上海市格致中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

格致中学 二O二五学年度第二学期期中考试 高一年级· 数学试卷 (共4页) (测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷) 友情视本，昨天，你影站经历了圾苦的学习，伞天，你必将痕得可鲁的状我 视你：代实守信，沈暑冷柏，细数陪实，自信自强，去迎端触科 一、填空题：（本大题共12小题，其中第1-6小题，每题3分，第7-12小题， 的 每题4分，满分42分) 1.己知A=(0,+o),B+{y少=cosk元，keZ,则A∩B= 2.函数y=tan的定义域为 3 3.已知角a为第三象限角，且sina= 则sin2a= 4.圆心角为2rad,周长为8cm的扇形的面积是 cm2. 」 5.己知{an}是等差数列，a6=1,a26=21,则ao6= 6.已知f(x)=x2+asinx（aeR),若f(2)=3+5,则f(-2)= 7,已知lna+ln2b=1,则a+b的最小值为 8已知f()=4sn(@x+p)(0>0-<p<受)，函数 y=∫(x)的部分图像如图所示，则函数y=∫(x)的最小正 赳 周期为 9. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上是严格增函数，若 f(x)>f(2x-1),则x的取值范围为 10.已知等比数列{a}的公比为q,若 4=2，则立4g的取值范围是 11.如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC,在边BC 上设置一个观景点D,点D到顶点C的距离为3百米，AD平 二O二五学年度第二学期高一数学期中考试 第1页共4页 分∠BAC,边AB和AD的长度都为4百米，现需要沿着三角形草地ABC的边安 装一圈灯带，则该灯带的长度为 百米（精确到0.01百米） 12.已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个 元素m都乘以(-1)"后再求和.若集合A={l≤n≤10，n∈N,则集合A的所有 非空子集的“变项和”的总和为 二、选择题：（本大题共4小题，第13、14题，每题3分，第15、16题每题 4分，满分14分) 13.下列函数中，既是奇函数，又在(0，上是严格增函数的是 A.ycos B.y=sin2x C.y=-sinx D.y=sin( 14.已知c>0>a>b,则下列不等式不成立的是 (() A8 B. b、a c. b-c、b > D. 2+b<2x9 a-c a a 15.已知数列{a},{b}(n为正整数)分别为各项不等且首项是1的等差数列和 等比数列，下列两个命题： ①：存在数列{an}，{b,}，使关于n的方程an=bn的解有无穷多个： ②：存在数列{a},{bn},使{xx=a,n之l,neNn{yy=bn,n2l,neN有无穷 多个元素 则下列说法正确的是 A.①、②都是真命题； B.①是真命题，②是假命题： C:①是假命题，②是真命题； D.①、②都是假命题， 16.如图，A,B,C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分 别为a,B,y,计划沿直线AC开通隧道DE,设AD,EB,BC的长度分别为a,b,c. 为了测出隧道DE的长度，现给出下列四种方案： ①测出a和b;②测出b和c;③测出a和c; ④测出a,b,c三者. 则能够测出隧道DE的长度的方案是 A.①、④ B.②、④ C.③、④ D.④ 二O二五学年度第二学期高一数学期中考试第2页共4页 三、解答题：（本题共有4大题，满分44分.解题时要有必要的解题步骤） 17.(本题2小题，第1小题3分，第2小题5分，满分8分) 已知函数y=f(x)的表达武为f()=cos(2x+),（于<<到 )若/（到-号求（的值： 2)若（目）)，f国低次成等比数列，求p的值， 18.(本题共2小题，第小题4分，第2小题6分，满分10分) 己知等差数列{an}的首项a=-1,公差为2，等比数列{b}的首项b=1,公比为 数列{c,}满足c,= an,当n为奇数时 bn,当n为偶数时 (n为正整数)， (1)依次写出数列{c}的前6项： (2)设f(问-之。，判断f(问是否存在最大值和最小值，若存在，求出最大 值和最小值，若不存在，请说明理由， 19.（本题共2小题，每小题6分，满分12分) 在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,其中b=2W5. (1)若A+C=2π ，且a=20,求边长c的值； 2)若A-C=合a=5cn4,求△MBc的面积 二O二五学年度第二学期高一数学期中考试 第3页共4页 20.(本题共3小题其中第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分，满分 14分) 若函数y=f(x),x∈D,其值域为A,若A三D,则称函数y=∫(x)在区间D上 为封闭函数 (1)已知广(x)=g(x+1),判断函数y=f(x)是否在区间[0,9]上为封闭函数， 并说明理由； (2)已知g(x)=x2+4x,若函数y=g(x)在区间[4，b]上不为单调函数，但在区 间[a,b]上为封闭函数，求b-a的最大值： (3)已知函数y=h(x)在区间[a,小上连续且为封闭函数，且对于任意的x、 y∈[a,b]，都有h(x)-h(y列=x-(0≤L<)成立.若数列{x}满足 x1=h(x,)（n为正整数)，证明：存在唯一常数c∈[a,b],使得h(c)=c,且对 于任意的xe[a,],都有imx=c· 二○二五学年度第二学期高一数学期中考试 第4页共4页 2025-2026学年上海市格致中学高一年级下学期期中数学试卷 2026.4 一、填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分. 1.已知A=(0,+o∞)，B={yy=coskπ，k∈Z,则AnB=_ 【答案】{ 【解析】A=(0,+∞)，B={-l,1,∴.A∩B={ 2.函数y=tanπx的定义域为 【答案】 中e列 【解析】πx≠kπ+ 牙→x≠k+keZ) 3 3.已知角x为第三象限角，且sina=-亏则sin2a= 【答案】 24 25 【解析】由题意知cosa= ssin 2a-2sinacosa= 4 4 5 4.已知扇形的圆心角为2rad,扇形的周长为8cm,则扇形的面积为 cm2. 【答案】4 【解析】设扇形的半径为r,弧长为1，则 1+2r=8 解得r=2,1=4, 1=2r 由扇形面积公式可得扇形面积5= 2×2×4=4. 5.已知{a,}是十-，a。=1,a6=21,则a6=一 【答案】2021 【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a。=1,a26=21, d-0-4=2=1→a%=a,+2020d=1+2020=2021. 26-620 6.已知f(x)=x2+asinx(a∈R),若f(2)=3+5,则f(-2)= 【答案】5-√5 【解析】f(2)=4+asin2=3+V5→asin2=√5-1， 第1页（共10页） $$f \left( - 2 \right) = 4 - a \sin 2 = 4 - \left( \sqrt 3 - 1 \right) = 5 - \sqrt 3 .$$ 7.已知 lna+ln2b=1， 则 a+b 的最小值是. 【答案】 $$\sqrt { 2 e }$$ 【解析】. $$： \ln a + \ln 2 b = 1 \Rightarrow \ln \left( 2 a b \right) = 1 \Rightarrow 2 a b = e ， a b = \frac { e } { 2 } ， a ， b > 0 .$$ $$a + b \ge 2 \sqrt { a b } = 2 \sqrt { \frac { e } { 2 } } = \sqrt 2 e ，$$ ，当且仅当 a=b 时取等号. 8.已知 $$f \left( x \right) = 4 \sin \left( \omega x + \varphi \right) \left( \omega > 0 ， - \frac { \pi } { 2 } < \varphi < \frac { \pi } { 2 } \right)$$ 函数 y=f(x) 的部分图像如图所示， 则函数 y=f(x) 的最小正周期为 2 o $$\frac { \pi } { 3 }$$ 【答案】 4π 【解析】将 $$\left( 0 ， 2 \sqrt 3 \right)$$ 代入可得 $$4 \sin \varphi = 2 \sqrt 3 \Rightarrow \sin \varphi = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ， \therefore - \frac { \pi } { 2 } < \varphi < \frac { \pi } { 2 } ， \therefore \varphi = \frac { \pi } { 3 } ，$$ 将 $$\left( \frac { \pi } { 3 } ， 4 \right)$$ $$4 4 = 4 \sin \left( \frac { \pi } { 3 } \omega + \frac { \pi } { 3 } \right) \Rightarrow \frac { \pi } { 3 } \omega + \frac { \pi } { 3 } = 2 k \pi + \frac { \pi } { 2 } \rightarrow \omega = 6 k + \frac { 1 } { 2 } \left( k \in Z \right)$$ $$\Rightarrow \omega = \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，则小正周期为 $$\frac { 2 \pi } { \frac { 1 } { 2 } } = 4 \pi .$$ 9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在 [0，+∞) 上为增函数，且满足 f(x)>f(2x-1)， 则 x 的取值范围是. 【答案】 $$\left( \frac { 1 } { 3 } ， 1 \right)$$ 【解析】∵偶函数f(x)在 [0，+∞) 上是增函数， 第2页(共10页) “在(-∞，0)上是减函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越小， :不等式f(x)>f(2x-1)可以变为2x-1<x, 平方得4x2-4+1<令写x<1. 10.已知等比数列a,}的公比为g,若艺4g=2,则24g的取值范围是 i-1 【答案】(0,2) 【解析】等比数列a,的公比为g,若兑4g=2。 根据题意可知0gk1,即-1<g<0或0<g<1, 因为2491=2=2，所以4=20-9） -1-9 所以2a,g=a+a9=2(1-q)(1+g)=21-g2）e(0.2）) I1.如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC,在边BC上设置一个观景点D,点D到 顶点C的距离为3百米，AD平分∠BAC,边AB和AD的长度都为4百米现需要沿着三角 形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为百米（精确到0.01百米） 【答案】14.75 【解析】设BD=x百米，AC=y百米，∠BAD=∠CAD=O,∠ADB与∠ADC互补 由正弦定理可得 BD AB CD AC sin∠BAD sin∠ADB'sin∠CAD sin∠ADC 因为sin∠ADB=sin∠ADC,sin∠BAD=sin∠CAD,可得BD=4B 即y=12, CD AC 由余弦定理AD+BD-AB=-AD+CD2-AC。4+x2-4_4+32-y 之 2·ADBD 2·AD.CD 2×4×x 2×4×3 第3页（共10页） 3x=36=y2-25,化简可得y2-25y-36=0,解得y=5.61,y=-1.61(舍)或y=-4 y (舍)，当y=5.61时，x=2.14,所以共需3+4+5.61+2.14=14.75百米 12.己知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以 (-l)”再求和，若集合A={≤n≤10，n∈N,则集合A的所有非空子集的“变项和"的总 和为 【答案】2560 【解析】A集合的所有子集中，每个元素出现的次数都是(2°-1)-(2”-)=2”， 则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为 1×(-1)'×2°+2×(-1)2×2+..+10×(-1)°×29 =（-1+2-3+4-.-9+10)×2°=5×2°=2560 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.下列函数中，既是奇函数，又在 上是严格增函数的是() A.y=cos( B.y=sin 2x C.y=-sinx D.y=sin(x+) 2 【答案】A 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A,y=cos x-2 sinx,其定义域为R, 有f(-x)=-sinx=-f(x),所以y=cos(x-)为偶函数，且满足严格增，故A正确： 对于B,单调性不满足，故B错误： 对于C,单调性不满足，故C错误： 对于D, cosx偶函数，故D错误。 故选：A 14.已知c>0>a>b,则下列不等式不成立的是（) A.esc B.bsa C.b-cb 2 2 D.二+b<+a a b a-c a b 【答案】B 【解析】因为c>0>a>b, 第4页（共10页） 所行则导会A正通 a b <1<,B错误： b a b-c b_ab-ac-ab+bc_(b-a)c<0. a-c a (a-c)a (a-c)a 则-C<,C正确： a-c a 11,即二< 22 由c>0>a>b可得二< a b a b 所以2+b<2+a,D正确. 2 b 故选：B. 15.已知数列{an},{b,}(n为正整数)分别为各项不等且首项时1的等差数列和等比数列， 下列两个命题： ①存在数列{an},{b},使关于n的方程an=b,的解有无穷多个 ②存在数列{an},{b},使{xx=an,n≥1neN}∩{yy=bn,n≥l,neN}有无穷多个元 素 则下列说法正确的是() A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题 【答案】C 【解析】①由函数的性质可得指数型函数y=c与一次函数y=kx+b至多有两个交点，当 x∈N时结论仍成立，故方程a+(n-1)d=b·g,neN至多有两个解，故①错误： ②an=3n-2,bn=2"-，满足存在数列{a},{b},使 {xx=an,n2l,n∈N}∩{yy=b,n≥1，n∈N}有无穷多个元素，②正确： 故选：C. 16.如图，A,B,C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为：， B,Y,计划沿直线AC开通隧道DE,设AD,EB,BC的长度分别为a,b,c.为了测 出隧道DE的长度，现给出下列四种方案： ①测出a和b:②测出b和c:③测出a和c:④测出a,b,c三者 第5页（共10页） 则能够测出隧道DE的长度的方案是() βY B C A.①④ B.②④ c.③④ D.④ 【答案】D 【解析】先要测出c,则可利用正弦定理求出PB,再可利用正弦定理求出PA, 最后由余弦定理求出AC,则需测出a,b才能求出DE, 故选：D 三、解答题（本大题满分44分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分) 已知函数y=()的表达式为f)=cos(2x+o受<<引 ②)若（程》侣}a)依次成等比数列，求p的值 【答案】(1)- 2 【解折】Df()coa(子+ps血p=号=cos子 5 得)-mr任+小msp-snp=是g9号-吾 252510 2)f[}=eos任+p-smp月-os(+p=-ose, f(π)=cos(2π+p)=cosp,∴(-cosp)=(-sinp)cosp→cosp(cosp+sinp)=0, -号<p<70小cosp+sin0=ismp+星）-0， 第6页（共10页） 小p+牙=k红宁p=红-普中0=牙 4 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知等差数列a,}的首项4=-l,公差为2，等比数列私，}的首项么=1，公比为 2,数 列{cn}满足cn= an,当n为奇数时 bn,当n为偶数时 n为正整数)， （1)依次写出数列{c,}的前6项： (2)设了口)=克：，判断问是否有在最大值和最小值，若存在，求出最大值和最小 i=l 值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)-1， 1 23,-87,32:（2)当n=1时，f(m）取到最小值0，无最大值 【解析】(1)已知等差数列{an}的首项a,=-1,公差为2，等比数列{b}的首项b=1,公 比为了根据等差数列和等比数列的通项公式可得 a=-1+2a-)=2n-36=(（ 又数列{cn}满足cn= an,当n为奇数时 (n为正整数)， bn,当n为偶数时 所以0=4=-6=6=方4=4=6=6=言4=%=76=或=动 所以题别c的简6项医次为-l号一-官人一克 (2)f(n)=C+C2+C3+C4+C5+C6+…+C2m-1+C2m =a1+b2+a3+b4+a5+b6+…+a2m-1+b2n =(a+43+a5+…+a2n-i)+(亿2+b,+b。+…+bn) =n(-1+4n-5) 2 1- =m--0】 第7页（共10页） u+0=2+n*2-3-3引-门=2na-1-） fa+)-)=2+a-1号+9-2m+n+号 =n-19≥4-1g0, f(n+1)>f(n), 则f(n)单调递增， 则当n=1时，f(n)取到最小值0，无最大值. 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在△ABC中，角A、B、C对应边为a、b、c,其中b=2N3. (1)若A+C=2弧，且a=2c,求边长c的值： 3 （2)若4-C-合a=5csn,求△8c的面积 【答案】(1)2：(2)9-35 【解析】①)由a=2c,可得sinA=2sinC,结合A+C=?,得sin(二C)=2sinC, 3 学oC+2mC=2nc,则9mc=nC, 0 2 可得anc=5, 由于0<C<5,故C-君则4-号8-号 6 2 3 sincsin'得c= bsinC2V3xsin￠ 6=2. sin B sin “3 (2)由题意知a=√2 csin A,故sinA=√2 sin CsinA, 由于s如4>0，故nC-号，结合4-C=后，可知C%锐角，则C 41 12 12 46 6 4 6 4 故=b sinC sin B 得c=bsinc25x2 =6-2W5, sin B 6+2 4 第8页（共10页） 所swcn4=方256-29-9-35， 20.(本题满分14分，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分) 若函数y=f(x),x∈D,其值域为A.若A三D,则称函数y=f(x)在区间D上为封闭 函数 (1)已知f(x)=g(x+1),判断函数y=f(x)是否在区间[0,9]上为封闭函数，并说明 理由： (2)已知g(x)=x2+4x,若函数y=g(x)在区间[a,b]上不为单调函数，但在区间[a,b] 上为封闭函数，求b一a的最大值： (3)己知函数y=h(x)在区间[a,b]上连续且为封闭函数，且对于任意的x、y∈[a,b], 都有h(x)-h(y)=Lx-(0≤L<1)成立若数列{x}满足x1=h(xn),n≥1且 n∈N,证明：存在唯一常数c∈[a,b],使得h(c)=c,且对于任意的x∈[a,b],都有 lim x=c. n-4 【答案】(1)是，理由见解析：(2)4：（3)见解析 【解析】(1)由f(x)=lg(x+1),x∈[0,9]→f(x)∈[0,1s[0,9] 从而函数y=f(x)在区间[0,9]上为封闭函数： (2)由g(x)=x2+4x=(x+2)}2-4,x∈[a,b], 函数y=g(x)的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=-2, 根据题意y=g(x)在区间[a,b]上不为单调函数，得a<-2<b, 从而函数y=g(x)在区间a,-2单调递减，在区间[-2，b单调递增， 从而g(x)mn=g(-2）=-4,g(x)mx=max{g(a),gb)}=max{a2+4a,b+4b}, [a≤-4 由函数y=g(x)在区间[a,b]上为封闭函数，即有b≥a2+2a, b≥b2+2b 从而a≤-4，-1<b≤0，a2+4a≤b≤0，即-4≤a<-2,-1<b≤0， 第9页（共10页） 那么2<-a≤4，-1<b≤0，即得1<b-a≤4， 即b-a的最大值为4： (3)由函数y=h(x)在区间a,b上连续且为封闭函数，令Fx)=h(x)-x, 从而函数F(x)在区间[a,b]上连续， 函数y=h(x)在区间[a,b]上为封闭函数， 从而h(a)≥a,h(b)sb,即有F(a)=h(a)-a20,F(b)=h(b)-b≤0， 由函数F(x)在区间[a,b]上连续，且F(a)F(b)s0, 故存在ce[a,b],使得F(c)h(c)-c=0,即h(c)=c, 假设存在c1,c2∈[a,b],且C≠c2,使得h(c1)=c1,h(c2)=c2, 则Ih(c)-h(c2)=lc-cz, 又因为任意的x、y∈[a,b],都有h(x)-h(y)=Lx-y(0≤L<1)成立， 所以h(c)-h(c2=Llc1-c2l<c1-c2l矛盾， 所以存在唯一的常数c∈[a,b],使得h(c)=c, 数列{xn}满足x+1=h(xn),n≥1且n∈N, 当x∈[a,b],那么x2h(c)∈[a,b],那么xh(x)e[a,,…, 可知数列{x,}中的xn∈[a,b,n≥1且n∈N, 那么由xn,c∈[a,b,则xw+1-c=h(xn)-h(c)=Lxm-cl,(0sL<1), lx+i-cl=Llxn-cl=L21x-1-cl==L"x1-cl,(0sL<I), 由0≤L<l,所以limL=0, 则，lim c lim-c0,即有inxn=c。 故存在唯一常数c∈[a,b],使得h(c)=c,且对于任意的x∈[a,b],都有imx,=c. 第10页（共10页）