上海市彭浦中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷

**基本信息** 高一第二学期期中数学卷，以复数、向量、三角函数、解三角形为核心，通过基础题巩固知识，综合题（如向量投影、新定义“相伴函数”）考查数学思维与应用能力，体现数学眼光与理性精神。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|复数平方根、向量单位向量、三角函数周期、几何动点|基础巩固与空间想象结合，如正方形与圆的动点问题考查几何直观| |选择题|4/18|复数概念辨析、三角函数图像对称性|辨析易错点，如复数命题真假判断培养推理意识| |解答题|5/78|向量运算、复数方程与向量夹角、新定义“相伴函数”|综合性与创新应用，如新定义结合解三角形考查数学抽象与模型意识|

上海市彭浦中学2025学年第二学期 高一数学期中考试答案 （考试时间：120分钟 满分150分） 1． 填空题：（满分54分，1~6每小题4分,7~12每小题5分） 1．在复数范围内，的所有平方根为______ 2. 复数满足，则复数的虚部为___________ 1 3．设向量 ，则______．-2 4．向量的单位向量是________. 5．若，若，则实数=__________.或 6．函数的最小正周期为___________ . 7．在△ABC中，,则 ________. 8．若是以为周期的奇函数，且，则______. 9. 如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式． 10．已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数=__________ 11．已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 12．正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的最小值为 . 二、选择题（本大题共有4题，13,14每题4分，15,16每题5分，满分18分） 13． 若复数是纯虚数，则实数的值为（ B ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 14．设是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 16．对于函数，下列命题中正确的命题的个数是( ) ①函数图像关于直线对称； ②函数图像关于点对称； ③函数图像可看作是把的图像向左平移个单位而得到； ④函数图像可看作是把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到； A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题满分78分） 17．（满分18分，每小题6分） 已知向量与的夹角，且 （1）求； （2）求在方向上的数量投影； （3）求在方向上的投影. 答案：； 18．（满分12分，每小题6分） 已知一元二次方程 （1）在复数范围内解该方程； （2）设该方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点）, 求与夹角的大小. 19. （满分14分，每小题7分） 在△ABC中，角的对边分别为 （1） 若，且△ABC的面积，求的值； （2） 若,试判断△ABC的形状.等腰或直角三角形 20. （满分16分，第一题10分，第二题6分） 已知，令函数 （1）求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； ； （2）函数，求函数在区间内所有零点之和. 21．（满分18分，每小题6分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为的“相伴向量”（期中O为坐标原点） （1） 设，写出函数的相伴向量； （2） 若的相伴向量为，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3） 已知△ABC的内角的对边分别为，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市彭浦中学2025——2026学年高一第二学期期中数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 1． 填空题：（满分54分，1~6每小题4分,7~12每小题5分） 1．在复数范围内，的所有平方根为______ 2. 复数满足，则复数的虚部为___________ 3．设向量 ，则______． 4．向量的单位向量是________. 5．若，若，则实数=__________. 6．函数的最小正周期为___________ . 7．在△ABC中，,则 ________. 8．若是以为周期的奇函数，且，则______. 9. 如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式__________________. 10．已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数=__________ 11．已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______. 12．正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的最小值为 . 二、选择题（本大题共有4题，13,14每题4分，15,16每题5分，满分18分） 13． 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 14．设是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 16．对于函数，下列命题中正确的命题的个数是( ) ①函数图像关于直线对称； ②函数图像关于点对称； ③函数图像可看作是把的图像向左平移个单位而得到； ④函数图像可看作是把的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到； A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题满分78分） 17．（满分18分，每小题6分） 已知向量与的夹角，且 （1）求； （2）求在方向上的数量投影； （3）求在方向上的投影. 18．（满分12分，每小题6分） 已知一元二次方程 （1）在复数范围内解该方程； （2）设该方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点）, 求与夹角的大小. 19. （满分14分，每小题7分） 在△ABC中，角的对边分别为 （1） 若，且△ABC的面积，求的值； （2） 若,试判断△ABC的形状. 20. （满分16分，第一题10分，第二题6分） 已知，令函数 （1）求函数的表达式、周期、严格增区间及值域； （2）函数，求函数在区间内所有零点之和. 21．（满分18分，每小题6分） 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为的“相伴向量”（期中O为坐标原点） （1） 设，写出函数的相伴向量； （2） 若的相伴向量为，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3） 已知△ABC的内角的对边分别为，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围 . 学科网（北京）股份有限公司 $