上海市新中高级中学2025-2026学年高一第二学期阶段检测数学试卷

**基本信息** 立足高一数学核心知识，以基础巩固为底，能力提升为脉，创新应用为峰，通过碳交易等真实情境题考查数学眼光、思维与语言，适配期中阶段检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/40|复数虚部、三角函数周期、向量投影、数列通项等|梯度设计，如第10题结合数列单调性与不等式，考查逻辑推理| |选择题|3/12|函数奇偶性与周期、复数几何意义、向量与三角形心|选项设置区分度高，如第13题通过向量关系判断三角形心，考查空间观念| |解答题|5/48|复数分类、三角求值、函数最值与解三角形、碳交易数列模型、等差数列与不等式恒成立|17题以碳交易为情境构建递推模型，考查数学建模与运算能力；18题结合数列与不等式恒成立，发展批判性思维|

新中高级中学2025学年第二学期高一阶段检测数学答案 出卷人：谢斌 一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1.复数2-5i的虚部是一-5- 2.函数y=√3cosx-sinx的最小正周期是一2m 3.已知a=(1,5),a1(a-2b),则ab=2 4.若数列{a}的前n项和为Sn=2”-1,则通项公式a,=一2-1 5.△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分为a、b、c,△ABC的面积为S,若 5=a+c-小mB,则B=号一 6已知a、B均为能角，且ma-号or口+)-=青则co0= 16 65 7。已知月-1，月2<a,6六号，对后在6上的投影向量的装为- 8已知0，且爵数=如r哥副在0，哥引上的值城为 则o的取值范围 是[2,4] [-1,x>0, 9.已知f(x)={0,x=0,a、五、c是平面内三个不同的单位向量，若f(a.)+f(6.c) 1,x<0. +f(ca)=0,则a.b+b.c+c.a的取值范围是_（-1，)- 10.已知数列{a}满足a,+4a,+42a+…+4-an=(2-1)4”(n∈N,n≥1)，设teR, 18 bn=(-t)an,若数列bn}是严格增数列，则t的取值范围是-o, 二、选择题（本大题共3题，每题4分，共12分） 11.下列函数中，周期为亚的奇函数为 (C) A.y=sin2x B.y=cos4x C.y=tan2x D.y=sin22x 12.已知复数6+5i与-3+4i在复平面上分别对应向量0A与0B,其中0为坐标原点，则 BA对应的复数为 (D) A.3+9i B.9-i C.3-9i D.9+i 13.O是在△ABC所在平面上一点，存在实数x、y、乙满足OA=x AB 则点O是△ABC的(B) A.外心 B.内心y C.重心 D.垂心 三、解答题（本大题共5题，共48分） 14.(本题满分8分) 设x∈R,已知复数z=(x2-1)+(x+1)i(i是虚数单位)，分别求下列条件下的x的值. (1)z为实数： (2)z为纯虚数， 解：(1)，z为实数，x+1=0,即x=-1. [x2-1=0 （2):为纯虚数：六+120，解得x=1. 15.(本题满分8分) π1 己知am(a+4)立 (1)求tanx的值； (2)求sincos-cos'g的值. sin a-cosa 解：(1) +到11 1 tand=tama+4厂4]1+tang+元 2 13 1+ 4 2 (1)另解：tan+ ,元1+tana_1 4/-tana2’tana= 1 3 (2)sin acosa-cos'a tana-1 3 sin2a-cos2a tan'a-1 2 16.（本题满分10分) a=(sinx,cosx),B=(cosx,cosx),f(x)=a.b. ()求函数y=f(国在x[0,习引上的最大值、最小值，并写出取得最大值、景小值时x 的值： (2)在△ABC中，若∠A满足f )-,且边BC25,求△M0C周长的是大微 解：()f()=a-6=5 sineos+cos2x=5、 1 sin2x+ os2x+sm2x+}-5 62 小吾m2片 当2x+π元 T62,即x= 3 时，ymmx=2 当2x+g7石时，即x=时，m=0. 66 (A=2得simA+6 2)由f(2)F 6 6 兀 66'6 2 由余弦定理得a2=12=2+2-c=+o-3c≥6+o-3(, ∴.(b+c)2≤48，即b+c≤45，当且仅当b=c时，等号成立. .周长最大值为6√ :A+∈7m） 6(6'6) A+π=π 62A= 3 2R=-a=4,:b=4sin A,c=4sinC. sinA 周长为2W3+4sinB+4sinC=2W3+4sinB+4si (2-B (3 -25+6smB+25cosB=25+4W5sm(B+ 当B+爱受即B骨时，月长最大为65. 3 17.（本题满分12分) 京都议定书正式生效后，全球“碳交易”市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速 生林木参与“碳交易”，到2025年年底，该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生 林木年均增长率20%.为了兼顾速生林木的生长与市场效益，公司计划每年年底砍伐17万 立方米林木制作筷子.设以2026年作为第一年，第n年年底的速生林木保有量为an万立方 米. (1)求a,并写出一个递推公式表示a+与an之间的关系； (2)求证：数列{an-85}是等比数列，并求数列{a}的通项公式： (3)问最早在哪一年年底，该公司速生林木保有量增加到400万立方米以上？要求写出必 要的论证过程. 解：(1)a1=200(1+20%)-17=223, 又a+1=(1+20%)a,-17=1.2a。-17, .an+=1.2an-17. (2)4-85=23-85=138≠0，且0h-85=12a,-17=1.2, an-85an-85 {an-85}是以138为首项，1.2为公比的等比数列. .an-85=223×1.2m-1，即an=85+138×1.2-1. (3)由题意知：a,>400,即85+138×1.2-1>400. n >1+l0g12 ,400-85≈5.5，n∈N,n的最小值为6. 138 另解：当n=5时，85+138×1.24≈371<400， 当n=6时，85+138×1.2≈428>400. a+1-a,=138×1.2”-138×1.2-1=138×1.2-1(1.2-1)>0, ∴.{am}为递增数列，.满足am>400的最小n是6. ∴.最早2031年年底，该公司速生林木保有量增加到400万立方米以上. 3 18.（本题10分) 已知等差数列{an}的各项均大于零，前n项和为Sn,且a.=√S2m-1(n∈N,n≥1). (1)求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn: (2)若不等式Sn+元≥(-)”·n对任意n∈N,n≥1恒成立，求实数的取值范围. 解：（①）等差数列{，}中，31=+u-(2n-)=(2m-1)a,=02, 2 4>0,∴a=2m-1,S.-a+a〕n= 2 (2),Sn+≥(-1)”.n对任意n∈N,n≥1恒成立， ∴.n2+≥(-1)”.nz对任意neN,n21恒成立. 当”为备数时。”+22-以，2干利正奇级用恒成立。 设b,=-n (n=2k-1,k∈N,k2). n+1 b-b,=-m+2n2 -4n-4 <0对正奇数n恒成立， n+3n+1(n+3)(n+1) .b>b3>b3>…>b2k-1>…, a6小m=-分a2 1 2 当n为偶数时，+2≥n2,“2≤”对正偶数n恒成立. n-1 -a=2k,keN,k≥). 设c.=n “ca-G,=I+2yn 4n+4 >0对正偶数n恒成立， n+1n-1(n+1)(n-1) .C2<C4<C6<.<C2k<, .(c2)m=c2=4,.1≤4. 「17 综上4 4 新中高级中学2025学年第二学期高一阶段检测数学试题 出卷人：谢斌 一、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 复数的虚部是______． 2. 函数的最小正周期是______． 3. 已知，，则______． 4. 若数列的前项和为，则通项公式______． 5. 中，A、B、C的对边分为a、b、c，的面积为S，若 ，则______． 6. 已知、均为锐角，且，，则______． 7. 已知，则在上的投影向量的模为______． 8. 已知，且函数在上的值域为，则的取值范围是______． 9. 已知是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是______． 10. 已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是______． 二、选择题（本大题共3题，每题4分，共12分） 11. 下列函数中，周期为的奇函数为 （ ） A． B． C． D． 12. 已知复数与在复平面上分别对应向量与，其中O为坐标原点，则对应的复数为 （ ） A． B． C． D． 13. O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 三、解答题（本大题共5题，共48分） 14.（本题满分8分） 设，已知复数（i是虚数单位），分别求下列条件下的x的值． （1）z为实数； （2）z为纯虚数． 15.（本题满分8分） 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16.（本题满分10分） 设，． （1）求函数在上的最大值、最小值，并写出取得最大值、最小值时x的值； （2）在中，若满足，且边，求周长的最大值． 17.（本题满分12分） 京都议定书正式生效后，全球“碳交易”市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与“碳交易”，到2025年年底，该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%．为了兼顾速生林木的生长与市场效益，公司计划每年年底砍伐17万立方米林木制作筷子．设以2026年作为第一年，第年年底的速生林木保有量为万立方米． （1）求，并写出一个递推公式表示与之间的关系； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）问最早在哪一年年底，该公司速生林木保有量增加到400万立方米以上？要求写出必要的论证过程． 18.（本题10分） 已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式和前n项和； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $