上海市闸北第八中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以巴黎奥运会花样游泳“山”字造型为情境载体，分层考查向量、三角函数、解三角形等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用梯度设计，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|向量运算（1/7/8）、三角函数周期（2）、解三角形（5）|11题等边三角形向量最值，考查空间观念与创新意识| |选择题|4/18|象限判断（13）、基底选择（14）、向量命题（15）|16题函数恒成立与零点综合，体现推理能力| |解答题|5/78|三角化简（17）、向量夹角（18）、函数图像（19）、奥运情境应用（20）、函数综合（21）|20题结合LOGO设计求面积，21题图像平移与对称，注重模型意识与应用能力|

闸北八中2025学年度第二学期期中考试高一数学学科答案 一、填空题 1．已知向量，则． 【答案】 2．函数的最小正周期为________． 【答案】 3．若，则__________. 【答案】 4．在矩形中，，，则_____________. 【答案】 5．在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 【答案】/ 6．若函数为奇函数，则. 【答案】 7．在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【详解】由题意得. 8．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义即可得； 【详解】在方向上的投影向量的公式为：， 所以，， 将结果代入公式: . 9．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】 10．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】(0,1] 【难度】0.85 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【详解】由，，得， 而函数在上单调递增，则， 因此，解得， 所以的取值范围为. 11．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 12．已知函数，若存在，使得，则的最小值为________． 【答案】5 【难度】0.51 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果即可. 【详解】因为，又存在，使得， 所以在上要有最大值与最小值，且， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 经分析，要使最小，需区间包含区间， 即且时，解得，所以的最小值为. 二、单选题 13．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 14．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【详解】因为，所以共线，故A不符合题意； 因为，所以不共线，故B符合题意； 因为，所以共线，故C不符合题意； 因为，所以共线，故D不符合题意； 15．下面命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平行向量（共线向量）、向量的模、相等向量 【详解】对A，若，则，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 16．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的周期性求值、辅助角公式 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 三、解答题 17． （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 18．已知，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】 (1) (2) 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积 【分析】 （1）由向量数量积的运算律可求解； （2）由向量夹角公式可求解. 【详解】（1）由，则； 由； （2）由，则， . 19．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. （2）当时，，， ∴函数的取值范围是. 最大值为4，此时 最大值为1，此时 20．北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E．        (1)求； (2)求； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得； （2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得； （3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理， ，所以． （2）在中，，在中，由余弦定理， ， 则， ． （3）在中，，， 由正弦定理，， ， 四边形的面积为． 21．已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为，求的单调区间 (3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数； （2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围. 【详解】（1）依题意， （2）由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，上单调递减; （3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则， 解得:,又，即有，，于是. 由得：，，而函数的周期， 依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根， 则有,即，解得：， 所以正实数λ的取值范围是. 试卷第2页，共9页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闸北八中2025学年度第二学期期中考试高一数学学科试题 (考试时间 120 分钟) 2026年4月 一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1．已知向量，则． 2．函数的最小正周期为________． 3．若，则__________. 4．在矩形中，，，则_____________. 5．在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为__________. 6．若函数为奇函数，则. 7．在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 8．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 9．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 10．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 11．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 12．已知函数，若存在，使得，则的最小值为________． 二、选择题(本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分) 13．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 15．下面命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.（本题满分14分） （1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 18.（本题满分14分） 已知，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 19.（本题满分14分） 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的的值． 20.（本题满分18分）． 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E．        (1)求； (2)求； (3)求四边形的面积． 21. （本题满分18分） 已知函数 (1)化简的表达式. (2)若的最小正周期为，求的单调区间 (3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $