宁夏永宁上游高级中学2025-2026学年高一第二学期月考（二）数学试题

**基本信息** 以杭州亚运会志愿者、知识竞赛等现实情境为载体，融合复数、概率统计、立体几何等核心知识，通过分层抽样、二面角计算等问题设计，考查数学眼光下的空间观念与数据意识，适配高一学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|立体几何证明与计算、统计图表分析、概率方案设计|第18题结合频率分布直方图与两种答题方案，考查数据观念与应用意识；第19题以菱形为背景探究线面角最值，培养空间观念与创新意识，贴合高考情境化、综合性命题趋势|

永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期月考（二）答案 一、 选择题 1~8 DBBD DBCC 第8题提示：如下图所示，分别取棱，的中点、，连，， ，，，分别为所在棱的中点，则，， ，又平面，平面， 平面.，，四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 平面，又，平面平面. 是侧面内一点，且平面， 点必在线段上. 在中，. 同理，在中，可得， 为等腰三角形. 当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长. ，. 线段长度的取值范围是. 二、选择题 9. BD 10. AC 11. BCD 第10题提示：对于A：因为，故A正确； 对B：由 ，所以 ，所以B错误； 对C：因为，所以， 所以. 故C正确； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 第11题提示：对于A，因为平面，平面，，平面， 所以与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，取中点，连接，可得， 所以平面，设正方体的棱长为2， 则，， ，， 由余弦定理得， 所以，所以，故B正确； 对于C，由B，，，所以， 设正方体的棱长为2， 所以直线与直线所成的角即为与直线所成的角，即为， 因为，平面，所以， 即直线与直线所成角的大小为，故C正确； 对于D，连接，因为分别为，的中点，所以， 连接、相交于点，则，因为平面， 平面，所以，且，平面， 所以平面，所以等于与平面所成的角， 设正方体的棱长为2，则，， 所以，，所以， 所以与平面所成的角大小为，故D正确. 三、填空题 12. 13.2.14 第14题提示： 在正三棱柱中，设的中点为，连接，， 平面，平面， 所以，，， 平面，平面， 则平面，所以为线段在平面内的射影， 为与平面所成的角， 所以，所以在中，. 四、解答题 15．（13分） 解：（1）在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面, ∴平面. .................................................................................6分 （2）∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，∴为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为. .....................13分  16．（15分） 解: （1）因为，……1分 所以这组数据的分位数为．……4分 （2）由题意得，……7分 由标准差公式得．……10分 （3）由题意得，……12分 则零件重量位于和之间的有，共6个，……14分 可得所占的百分比是．……15分 17. (15分) 解:（1）由正弦定理，， 则有， ……2分 因为在△ABC中，， ……3分 所以化简得：， ……5分 又，解得：或； ……6分 （2）由得：， 则 ……8分 从而， ……10分 因为A为钝角，所以由（1）知，，且， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， ……12分 当且仅当时等号成立， ……13分 又b，c可以无限接近0，所以，从而， 故△ABD面积的取值范围为． ……15分 18. (17分) （1）平均成绩为： 因此该 名学生平均成绩为 分.……5分 （2）依题意 ，即求第 90 分位数 频率分布直方图中,分数在 的频率为 分数在 的频率为 可知第 分位数在 内, 不妨设其为 ，所以 解得 , 取整可知至少 分才有参赛资格.……10分 （3）5道备选题中,甲会的3道题分别记为 ,不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有 共5种,抽中会的 ,有3种，那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从 5 道题中任抽 3 道,结果如下： 共10种, 至少会 2 道题的, 有 7 种情况 那么参加复赛概率为 ，因为. 所以选择方案二,可让学生甲进入复赛概率更大……17分 19.（17分） 解：（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面，平面，， 四边形为菱形，， 又，平面，平面，平面， . .....................................................................................4分 （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得，即，解得. 故点到平面的距离为. .....................................................10分 （3）设直线与平面所成的角为， . 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由，得，解得：， 综上，点在线段上靠近点的4分点处时，直线与平面所成的角最大，此时最大角的正弦 答案第1页，共2页 高一数学试卷·第2页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期月考（二） 高一数学试题 班级： 姓名： 学号： 时间:120分钟 分值:150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是 A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为 A. 250 B. 220 C. 30 D. 20 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 5. 已知，，与夹角为，则在上的投影向量是 A. B. C. D. 6. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是 A. 数据的平均数为13 B. 数据的方差为12 C. D. 7. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为 A. B. C. D. 8．如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分。） 9．下列说法正确的是 A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 B．从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“恰好摸出1个红球”，事件“恰好摸出2个红球”，则事件与事件是互斥事件 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是； D．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 10. 已知事件发生的概率分别为，则 A． B．若，则 C． D．一定有 11. 已知正方体，分别为，中点，下列说法正确的是 A. B. C. 直线与直线所成角大小为 D. 直线与平面所成角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为 ． 13. 某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________． 14．如图，正三棱柱底面边长为2，与平面所 成角的大小为，则线段在平面内的射影长为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）如图，正方体的棱长为2． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 16．（15分）甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为． （1）求这组数据的分位数； （2）求这组数据的平均数和标准差； （3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比． 参考数据：． 17.(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）求A的大小； （2）已知， ，若A为钝角，求面积的取值范围. 18. （17分）为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生又参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. （1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）； （3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由. 19.（17分）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，△PDB是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 答案第1页，共2页 高一数学试卷·第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $