精品解析：上海市扬子中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025学年第二学期期中考试试卷 高一 数学 一、填空题（满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 化为弧度是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用角度与弧度的转换关系可得结果. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知，若与的终边相同，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合终边相同的角的定义求解即得. 【详解】由题意， 又与的终边相同，且， 所以， 故答案为：. 3. 一个扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则该扇形的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】由弧度数公式可得扇形的半径，再由扇形面积公式可得. 【详解】因为扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，即， 所以扇形的半径，再由扇形面积公式. 故答案为：9 4. 已知角的终边过点，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题设， 所以. 5. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以. 6. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】因为是三角形内角，所以 又因为， 所以， 设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有， 即的外接圆的半径为． 故答案为： 7. 已知，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据齐次式结构，将分子分母同除以，弦化切进行求解. 【详解】因为， 化简得，所以解得. 故答案为：4 8. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据韦达定理得，再分解平方关系解得即可． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故答案为：． 9. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式和二倍角公式计算. 【详解】由题意得， 由二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 10. 在直角中，，，，点是边上靠近的三等分点，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，，再根据利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】因为点是边上靠近的三等分点，，所以， 又，，所以，所以， 又， 所以. 故答案为： 11. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由切化弦可得，结合两角和差公式分析求解. 【详解】因为，即，可得， 又因为，可得， 所以. 故答案为：. 12. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连接，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是________________个 【答案】 【解析】 【分析】设射线对应的角为且，由题设可得，故可得满足条件的点的个数. 【详解】设射线对应的角为且， 故区域Ⅰ的面积为， 区域Ⅲ的面积为， 区域Ⅱ的面积为， 由题设有， 整理得到，因为，所以有两解， 故答案为：. 二、选择题（满分18分）本大题共有4题，第13，14题，每题4分；第15，16题，每题5分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】已知，故角为第二象限角． 14. 在中，已知，则的形状为（   ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及两角差的正弦公式求解. 【详解】由可得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以的形状为等腰三角形. 15. 已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的定义设出的坐标，通过旋转得到的坐标，结合列方程组求解. 【详解】由题知，，可设， 由题知，向量绕点逆时针旋转得到， 则，展开得， 解得，则的横坐标为. 16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，进而得到，，求出，得到. 【详解】 ， 故，解得或. 因为是直角三角形中较大的锐角，所以，故，， 故，又，解得，， 又直角三角形的直角边分别为，则， 所以. 故选：C 三、解答题（满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 化简： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 18. 已知，，，求： （1）的值； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，，， 所以， 则； 【小问2详解】 由，，可得 则. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． （1）求角B的大小； （2）若时，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得. （2）由（1）中信息，结合基本不等式求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 20. 如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． （1）求的值； （2）求该船的行驶速度（海里/小时）； （3）在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 【答案】（1） （2）海里/小时 （3）货船会进入警戒区域，货船可以在规定时间之内离开警戒区域，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合同角三角关系计算求解； （2）利用余弦定理计算求解； （3）利用余弦定理求出，进而求出，利用正弦定理求出，进而求出，进而结合题意得出结论． 【小问1详解】 由题意：，，， ，，则，解得， ． 【小问2详解】 由余弦定理得： ， 即， 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． 【小问3详解】 在中，根据余弦定理得，则， 设延长线交于点，则，， 则， ， 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 过点作垂直于点， 在中，，，， 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 21. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． （1）试用表示 （2）求的值 （3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明； （2）利用第（1）问的结论对进行代换得到关于的方程，解出即可，最后注意检验. （3）利用（1）中结论得到，再得到三根代入式子化简即可. 【小问1详解】 解：（1）因为， 【小问2详解】 所以， 因为， 因为， ， 即 因为，解得（已舍）. 【小问3详解】 （3）因,故可令， 故由可得: 由（1）得:， 因，故， 故,或,或 即方程的三个根分别为， 又，故， 于是， 【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试试卷 高一 数学 一、填空题（满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 化为弧度是__________. 2. 已知，若与的终边相同，且，则_____. 3. 一个扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则该扇形的面积为__________． 4. 已知角的终边过点，则________． 5. 已知，则______． 6. 在中，若，，则的外接圆的半径为_____________． 7. 已知，则的值为___________． 8. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 9. 若，则___________． 10. 在直角中，，，，点是边上靠近的三等分点，则_____． 11. 已知，，则________． 12. 如图所示，圆心为原点的单位圆的上半圆周上，有一动点．设，点是关于原点的对称点．分别连接，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点的个数是________________个 二、选择题（满分18分）本大题共有4题，第13，14题，每题4分；第15，16题，每题5分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知角，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 14. 在中，已知，则的形状为（   ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 15. 已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（    ） A. B. C. D. 16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 化简： （1）； （2）. 18. 已知，，，求： （1）的值； （2）. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． （1）求角B的大小； （2）若时，求△ABC面积的最大值． 20. 如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． （1）求的值； （2）求该船的行驶速度（海里/小时）； （3）在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 21. 由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． （1）试用表示 （2）求的值 （3）已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $