ACD的面积为18，则△BCD的面积为； 其中正确的是 　 　 .（填写所有正确结论的序号） 4．（2023秋•荔湾区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，BC＝6，△DBC的面积为24，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M、N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为 　 　 ． 5．（2025秋•南岔县期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，D是直线BC上的一动点（点D不与点B，C重合），连接CE． （1）如图①，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD； （2）如图②，当点D在边BC的延长线上时，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系； （3）如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系． 6．（2025秋•昌平区期末）如图，在等边△ABC中，D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，AD，CE交于点P． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）直接写出∠APE的度数，∠APE＝　 　 °； （3）连接BP，若BP⊥AP，用等式表示AP和CP的数量关系，并证明． 7．（2024秋•黄埔区期末）在平面直角坐标系内，已知A（a，0），B（0，b），且满足（a﹣b）2＝0． （1）如图1，∠ABO＝　 　 °； （2）如图2，点D是线段OA上一点，点C在第一象限，连接OC、CD、BC．若CD交AB于点E．满足∠CBE＝∠CEB，OC⊥BC，BC＝5，DE＝7，求点A到OC的距离； （3）如图3，若∠AOC＝45°，点A（4，0），点P在射线OC上运动，连接PA，以AP为斜边向下作等腰直角△APQ，当点P运动的过程中，求BQ的最小值． 8．（2023春•荔湾区校级期中）已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B． （1）求A点坐标． （2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG＝45°，设OF＝a，AG＝b，FG＝c，试探究的值是否为定值？如果是，求此定值；如果不是，请说明理由． 9．（2025秋•富锦市期末）△ABC，△AEF是等边三角形，点F在直线BC上，ED⊥AB，交直线AB于点D． （1）当点F在边BC上时，如图①，求证：AC﹣BF＝2BD； （2）当点F在BC的延长线上时，如图②；当点F在CB的延长线上时，如图③，其他条件不变，线段AC，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 10．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，0），B（0，b），且b满足|4﹣b|＝0． （1）求点B的坐标． （2）P（0，t）为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM＝PA． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，线段OM与AB的关系． 11．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，D为BC延长线上一点，E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED． （1）如图1，当∠BAC＝50°时，求∠AED的度数． （2）当∠BAC＝60°时， ①如图2，连接AD，按边分，△AED是 　 　 三角形． ②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE，P为直线CF上的一个动点．说明当点P在什么位置时，PE﹣PD的值最大？并求出这个最大值． 12．（2025秋•三明期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 　 　 ，∠OAB的度数为 　 　 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，DE平分∠ODC，BD与OC交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由． 13．（2025秋•南京期末）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，可以证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0），求点B的坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求点B的坐标； （3）如图4，等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 14．（2020春•英德市期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为点D、E．证明：①∠CAE＝∠ABD；②DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 15．（2025•济宁一模）（1）自主探究： 如图（1），在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以点C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE、DF、EF之间的数量关系，并加以说明． 16．（2025秋•连城县期中）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第60页有这样一道习题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5，DE＝1.7，求BE的长．” （1）琪琪通过分析，得到下面的解题思路：利用“角角边”证得△CBE与△ACD全等，进而得出CE＝AD，BE＝CD，最后求得BE的长为　 　 ； （2）类比探究：如图2，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知：AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：CF+EF＝BE； （3）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，将△ABE沿点A逆时针旋转120°得到△ADG．请直接写出线段BE，EF，FD之间的数量关系　 　 ． 17．（2023秋•荔湾区期末）如图，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣3）2+|2b﹣6|＝0． （1）如图1，求△AOB的面积； （2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当点P在x轴正半轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 18．（2025秋•越秀区校级期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到线段AE，则∠DAE＝120°，AE＝AD，连接BE交AD于点F，交AC于点H． （1）如图1，当点D为BC中点时，且AD＝3，求点E到直线AB的距离； （2）如图2，猜想线段AB，BD，AH之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在△ABC内部有一个动点P，连接PA，PB，PC，若等边△ABC的高等于6，当PA+PB+PC的值最小时，直接写出此时线段PC的长． 八年级上册几何压轴题强化训练1 1．（2023秋•广州期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝　25°　 ． （2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β，当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）25°； （2）α＝β，或α+β＝180°． 【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝25°； （2）如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵∠BAC＝α，∠DCE＝β， ∴α＝β． 如图2，当D在线段BC上时，α+β＝180°， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠ACM＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠MCE， ∴∠BAC＝∠MCE＝α， ∵∠DCE＝β， ∵∠DCE+∠MCE＝180°， ∴α+β＝180°， 当点D在CB的延长线上，同理α＝β， 综上所述：α＝β，或α+β＝180°． 2．（2024秋•黄埔区期末）如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上运动，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是 　a+b ． 【答案】a+b 【解答】解：作射线CF， ∵△ABC和△AEF都是等边三角形， ∴AC＝AB，AF＝AE，∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠CAF＝∠BAE＝60°﹣∠CAE， 在△CAF和△BAE中， ， ∴△CAF≌△BAE（SAS）， ∵BD为等边△ABC的中线， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°，BD⊥AC，AD＝CD， ∴∠ACF＝∠ABE＝30°， ∴点F在射线CF上运动， 作点A关于直线CF的对称点H，连接AH、CH，DH、FH， ∵CF垂直平分AH， ∴HC＝AC，HF＝AF， ∴∠HCF＝∠ACF＝30°， ∴∠ACH＝2∠ACF＝60°， ∴△AHC是等边三角形， ∴AH＝AC＝AB，HD⊥AC， ∴∠ADH＝∠ADB＝90°， ∴∠ADH+∠ADB＝180°， ∴B、D、H三点在同一条直线上， ∵AH＝AB，AD⊥BH， ∴HD＝BD＝b， ∵AC＝a， ∴AD＝CDa， ∵HF+DF≥DH， ∴AD+AF+DF≥AD+DH， ∴AD+AF+DFa+b， ∴△ADF周长的最小值为a+b． 3．（2024秋•越秀区期末）如图，∠BAC＝∠ABC＝∠ADC＝45°，∠ACD＝α（0°＜α＜90°），连接BD．给出下列四个结论： ①当α＝20°时，∠BCE＝70°； ②当∠DAC＝2∠ACD时，BD平分AC； ③点P为直线DE上一点，当PA+PB最小时，∠CAP＝α﹣45°； ④若CD＝9，△ACD的面积为18，则△BCD的面积为； 其中正确的是 　①②④　 .（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解答】解：①当α＝20°时，即∠ACD＝20°， ∵∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝70°，故①正确； ②设AC，BD交于O，过A作AH⊥CD于H， ∵∠ACD＝α， ∴∠DAC＝2∠ACD＝2α， ∵∠ADC＝45°， ∴∠DAH＝45°， ∴∠CAH＝2α﹣45°， ∵∠ACH+∠CAH＝90°， ∴2α﹣45+α＝90°， ∴α＝45°， ∴∠ADC＝∠DAC＝45°， ∴∠DAC＝∠ACB＝90°， ∴AD＝AC＝CB， ∵∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（AAS， ∴AO＝CO， ∴BD平分AC；故②正确； ③作点A关于DE的对称点F，连接FB交DE于P， 此时PA+PB的值最小， 如图，假设∠APD＝45°， ∴∠CAP＝45°﹣α，故∠CAP不一定α﹣45°，故③错误； ④如图，过A作AH⊥CD于H， ∵CD＝9，△ACD的面积为18， ∴AH4， ∵∠ADH＝45°， ∴AH＝DH＝4， ∴CH＝CD﹣DH＝5， ∵∠AHC＝∠ACB＝∠BMC＝90°， ∴∠ACH+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°， ∴∠ACH＝∠CBM， ∵AC＝BC， ∴△ACH≌△CBM（AAS）， ∴BM＝CH＝5， ∴△BCD的面积为CD•BM9×5，故④正确． 故答案为：①②④． 4．（2023秋•荔湾区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，BC＝6，△DBC的面积为24，AB的垂直平分线MN分别交AB，AC于点M、N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：连接AQ，过点D作DH⊥BC于H ∵△DBC面积为24，BC＝6， ∴•BC•DH＝24， ∴DH＝8， ∵MN垂直平分线段AB， ∴PA＝PB， ∴PB+PQ＝AP+PQ≥AQ， ∴当AQ的值最小时，PB+PQ的值最小， 根据垂线段最短可知，当AQ⊥BC时，AQ的值最小， ∵AD∥BC， ∴AQ＝DH＝8，． ∴PB+PQ的值最小值为8． 5．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，D是直线BC上的一动点（点D不与点B，C重合），连接CE． （1）如图①，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD； （2）如图②，当点D在边BC的延长线上时，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系； （3）如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系． 【答案】（1）BC＝BD+CD＝CE+CD； （2）BC＝CE﹣CD，CE⊥CB； （3）BC＝CD﹣CE，CE⊥CB． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD＝CE+CD； （2）解：BC＝CE﹣CD；CE⊥BC；理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD ∴BC＝BD﹣CD＝CE﹣CD， ∵∠ABC＝∠ACB＝45° ∴∠ACE＝∠ABD＝45°， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴CE⊥BC； （3）解：BC＝CD﹣CE，CE⊥BC；理由如下： 同（1）得：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∴BC＝CD﹣BD＝CD﹣CE， ∵∠ABD＝135°，∴∠ACE＝135°， 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°， ∴CE⊥BC． 6．（2025秋•昌平区期末）如图，在等边△ABC中，D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，AD，CE交于点P． （1）求证：△ACD≌△CBE； （2）直接写出∠APE的度数，∠APE＝　60　 °； （3）连接BP，若BP⊥AP，用等式表示AP和CP的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACD＝∠B＝60°，AB＝CB， ∵AE＝BD， ∴BE＝CD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）． （2）解：∵△ACD≌△CBE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∴∠APE＝∠CAD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝60°； （3）解：AP＝2PC， 理由：在AP上截取AQ＝CP， 由（2）知∠APE＝60°， ∴∠CAP+∠ACP＝∠APE＝60°， ∵∠CAP+∠BAD＝60°，∴∠BAQ＝∠ACP， ∵AB＝AC， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴BQ＝AP，∠AQB＝∠CPA＝120°， ∴∠BQP＝60°， ∵BP⊥AP，∴∠APB＝90°，∴∠PBQ＝30°， ∴PQBQAP，∴AQAP， ∴AP＝2PC． 7．（2024秋•黄埔区期末）在平面直角坐标系内，已知A（a，0），B（0，b），且满足（a﹣b）2＝0． （1）如图1，∠ABO＝　45　 °； （2）如图2，点D是线段OA上一点，点C在第一象限，连接OC、CD、BC．若CD交AB于点E．满足∠CBE＝∠CEB，OC⊥BC，BC＝5，DE＝7，求点A到OC的距离； （3）如图3，若∠AOC＝45°，点A（4，0），点P在射线OC上运动，连接PA，以AP为斜边向下作等腰直角△APQ，当点P运动的过程中，求BQ的最小值． 【答案】（1）45； （2）12； （3）BQ的最小值为2． 【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝0． ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∵A（a，0），B（0，b）， ∴OA＝OB， ∵∠BOA＝90°， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°； （2）过点A作AH⊥OC于点H，如图1， ∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△OBC和△OHA中， ， ∴△OBC≌△OHA（AAS）， ∴OC＝AH， ∵CO＝CD，OB＝OA， ∴∠2＝∠4，∠OBA＝∠OAB＝45°， ∵∠4＝∠5+∠OAB＝∠5+45°， ∠2＝∠OBC＝∠7+∠OBA＝∠7+45°， ∴∠5＝∠7， 又∵∠5＝∠6， ∴∠6＝∠7，∴CE＝CB＝5， ∴AH＝CO＝CD＝CE+ED＝5+7＝12； （3）分别过P、Q点作PM∥x轴，MN∥y轴， ∵∠PQA＝90°，PQ＝AQ，∴∠PQM+∠AQN＝90°， 又∵∠MPQ+∠PQM＝90°，∴∠MPQ＝∠NQA， 在△PMQ和△QNA中， ， ∴△PMQ≌△QNA（AAS）， ∴MQ＝AN，QN＝PM， ∴设Q（x，y）， ∵P（t，t），A（4，0）， ∴， 解得， ∴Q点在垂直x轴的直线上运动， ∴BQ≥2， 如图3，当B、Q在AP的异侧时，同理可得： ∴， 解得， ∴Q点在垂直y轴的直线上运动且x≥2， ∴BQ≥2， 综上所述，BQ的最小值为2． 8．（2023春•荔湾区校级期中）已知A（m，n），且满足|m﹣2|+（n﹣2）2＝0，过A作AB⊥y轴，垂足为B． （1）求A点坐标． （2）如图1，分别以AB，AO为边作等边△ABC和△AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）如图2，过A作AE⊥x轴，垂足为E，点F、G分别为线段OE、AE上的两个动点（不与端点重合），满足∠FBG＝45°，设OF＝a，AG＝b，FG＝c，试探究的值是否为定值？如果是，求此定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）A（2，2）； （2）线段AC和DC的数量关系为：AC＝DC，位置关系为：AC⊥DC，理由见解析； （3）是定值，定值为1． 【解答】解（1）∵|m﹣2|+（n﹣2）2＝0， ∴， 解得：， ∴A（2，2）； （2）线段AC和DC的数量关系为：AC＝DC，位置关系为：AC⊥DC，理由如下： 连接OC，如图1所示： 由（1）得：A（2，2） ∵AB⊥y轴， ∴∠ABO＝90°，AB＝BO＝2， ∴△ABO为等腰直角三角形， ∴∠BAO＝∠BOA＝45°， ∵△ABC，△OAD为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠OAD＝∠AOD＝60°，OA＝OD，AB＝BC， ∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，OB＝BC，∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，即∠DAC＝∠BAO＝45°， ∴∠BOC（180°﹣∠OBC）（180°﹣30°）＝75°， ∴∠AOC＝∠BOC﹣∠BOA＝75°﹣45°＝30°， ∴∠DOC＝∠AOC＝30°， 在△OAC和△ODC中， ， ∴△OAC≌△ODC（SAS）， ∴AC＝CD， ∴∠ADC＝∠DAC＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∴AC⊥CD； （3）是定值，理由如下： 在x轴负半轴取点M，使得OM＝AG＝b，连接BM，如图2所示： ∵AB⊥y轴，AE⊥x轴，x轴⊥y轴， ∴四边形ABOE是矩形， ∴∠ABO＝∠A＝∠BOM＝90°， 在△BAG和△BOM中， ， ∴△BAG≌△BOM（SAS）， ∴∠OBM＝∠ABG，BM＝BG， ∵∠FBG＝45°， ∴∠ABG+∠OBF＝45°， ∴∠OBM+∠OBF＝45°，即∠FBM＝45°， ∴∠FBM＝∠FBG， 在△MBF和△GBF中， ， ∴△MBF≌△GBF（SAS）， ∴MF＝FG＝c， ∵MF＝OF+OM＝a+b， ∴a+b＝c， ∴1， ∴是定值，定值为1． 9．（2025秋•富锦市期末）△ABC，△AEF是等边三角形，点F在直线BC上，ED⊥AB，交直线AB于点D． （1）当点F在边BC上时，如图①，求证：AC﹣BF＝2BD； （2）当点F在BC的延长线上时，如图②；当点F在CB的延长线上时，如图③，其他条件不变，线段AC，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 【解答】（1）证明：如图①，△ABC，△AEF是等边三角形，连接BE， ∴∠CAB＝∠FAE＝60°，AB＝AC，AE＝AF， ∴∠CAF＝∠BAE， 在△ACF与△ABE中， ， ∴△ACF≌△ABE（SAS）， ∴∠C＝∠ABE＝60°，CF＝BE， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴， ∴CF＝2BD， ∵BC＝AC， ∴AC﹣BF＝2BD； （2）解：当点F在BC的延长线上时，BF﹣AC＝2BD；当点F在CB的延长线上时，AC+BF＝2BD．理由如下： 如图②，△ABC，△AEF是等边三角形，连接BE， ∴AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝60°， ∴∠CAF＝∠BAE，∠ACF＝120°， 在△ACF和△ABE中， ， ∴△ACF≌△ABE（SAS）， ∴CF＝BE，∠ACF＝∠ABE＝120°， ∴∠EBD＝60°， ∵ED⊥AB，∴∠DEB＝30°，∴， ∴CF＝2BD， ∵BC＝AC， ∴BF﹣AC＝2BD； 如图③，△ABC，△AEF是等边三角形，连接BE， ∴AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠CAF＝∠BAE， 在△ACF和△ABE中， ， ∴△ACF≌△ABE（SAS）， ∴CF＝BE，∠C＝∠ABE＝60°， ∵ED⊥AB，∴∠DEB＝30°， ∴，∴CF＝2BD， ∵BC＝AC， ∴AC+BF＝2BD． 10．（2024秋•海珠区校级期末） 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（4，0），B（0，b），且b满足|4﹣b|＝0． （1）求点B的坐标． （2）P（0，t）为y轴上一动点，连接AP，过点P在线段AP上方作PM⊥PA，且PM＝PA． ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB，过点B作PM的平行线交x轴于点R，求点R的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接OM，探究当OM取最小值时，线段OM与AB的关系． 【答案】（1）B（0，4）； （2）①R（﹣t，0）；②OM′且OM′∥AB． 【解答】解：（1）∵b满足|4﹣b|＝0， ∴B（0，4）； （2）①∵PM⊥AP， ∴∠MPA＝∠AOP＝90°， ∴∠MPB+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠MPB＝∠OAP， 又∵BR∥MP， ∴∠MPB＝∠RBO， ∴∠PAO＝∠RBO， 而A（4，0），B（0，4） ∴OA＝OB， ∴△RBO≅△PAO（ASA）， ∴RO＝PO； ∵P（0，t）且点P在y轴正半轴上， ∴R（﹣t，0）； ②如图3，过点M作MN⊥y轴于N， ∵PM⊥PA， ∴∠MPN+∠APO＝90°， ∵∠PAO+∠APO＝90°， ∴∠MPN＝∠PAO， ∵PM＝PA，∠PNM＝∠POA＝90°， ∴△PMN≅△APO（AAS）， ∴MN＝PO，PN＝OA， 又∵OA＝OB， ∴OB＝PN， ∴BN＝OP＝MN， ∴BMN是等腰直角三角形， ∴∠NBM＝45°， ∴M点在过B点且平行于第一、三象限角平分线的直线上运动， 如图4，设直线BM′与x轴交于点D，当OM′⊥BD时，OM′最小， ∵∠M′BO＝∠OBA＝∠BAO＝45°， ∴△BDA是等腰直角三角形， ∴BOD是等腰直角三角形，且BD＝BA， 又∵OM⊥BD， ∴△BM′O、△DM′O均是等腰直角三角形， ∴OM，∠M′OD＝∠BAO ∴OM′且OM′∥AB． 11．（2024秋•翁牛特旗期末）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，D为BC延长线上一点，E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED． （1）如图1，当∠BAC＝50°时，求∠AED的度数． （2）当∠BAC＝60°时， ①如图2，连接AD，按边分，△AED是 　等边　 三角形． ②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD＝∠CAE，P为直线CF上的一个动点．说明当点P在什么位置时，PE﹣PD的值最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）∠AED＝80°； （2）①等边； ②点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，最大值为2，理由见解析过程． 【解答】解：（1）∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点， ∴EA＝EC＝ED， ∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC， ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝50°， ∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°， ∴∠ACD＝180°﹣40°＝140°， ∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝280°， ∴∠AED＝360°﹣280°＝80°． （2）①∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点， ∴EA＝EC＝ED， ∴∠EAC＝∠ECA，∠ECD＝∠EDC， ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ACD＝180°﹣30°＝150°， ∴∠EAC+∠ACD+∠EDC＝300°， ∴∠AED＝360°﹣300°＝60°， ∴△ADE是等边三角形； ②点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，理由如下： 如图3中，作点D关于直线CF的对称点D'，连接CD'，DD'，ED'． 当点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，此时PE﹣PD＝ED'， ∵∠CFD+∠CFE＝180°，∠CFD＝∠CAE， ∴∠CAE+∠CFE＝180°， ∴∠ACF+∠AEF＝180°， ∵∠AED＝60°， ∴∠ACF＝120°， ∴∠ACB＝∠FCD＝30°， ∴∠DCF＝∠FCD'＝30°，∴∠DCD'＝60°， ∵CD＝CD'，∴△CDD′是等边三角形， ∴DC＝DD'，∠CDD'＝∠ADE＝60°， ∴∠ADC＝∠EDD'， ∵DA＝DE， ∴△ADC≌△EDD'（SAS）， ∴AC＝ED'， ∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB， ∴PE﹣PD＝2AB＝2×1＝2． ∴点P在ED'的延长线上时，PE﹣PD的值最大，最大值为2， 12．（2025秋•三明期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0，过点B作BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD． （1）A点的坐标为 　（﹣8，0）　 ，∠OAB的度数为 　45°　 ； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为（3，﹣2），连接CD，DE平分∠ODC，BD与OC交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断DF与CE的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）已知A（a，0）、B（0，b）分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足（a﹣b）2+|b+8|＝0， ∴b＝﹣8，a＝b＝﹣8， ∴A、B的坐标分别为：A（﹣8，0），B（0，﹣8）， ∴OA＝OB＝8， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝45°， 故答案为：（﹣8，0），45°； （2）OC与OD的数量关系：OC＝OD，位置关系：OC⊥OD；理由如下： 设AC与y轴交于点P，BD与OA交于点F，如图1， ∵BE⊥AC， ∴∠BEA＝90°， 在△AEF和△BOF中，∠AEF＝∠BOF＝90°，∠AFE＝∠BFO， ∴∠OAC＝∠OBD， 在△OAC和△OBD中， ， ∴△OAC≌△OBD（SAS）， ∴OC＝OD，∠C＝∠D，∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC﹣90°＝∠BOD﹣90°，即∠POC＝∠FOD， ∴∠DOC＝∠POD+∠POC＝∠POD+∠FOD＝∠POA＝90， ∴OC⊥OD， 即OC＝OD，OC⊥OD； （3）①作DM⊥y轴交y轴于点M，CN⊥y轴交y轴于点N，如图2， ∵点C的坐标为（3，﹣2）， ∴ON＝2，CN＝3， 由（2）知OC＝OD，∠COD＝90°， ∵∠DOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°， ∴∠DOM＝∠OCN， ∵∠OMD＝∠CNO＝90°， ∴△OMD≌△CNO（AAS）， ∴OM＝CN＝3，MD＝NO＝2， ∴D（2，3）； ②DF＝2CE．理由如下： 延长DO交AC于点G，如图3， ∵∠ODB＝∠OCA，∠COD＝∠COG＝90°，OC＝OD， ∴△COG≌△DOF（ASA）， ∴CG＝DF， ∵DF平分∠ODC，∴∠CDE＝∠GDE， ∵DE＝DE，∠DEC＝∠DEG＝90°， ∴△DCE≌△DGE（ASA）， ∴，即DF＝2CE． 13．（2025秋•南京期末）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，可以证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图2，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0），求点B的坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0），求点B的坐标； （3）如图4，等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系． 【答案】（1）（﹣3，1）； （2）（﹣1，1）； （3）m+a＝﹣n． 【解答】解：（1）过点B作BD⊥OC交直线OC于点D，如图2， ∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠BCD+∠ACO＝90°， ∴∠BCD＝∠CAO， 在△BDC和△COA中， ， ∴△BDC≌△COA（AAS）， ∴BD＝CO，DC＝OA， ∵点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0）， ∴BD＝CO＝1，DC＝OA＝2， ∴OD＝OC+CD＝3， 则点B的坐标为（﹣3，1）； （2）过点B作BE⊥y交于点E，如图3， ∵点C的坐标为（0，﹣1），A点的坐标为（2，0）， ∴OC＝1，OA＝2， ∵∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， 在△CEB和△AOC中， ， ∴△CEB≌△AOC（AAS）， ∴BE＝OC＝1，CE＝OA＝2， 则OE＝CE﹣OC＝1， 那么，点B的坐标（﹣1，1）； （3）m+a＝﹣n；理由如下： 如图4，作BD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥x交于点E， 则OD＝BE，BD＝OE， ∵点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限， ∴OA＝a，OE＝BD＝m，OD＝BE＝﹣n， 同理可证，△AOC≌△CEB， ∴OA＝EC＝a，OC＝EB＝﹣n， ∵OE＝OC﹣EC， ∴m＝﹣n﹣a， 则m+a＝﹣n． 14．（2020春•英德市期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为点D、E．证明：①∠CAE＝∠ABD；②DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 【解答】（1）证明：①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD； ②在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：成立：DE＝BD+CE． 证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N， ∴∠EMI＝GNI＝90°， 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN， ∴EM＝GN， 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点． 15．（2025•济宁一模）（1）自主探究： 如图（1），在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围． （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以点C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE、DF、EF之间的数量关系，并加以说明． 【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝6， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16， ∴2＜AD＜8； （2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图2所示： 同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS）， ∴BM＝CF， ∵DE⊥DF，DM＝DF， ∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM， ∴BE+CF＞EF； （3）解：BE+DF＝EF；理由如下： 延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示： ∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°， ∴∠NBC＝∠D， 在△NBC和△FDC中，， ∴△NBC≌△FDC（SAS）， ∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD， ∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°， ∴∠BCE+∠FCD＝70°， ∴∠ECN＝70°＝∠ECF， 在△NCE和△FCE中，， ∴△NCE≌△FCE（SAS）， ∴EN＝EF， ∵BE+BN＝EN， ∴BE+DF＝EF． 16．（2025秋•连城县期中）教材呈现：人教版数学教材八年级上册第60页有这样一道习题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5，DE＝1.7，求BE的长．” （1）琪琪通过分析，得到下面的解题思路：利用“角角边”证得△CBE与△ACD全等，进而得出CE＝AD，BE＝CD，最后求得BE的长为　0.8　 ； （2）类比探究：如图2，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知：AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：CF+EF＝BE； （3）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，将△ABE沿点A逆时针旋转120°得到△ADG．请直接写出线段BE，EF，FD之间的数量关系EF＝BE+FD ． 【解答】（1）解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠CEB＝∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠CAD＝90°﹣∠ACD， 在△CBE和△ACD中， ， ∴△CBE≌△ACD（AAS）， ∴CE＝AD，BE＝CD， ∵AD＝2.5，DE＝1.7， ∴CE＝2.5，则CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8， ∴BE＝0.8． （2）证明：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF， ∴∠AEB＝∠CFA，∠ABE＝∠CAF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝AF，CF＝AE， ∴CF+EF＝AE+EF＝AF＝BE； （3）解：EF＝BE+FD． 证明：依题意，△ABE≌△ADG， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，又∠EAF＝60°，∠BAD＝120°， ∴∠FAD+∠BAE＝60°， ∴∠GAF＝∠FAD+∠DAG＝60°， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△EAF和△GAF中， ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴EF＝DG+FD＝BE+FD． 17．（2023秋•荔湾区期末）如图，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣3）2+|2b﹣6|＝0． （1）如图1，求△AOB的面积； （2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当点P在x轴正半轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】（1）△AOB的面积为； （2）CD＝BD+AC，证明见解答过程； （3）线段BQ为定值6． 【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|2b﹣6|＝0， ∴a﹣3＝0，2b﹣6＝0， ∴a＝3，b＝3， ∴A（3，0）、B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， ∴△AOB的面积3×3； （2）CD＝BD+AC，证明如下： 如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF， ∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°， ∴∠BDF＝180°，即D，B，F共线， ∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°， ∴∠BOD+∠AOC＝45°， ∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠AOC+∠BOD＝45°， 在△ODF与△ODC中， ， ∴△ODF≌△ODC（SAS）， ∴DC＝DF， ∵DF＝BD+BF， ∴CD＝BD+AC； （3）BQ是定值，理由如下： 作EF⊥OA于F，在FE上截取FD＝PF，如图3： ∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE， ∴∠BPA＝90°﹣∠EPF＝∠PED，PB＝PE， ∵∠BAO＝∠PDF＝45°， ∴∠PAB＝∠PDE＝135°， 在△PBA与△EPD中， ， ∴△PBA≌EPD（AAS）， ∴AP＝ED， ∴FD+ED＝PF+AP，即FE＝FA， ∴∠FEA＝∠FAE＝45°， ∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°， ∴OA＝OQ＝3， ∴BQ＝6． ∴线段BQ为定值6． 18．（2025秋•越秀区校级期中）在等边△ABC中，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到线段AE，则∠DAE＝120°，AE＝AD，连接BE交AD于点F，交AC于点H． （1）如图1，当点D为BC中点时，且AD＝3，求点E到直线AB的距离； （2）如图2，猜想线段AB，BD，AH之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在△ABC内部有一个动点P，连接PA，PB，PC，若等边△ABC的高等于6，当PA+PB+PC的值最小时，直接写出此时线段PC的长． 【答案】（1）点E到直线AB的距离为； （2）AB＝2AH+BD，证明见解答过程； （3）当PA+PB+PC的值最小时，线段PC的长为4． 【解答】解：（1）过E作EH⊥AB交BA延长线于H，如图： ∵△ABC是等边三角形，点D为BC中点， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC60°＝30°， ∵∠DAE＝120°， ∴∠EAH＝180°﹣∠DAE﹣∠BAD＝30°， ∵AE＝AD＝3， ∴EHAE； 即点E到直线AB的距离为； （2）AB＝2AH+BD，证明如下： 在AC上截取CG＝BD，连接BG，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC， ∵CG＝BD， ∴△ABD≌△BCG（SAS）， ∴AD＝BG，∠CBG＝∠BAD， ∵将线段AD绕A点逆时针旋转120°至AE位置， ∴AD＝AE，∠DAE＝120°， ∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝60°﹣∠CBG，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+120°， ∴BG＝AE，∠ABG+∠BAE＝60°﹣∠CBG+∠BAD+120°＝180°， ∴BG∥AE， ∴∠E＝∠HBG， 又∵BG＝AE，∠AHE＝∠GHB， ∴△AHE≌△GHB（AAS）， ∴AH＝GH， ∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+CG， ∴AB＝2AH+BD； （3）将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△KTB，连接PT，连接CK交AB于O，如图： ∵将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△KTB， ∴PA＝KT，PB＝BT，∠PBT＝60°， ∴△BPT是等边三角形， ∴PB＝PT， ∴PA+PB+PC＝KT+PT+CP， ∴当C，P，T，K共线时，PA+PB+PC的值最小，即P，T在线段CK上时，PA+PB+PC的值最小， 如图： ∵将△APB绕点B顺时针旋转60°，得到△KTB， ∴△APB≌△KTB，∠ABK＝60°， ∴AB＝KB， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝KB，∠CBK＝∠ABC+∠ABK＝120°， ∴∠KCB＝∠K＝（180°﹣∠CBK）÷2＝30°， ∵△BPT是等边三角形， ∴∠BPT＝60°＝∠BTP， ∴∠PBC＝∠BPT﹣∠KCB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠KCB＝∠PBC＝30°， ∴BP＝CP， 同理，KT＝BT， ∴PC＝PT＝KT， ∵∠KCB＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠BOC＝90°， ∵BC＝KB，等边△ABC的高等于6， ∴CO＝KO＝6， ∴CK＝12， ∴PCCK＝4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $