复数基本题型梳理期末备考练习08-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数核心知识，按概念-运算-应用逻辑分层设计题型，覆盖期末高频考点，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|5题|纯虚数、共轭复数等概念辨析|从定义出发，夯实复数分类基础| |实部与虚部|5题|复数代数形式下实虚部确定|深化复数代数结构的理解| |复数相等|4题|利用实虚部对应相等求参数|建立复数相等的方程思想| |四则运算|4题|加减乘除运算法则应用|训练复数运算的准确性| |复数的模|6题|模的计算及几何意义转化|连接代数运算与几何度量| |共轭复数|5题|共轭复数的性质及运算|强化复数间的对称关系| |几何意义|5题|复平面内点与向量表示|培养几何直观与空间观念| |解一元二次方程|5题|复数根的应用及参数求解|拓展方程求解至复数域| |综合性问题|6题|多知识点交叉及应用|提升知识整合与模型意识|

人教A版必修二高一数学期末备考08 复数基本题型梳理 题型一、复数的基本概念 1．下列各数中，纯虚数是（   ） A． B． C． D． 2、（多选）下列说法正确的是（ ） A.实数集在复数集中的补集是虚数集 B.满足的数x只有i C.形如的数不一定是纯虚数 D.两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 3．（多选）下列结论错误的是（   ） A．的共轭复数为 B．为纯虚数 C．的实部大于虚部 D．i的虚部为 4．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为 5．复数是实数，则实数（   ） A．0 B．1 C． D．或 题型二、复数的实部与虚部 1．若复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 3．已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 题型三、复数相等条件 1．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 2．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 3．已知复数，则__________. 4．设，则是复数与复数相等的______条件． 题型四、复数的四则运算 1．（　　） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：__________. 题型五、复数的模 1．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（     ） A． B． C． D． 3．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 4．已知复数，，则（   ） A． B．1 C． D． 5．已知，，且，则________． 6．设复数，满足，且，则____________． 题型六、共轭复数 1．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 2．设复数的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 5．若复数，则___________． 题型七、复数的几何意义 1．复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 4．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______． 题型八、复数范围内解一元二次方程 1．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 2．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 3．已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________． 4．已知复数是关于的方程的根，则_________________. 5．已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 题型九、综合性问题 1．（多选）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 2．（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 3．（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A． B．的共轭复数为 C．若复数满足，则的最大值是 D．若复数是关于的方程的一个根，则 4．已知复数． (1)求； (2)若，求． 5．已知，复数，且为纯虚数． (1)求的值； (2)若，求． 6．已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修二高一数学期末备考08 复数基本题型梳理 题型一、复数的基本概念 1．下列各数中，纯虚数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于复数，且时为纯虚数.选项A，不符合题意， 选项B，且符合.选项C，不符合.选项D，不符合. 2、（多选）下列说法正确的是（ ） A.实数集在复数集中的补集是虚数集 B.满足的数x只有i C.形如的数不一定是纯虚数 D.两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 【答案】ACD 【详解】对于A：因为复数集由实数集、虚数集构成，即实数集在复数集中的补集是虚数集，故A正确； 对于B：因为，所以满足的数x有，故B错误；对于C：例如，可知为实数，故C正确；对于D：因为复数相等的充要条件为：实部相等且虚部相等，若两个复数的虚部不相等，则这两个复数不相等，所以个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等，故D正确； 3．（多选）下列结论错误的是（   ） A．的共轭复数为 B．为纯虚数 C．的实部大于虚部 D．i的虚部为 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的定义计算判断A，应用纯虚数的定义判断B，应用实部及虚部计算判断C，D. 【详解】选项A：的共轭复数为，A结论错误；选项B：纯虚数的定义为实部为0且虚部不为0的复数，实部为3，不是纯虚数，B结论错误；选项C：的实部为3，虚部为1，，实部大于虚部，C结论正确；选项D：复数的虚部为，不是，D结论错误. 4．（多选）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为 【答案】AB 【详解】因为复数，所以复数对应的点为，在第四象限，故A正确； ，故B正确；的共轭复数为，故C错误；的虚部为，故D错误. 5．复数是实数，则实数（   ） A．0 B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】考查复数的基本概念，对于复数，当时，该复数为实数. 【详解】已知是实数，故虚部，解得，因此，=或. 题型二、复数的实部与虚部 1．若复数z满足，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，故复数z的虚部为． 2．已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为；所以，解得. 3．已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知复数，则， 所以的虚部为. 4．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，可得，得到的虚部为1，则C正确. 5．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 【答案】1 【详解】，所以复数z的虚部为1. 题型三、复数相等条件 1．已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 2．已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【答案】B 【分析】根据复数相等的定义列方程求解即可． 【详解】解：由得，，，解得，．故选：B． 3．已知复数，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 4．设，则是复数与复数相等的______条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据复数相等的定义得，即验证是否能推出复数与复数相等，反之，复数与复数相等是否能推出即可求解. 【详解】由复数与复数相等有，所以复数与复数相等，反之，复数与复数相等，所以是复数与复数相等必要不充分条件， 题型四、复数的四则运算 1．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，解得，故选C． 3．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算法则计算逐项判断即可. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； ，故D正确. 4．计算：__________. 【答案】 【分析】根据虚数单位的周期性质化简计算即得. 【详解】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则代入化简得，，故原式. 题型五、复数的模 1．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为，所以，所以 2．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以，故向量对应的复数为，其模为. 3．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】解法一：利用求根公式解出z，再求. 解法二：方程的两根为共轭复数，利用韦达定理得，再求. 【详解】方法一：由，又因为， 可得，所以. 方法二：设方程的两根为，由，可知，因为，所以. 4．已知复数，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】∵ ，， ∴ .∵ ，，∴ . ∴ . ∴ . 5．已知，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意得，结合，得，解得. 6．设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，，由，则，则，即，，则，，即， 故，又， 则. 法二：由复数模长性质可得， 则，故. 题型六、共轭复数 1．已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数模的概念及共轭复数概念即可解决. 【详解】由可知的共轭复数，所以，. 2．设复数的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出复数的代数形式，通过已知等式可求出的虚部. 【详解】设，则，由得，即， 所以，所以复数的虚部是. 3．已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先通过复数的除法运算化简复数，再求出其共轭复数，结合复数的几何意义判断对应点所在象限. 【详解】由， 得，故对应的点为， 由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限. 4．已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，，根据共轭复数结合复数运算可得，列式求解即可. 【详解】因为，即，设，，则， 可得，，则， 可得，解得，所以. 5．若复数，则___________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法法则计算，然后由共轭复数定义得结论. 【详解】，所以. 题型七、复数的几何意义 1．复数在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以z在复平面内对应点的坐标为. 2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数，复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 3．在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为，所以， 又，所以向量对应的复数为． 4．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，复数在复平面内对应点为，位于第二象限． 5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则______． 【答案】 【详解】，所以，，． 题型八、复数范围内解一元二次方程 1．已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 因此所选方程的两根为，仅有符合要求，故选：A. 2．若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则.所以. 3．已知是关于的方程的一个根，其中i为虚数单位，则________． 【答案】1 【分析】将方程的根代回方程，结合复数的性质建立关于的方程并求解. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 整理得，所以，解得，，所以． 4．已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【分析】法一，由也是方程的根，然后利用韦达定理可知；法二，将代入方程，利用复数相等概念建立方程求解求可得. 【详解】法一：因复数是关于的方程的根，则其共轭复数也是方程的根，所以由韦达定理得. 法二：因为复数是关于的方程的根， 所以，解得. 5．已知复数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为_____． 【答案】或或 【分析】设出一般形式后代入方程，并通过复数为零时的特殊性分类讨论求出具体值. 【详解】设，那么，得到.由此可知.若，.因为，所以，解得.又因为，所以.若，.因为，所以或.那么或.综上所述或. 题型九、综合性问题 1．（多选）已知复数（，为虚数单位），则（    ） A．当时， B．当为纯虚数时， C．在复平面内对应的点恒在直线上 D．当时， 【答案】BC 【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为，因为，所以C正确；对于D，当时，，，D不正确. 2．（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 【答案】ACD 【详解】由题可得：，则复数在复平面内对应的点位于第三象限，A正确；因为，则复数的虚部为，B错误；，C正确；由，可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确. 3．（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A． B．的共轭复数为 C．若复数满足，则的最大值是 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ABC 【详解】，故A正确；，其共轭复数为，故B正确；设复数在复平面中的点为，则表示点到原点的距离小于等于，表示点到点的距离，则的最大值是，故C正确；易得，是方程的两个根，所以，得，故D错误. 4．已知复数． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出； （2）通过复数相等求出的值，再利用模长公式即可求出. 【详解】（1）， 所以． （2）由，得，     即，所以  ，解得，，  故． 5．已知，复数，且为纯虚数． (1)求的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念求出实数的值； （2）运用复数的除法运算求出，再根据复数模的概念求． 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以解得． （2）由（1）得 ，所以 ， 所以． 6．已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）当时，，代入方程求解即可. 【详解】（1）由， 因为为纯虚数，所以，解得. （2）当时，，因为是关于的方程的一个根， 将代入方程，得，则， 所以，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $