宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 高一年级6月月考数学试题，涵盖统计、向量、立体几何等模块，通过样本概念辨析、频率分布直方图统计应用等题，融合数学眼光与思维，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（样本）、立体几何（异面直线角）|基础概念辨析，如第1题考查样本定义| |多选题|3/18|复数、立体几何垂直命题|多角度逻辑推理，如第10题垂直命题判断| |填空题|3/15|复数象限、数据分位数|核心技能简洁考查，如第13题分位数计算| |解答题|5/77|统计应用（正态分布）、立体几何证明|情境化与综合，如第16题教育学习统计分析，第18题直三棱柱线面关系证明|

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D C C A A ACD ABD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据样本的定义，即可判断. 【详解】根据样本定义可知，这100名学生的身高是样本. 故选：A 2．A 【分析】由向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标公式，计算即可. 【详解】根据题意，向量，，则； 若，且， 则有，解可得； 故选：A． 3．B 【分析】根据异面直线所成角的定义判断. 【详解】因为，， 所以异面直线与所成角即或其补角， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：B. 4．D 【分析】根据三角函数定义即可判断. 【详解】在中，因为B为钝角，则为锐角， 则，则点在第四象限. 故选：D. 5．C 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知C正确，D错误. 【详解】对于A，正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形， 且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，可知A错误； 对于B，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，可得B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，可得D错误. 故选：C 6．C 【分析】利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因为，， 所以 ， 故选：C 7．A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为：    四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 8．A 【分析】结合正弦定理、余弦定理求得，从而求得速度. 【详解】， 在三角形中，由余弦定理得, 则为锐角，. 在三角形中，由正弦定理得， 由余弦定理得, 即，解得， 所以, 所以最小速度为 km/h. 故选：A 9．ACD 【分析】应用复数除法化简复数，再应用复数的乘方运算判断A；特殊值判断B；根据复数的性质有判断C；若实数解为，结合已知有求参数判断D. 【详解】A：，则，对； B：当时，，而，错； C：，则，对； D：若实数解为，则， 故，则，可得或，对. 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据线面垂直的判定定理逐项分析即可. 【详解】解：过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直，故A正确； 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，故B正确； 垂直于角的两边（角两边不共线）的直线必垂直于该角所在的平面，故C错误； 过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内，故D正确． 故选:ABD. 11．BC 【分析】利用诱导公式化简各项的三角函数式，即可判断是否与数值相同. 【详解】A：； B：； C：； D：； E：； 故选：BC. 12．三 【解析】化简复数为的形式，然后判断复数的对应点所在象限. 【详解】解：∵， ∴所对应的点在第三象限， 故答案为：三. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算及复数的几何意义，相对不难. 13．25 【分析】利用第分位数的定义求解. 【详解】将数据从小到大排列为， 而，所以这组数据的第分位数是排列后的第6个数据25. 故答案为：25 14．1 【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得 ，然后根据降幂公式可得，进而即得. 【详解】由，得 ， 再由，得，可得， ． 故答案为：1. 15．(1)，； (2)或． 【分析】(1)由向量的坐标运算计算与的坐标，根据列出关于，的二元一次方程组求解即可； (2)利用向量共线定理可以将表示为，再根据模长公式计算t即可求解． 【详解】（1）因为，求解可得：； 故； 故，解得：； （2）因为，故； 因为，故，解得，即； 故或． 16．(1) (2)4093 (3)在内的教职工平均人数为1，在内的教职工平均人数2 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可得答案. （2）先求得平均数，可得值，根据值，结合所给公式及数据，代入计算，可得的值，根据总人数，即可得答案. （3）根据分层抽样，可得内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，可得X所有取值，进而可得各个取值对应的概率，即可求得期望，进而可得内人数的期望值，即可得答案 【详解】（1）由题意得， 解得． （2）由题意知样本的平均数为 ， 所以． 又，所以 ． 则， 所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093． （3）对应的频率比为，即为2:3， 所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3， 设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X， 则X的所有可能取值为0，1，2， ，，， 所以． 则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1． 设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y， 则， 所以． 则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为2． 17．(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解; （2）利用正弦定理将转化为关于A的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出A的范围，即可求出的范围得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ，则，，又，； （2）在中，由正弦定理， ， ， 又为锐角三角形，， ，， ，，， 故周长的取值范围为． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理求解； （2）根据正弦定理、余弦定理以及求出之间的关系，进而求解； （3）根据题意取出的范围，得到的范围，再由（2）将用表示，最后利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，解得， 又，即，解得，或 当时，，则，又，所以， 此时，不符合题意，舍去，所以； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 又，所以，整理得， 因式分解得：， 若，则，又，所以， 所以， 若，则，所以； 综上所述：； （3）因为，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理及得， 由（2）知，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 又，满足，所以的最小值为. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级6月月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．为了解某校高一年级500名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行测量，则这100名学生的身高是（    ） A．样本 B．个体 C．总体 D．样本容量 2．已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，E，F，G分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．在中，B为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 5．下列四个命题中正确的是（   ） A．正三棱锥的每个面都是正三角形 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 6．在中，，记，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ） A． B． C． D． 8．某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得DC距离为21km，若此人必须在30分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（    ） A．30km/h B．45km/h C．14km/h D．15km/h 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．若复数（i为虚数单位），则 B．若复数z满足，则 C．已知其中是虚数单位，则实数 D．若关于的方程有实数解，则或 10．下列命题中正确的有（    ） A．过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直 B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面 C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面 D．过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 11．下列三角函数中，与数值相同的是（    ） A． B． C． D． E． 三、填空题：本题共15分。 12．在复平面内，复数所对应的点位于第_________象限. 13．某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为，则这组数据的第分位数是________． 14．已知，则的值为__. 四、解答题：本题共77分。 15．已知，． (1)若，且，求，的值； (2)若，且，求的坐标． 16．为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． (1)求a的值； (2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； (3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： (1)平面； (2) (3)若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若，，求的值； (2)求的值； (3)若为锐角三角形，且，求的最小值. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $